MECÁNICA COMPUTACIONAL I. Capítulo 3 Sistemas de Ecuaciones

Transcripción

1 MCÁNICA COMPUTACIONAL I Cpítulo Sstems de cucoes

2 Solucó umérc de sstems de ecucoes Cptulo Itroduccó Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres lmcó de Guss lmcó de Guss-Jord. Determcó de l mtrz vers. Métodos tertvos de Jcob y Guss-Sedel. Métodos tertvos pr ecucoes o-leles: método de ls susttucoes sucesvs Métodos tertvos pr ecucoes o-leles: método de Newto- Rphso.

3 Itroduccó ( ) ( ) ( ),...,,,...,...,,,,...,,, f f f el cso geerl, ests ecucoes so o leles. l sstem () se smplfc grdemete s ls Muchos problems se epres como u sstem de ecucoes smultáes co vrbles ecucoes so leles, pudedo escrbrse b b b () ()

4 Itroduccó De mer ms cocs () se escrbe como [ A ]{} {} b () ó, meos formlmete, A b dode A, y b so epresdos como A b b b. b ()

5 Itroduccó 5 Auque es posble resolver estos sstems de mer lítc, cudo el úmero de ecucoes o l ctdd de veces que hy que hllr l solucó es grde, l solucó lítc es poco práctc. S el error de redodeo es desprecble, estos sstems puede ser resueltos umércmete de mer ect. Pr ello se utlz dos tpos de métodos: drectos e tertvos. Los métodos drectos se utlz cudo el úmero de ecucoes o es muy grde (típcmete o meos).

6 Itroduccó 6 Los métodos tertvos se utlz tto pr u gr úmero de ecucoes (geerlmete ms de ) ó cudo l mtrz A tee certs crcterístcs. Ates de cr el estudo de estos métodos es coveete revsr lguos coceptos báscos del álgebr mtrcl.

7 7 Solucó umérc de sstems de ecucoes. Itroduccó. Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres. lmcó de Guss. lmcó de Guss-Jord..5 Determcó de l mtrz vers..6 Métodos tertvos de Jcob y Guss-Sedel..7 Métodos tertvos pr ecucoes o-leles: método de ls susttucoes sucesvs.8 Métodos tertvos pr ecucoes o-leles: método de Newto-Rphso.

8 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres 8 Mtrz m: rreglo del tpo A j. m. m S ls dmesoes lo permte tedremos: Sum: A B C b j c j Dferec: A B C b j c j m (5) (6) (7)

9 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres 9 Producto: F AB f j Propeddes: A ( B C) AB AC ( B C) D BD CD geerl AB S BA f j k AB BA etoces A y B comut. k b kj (8) (9) ()

10 Mtrz ul: jemplos: A B toces, C j j,, 7 5 C B ( ) 7 C B A ( ) A C B () Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres

11 S A toces, 7 5 A AB BA 5 B A 7 B A B Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres

12 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres Se A j l mtrz complej cojugd de A. toces se cumple que A B A B AB AB L mtrz trspuest de A se defe como ( g ) ( ) t A j Se verfc demás que ( ) t t t A B A B ( ) t t t t ABC C B A j () (b) () () (b)

13 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres L mtrz trspuest cojugd de A es t ( ) ( t A A ) * A verfcdose que * * * ( AB ) B A U mtrz es Hermt s y solo s * A A U mtrz es smétrc s t A A U mtrz rel es Hermt s y solo s es smétrc. (5) (6) (7) (8)

14 jemplos: Se toces A A A t Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres

15 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres 5 U mtrz H es dgol s es y verfc que h j j (9) h j j U mtrz H es esclr s y solo s H es dgol y h h h () L mtrz detdd I se defe como quell que es esclr co cumpledose que IA AI A () ()

16 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres 6 S l mtrz A es cudrd se defe l mtrz vers de A, l mtrz K, que cumple que AK KA I st mtrz se deot como KA -. L mtrz A es o sgulr s su vers este. S ls mtrces verss de A y B (del msmo orde) este, etoces ( ) AB B A () () U mtrz cudrd es utr s y solo s (5) * A A U mtrz cudrd es ortogol s y solo s t A * A A (6)

17 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres 7 jemplo: S l mtrz A se defe como A / 5 ( ) / 5 / 5 ( ) / 5 / 5 ( ) / 5 ( ) ( ) 5 / / 6 / etoces se cumple que * A A I y, e cosecuec A es utr.

18 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres 8 L dgol prcpl de u mtrz de orde est costtud por los elemetos / S todos los elemetos debjo de l dgol prcpl so cero, A es u mtrz trgulr superor. S demás, todos los elemetos de l dgol tmbé so ulos A es u mtrz trgulr superor estrct. De mer smlr se defe ls mtrces trgulr feror y trgulr feror estrct.

19 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres 9 l determte de u mtrz cudrd de defe como det( A ) A sg( p p... p) p p... p (7) dode cd producto cluye uo y solo u úmero de cd fl y colum y l sum se etede sobre tods ls posbles permutcoes p p...p. Además, sg(p p...p ) es o - depededo de l ctdd de permutcoes ecesrs pr trsformr l secuec su orde turl. S el úmero de permutcoes es mpr etoces sg es y s es pr sg será -. -> pr -> mpr

20 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres Algus propeddes útles so: det( A t ) det( A) det( A ) / det( A) * det( A ) det( AB ) det( A ) det( A) det( A)det( B) det( A) (8) (8b) (8c) (8d) (8e)

21 U vector puede ser defdo como u mtrz. l producto esclr etre dos vectores u y v se defe como ( ) v u v u *, jemplo: pr y u v ( ) [ ], v u ( ) ( )( ) ( )( ) ( ), v u ( ) v u 5 7, Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres

22 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres U mtrz elemetl de prmer tpo es obted reemplzdo el -ésmo elemeto de l dgol de l mtrz detdd por u costte o ul U mtrz elemetl de segudo tpo es obted tercmbdo dos fls de l mtrz detdd Q q (9) R ()

23 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres U mtrz elemetl de tercer tpo es obted sertdo u elemeto o ulo fuer de l dgol de l mtrz detdd S s () L multplccó de u mtrz rbtrr A (p) por ls mtrces elemetles produce u trsformcó elemetl sobre A. Por ejemplo, s A y Q so dds por A Q q

24 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres QA l producto QA llev q q l multplccó de l -ésm ( e este cso) fl de A por q. S R es ddo por (<-->) q q q R

25 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres 5 el producto RA llev RA que correspode l tercmbo de fls. S S es dd por (s colocdo e,j) S s

26 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres 6 el producto SA llev SA s SA s s s s que ñde l segud fl ( e geerl) el producto de l costte s por l tercer fl (j e geerl).

27 Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres 7 S l mtrz obted luego de estos productos por mtrces elemetles se deom como T; T y A se dce que so mtrces equvletes. ese cso teemos que det det det ( QA) det( Q) det( A) qdet( A) ( RA) det( R) det( A) det( A) ( SA) det( S) det( A) det( A) () (b) (c)

29 9 lmcó de Guss L resolucó de u sstem de ecucoes leles se eplc fáclmete co u ejemplo. Supogmos que desemos resolver el sstem : : : : Relzdo ls opercoes, obteemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : : : :

30 lmcó de Guss ( ) ( ) ( ) ( ) Usmos hor pr elmr de y. Pr ello hcemos : : : : pr obteer

31 lmcó de Guss ste sstem puede resolverse por susttucó hc trás : ( ) / () () l procedmeto teror se smplfc utlzdo otcó mtrcl. Pr ello costrumos l mtrz mpld y opermos drectmete sobre los coefcetes de l msm.

32 lmcó de Guss el cso del sstem teror escrbmos y relzmos ls opercoes sobre ls fls de l mtrz, pr obteer e cd pso ls mtrces y

33 lmcó de Guss el cso geerl, el sstem lel se epres utlzdo ls mtrces A y b b b b A b b b b.

34 lmcó de Guss pr escrbr l mtrz mpld A [ A, b] b b... b l prmer pso cosste e elmr el coefcete de l prmer colum e ls ecucoes... Pr ello cd fl j se trsform de mer que j j ( ) j j...,,...,

35 lmcó de Guss 5 L mtrz mpld se escrbe hor como... b... b Aˆ b e l que, e geerl, todos los coefcetes de ls fls (j>) h sdo modfcdos (pr smplfcr, ls prms será elmds e lo que sgue). l pso sguete correspode modfcr l mtrz de mer que j j,,..., ( ) j j

36 lmcó de Guss 6 queddo l mtrz mpld epresd como A [ A, b]... b b... b l procedmeto cotú de mer que, e el pso -ésmo utlzmos j j ( ) j j,,...,

37 lmcó de Guss 7 pr llegr l mtrz trgulr b b... b ~ A... Resolvedo drectmete l -ésm ecucó b L cógt que sgue se obtee de b,,

38 lmcó de Guss 8 De mer semejte obteemos que cd cógt se obtee de b escrbedo j j j b, tedremos, efectos de l progrmcó, j j j

39 lmcó de Guss 9 l puto débl de este método es l ecesdd de grtzr que e cd pso el pvote kk. ese pso, podemos s embrgo tercmbr ecucoes escogedo u ecucó l, co l>k de mer que el elemeto de l colum k de l o se ulo. jemplo, prtedo del sstem 8

40 lmcó de Guss Relzmos ls opercoes 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pr psr de 6 8 Pvote

41 lmcó de Guss l proceso se detee y que es ulo y l opercó o puede ser relzd. S embrgo, puede ser tercmbd co pr obteer l uev mtrz mpld 6 8 ( ) j j j, j 6 8

42 lmcó de Guss Y tee su do elemeto ulo sí que se cotú co hcedo l opercó pr obteer 6 8 ( ) 6 8

43 lmcó de Guss Flmete relzmos l opercó pr obteer ( ) L susttucó hc trás os drá los vlores buscdos. 6 8

44 lmcó de Guss S o es posble obteer u pvote o ulo, dos posblddes este y que el sstem tee () fts solucoes ó, (b) gu solucó. Los lgortmos debe teer e cuet estos posbles csos y dr opcoes de sld que dque lo que está ocurredo.

45 lmcó de Guss 5

46 lmcó de Guss 6, j j j

47 Uso de MtLb 7 Hllr l solucó de u sstem de ecucoes leles utlzdo MATLAB es muy secllo. Itroducedo l mtrz A y el vector de térmos depedetes b teemos que l solucó del sstem de ecucoes leles es:

49 9 lmcó de Guss-Jord U vrte del procedmeto teror es coocd como el método de Guss-Jord. Vemos u ejemplo. Resolvmos el sstem Costruymos l mtrz mpld : : :

50 lmcó de Guss-Jord 5 Relzdo l opercó (( / ) ) ( ) obteemos l mtrz mpld 7 / 9 / Luego, relzmos ls opercoes 7 / 9 / 5 / 8 7 / 5 / 9 / ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

51 lmcó de Guss-Jord 5 Normlce l segud fl hcedo ( ) ( ) 5 pr obteer 7 / 5 / 5 / 8 9 / 7 / 9 / 7 / 5/ 6 / 5 9 / 7 / 5 9 / Ahor, y quí está l vrcó de Guss-Jord, relce ls opercoes 7 / ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 5 / )

52 lmcó de Guss-Jord 5 Obteemos el resultdo 7 / 5 / 6 / 5 9 / / 5 9 / Cotúe el procedmeto relzdo ( ) ( ( ) ) ( 6 / 5 ) ( ( 6 / 5) ) ( ) 7 / 5 6 / 5 6 / 5 7 / 5 Normlzcó de Nuev 88 / 5 7 / 5 9 / 5

53 lmcó de Guss-Jord 5 Llegmos etoces L susttucó hc trás hor d drectmete

54 lmcó de Guss-Jord 5 geerl, los psos ddos e l lmcó de Guss-Jord so: () Normlzr l fl hcedo ( ) () Sustrer, pr tods ls fls dstts de l ( ) ( ) j j j Not: revsr el pvote pr grtzr que o es ulo. ese cso, proceder como co l lmcó de Guss clásc.

56 56 Determcó de l mtrz vers L mtrz vers se defe como quell que verfc que Retomemos el procedmeto de Guss-Jord co uestro ejemplo: I A A AA [ ] b A C : : : l prmer pso correspodó l trsformcó ( ) ( ) ( ) /

57 57 Determcó de l mtrz vers que se epres e térmo de mtrces elemetles como co C C Q Los psos sguetes e térmos de opercoes por mtrces elemetles os llev / Q / 7 / C () ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( C C S C C S

58 58 Determcó de l mtrz vers co S ddo por / 7 / C / 7 / S C / 8 5/ 9 / 7 / S C S

59 59 Determcó de l mtrz vers y S ddo por / 8 5 / 9 / 7 / S C 9 / 5 / 7 / 8 5/ 9 / 7 / C C S S / 8 5/ 9 / 7 / C

60 Determcó de l mtrz vers 6 l procedmeto segudo hst hor se puede resumr como u combcó de opercoes sucesvs co mtrces elemetles de prmer y tercer tpo S SQ C C Los psos sguetes se epresrá como ( ) ( ) Q 5 C C Q ( ( ) ) ( ) 7 / S C C5 S C ( ) ( ) ( 5 / ) 5 C6 / 5

61 Determcó de l mtrz vers 6 Pr llegr S SQSSQ C C6 De mer smlr los psos sguetes se epresrá como S 6 S5QS SQSSQ C C9 scrto e otcó compct [ A b] [ I ] C A I Teedo etoces que es l mtrz vers de A co S S Q S S Q S S 6 5 Q [ I ]

62 Determcó de l mtrz vers 6 Luego, pr clculr l vers podemos proceder clculdo el producto A I S6S5QS SQSSQ I sto se relz fáclmete costruyedo l mtrz mpld de l form C [ A b I ] Al hcer el producto por obtedremos [ ] [ ] [ ] A b I I I I C A

63 Determcó de l mtrz vers 6 uestro ejemplo tedremos que l uev mtrz mpld será 7 9 C [ A b I ] y relzdo ectmete ls msms opercoes sobre ls fls que e el cso de l elmcó de Guss-Jord obteemos [ ] I A 9/ / 7 / / / / / 5 6 / 5 5/ 7

64 Determcó de l mtrz vers 6 Luego, l mtrz vers vee dd por A 9/ 5 / 5 7 / 7 67 / / / / 5 6 / 5 5/ 7 Desde u puto de vst práctco, l hor de hcer los cálculos debe tomrse e cuet los sguetes spectos: Segur los msmos psos del método de elmcó de Guss-Jord co l uev mtrz mpld cluyedo l detdd Costrur l subrut de mer que cosdere s se dese clculr o o l vers (ídce de cotrol)

65 Determcó de l mtrz vers Por otr prte, el determte puede clculrse prtr de I S S Q S S Q S S Q I A 6 5 y que 65 ( ) det( I ) det( S S Q S S Q S S Q I ) det A 6 5 Utlzdo ls propeddes de ls mtrces elemetles obteemos det A q q q ( ) que correspode los fctores de ormlzcó. Luego, el determte de l mtrz A es det( A ) q q q

66 uestro ejemplo teror det Determcó de l mtrz vers ( A) 5 66

68 Métodos Itertvos 68 el cso de grdes sstems de ecucoes, tles como los que prece e l resolucó por dferecs fts de DO y de cucoes e dervds prcles los métodos drectos puede ser poco efcetes (tempo, lmcemeto y ctdd de elemetos ulos). Los métodos tertvos cosste e geerr, prtr de u dvz cl, u sucesó de promcoes l solucó. el método de Jcob, del sstem de ecucoes A b se despej cd vrble de l ecucó de mer que

69 Métodos Itertvos 69 b j j j j,,..., Luego, prtedo de u promcó cl dvd () () (). () costrumos l secuec

70 Métodos Itertvos 7 () b j j j () j,,..., l procedmeto se repte de mer secuecl ( k ) b j j j ( k ) j,,..., hst verfcr lgú crtero de covergec. U crtero usul lo costtuye l orm L

71 7 Métodos Itertvos k k k L ) ( ) ( ) ( egedole u cot mám L. jemplo. Resolver utlzdo el método de Jcob el sstem : : : :

72 Métodos Itertvos 7 Ls cógts se despej pr dr scojmos como promcó cl [,,, ] t ()

73 Métodos Itertvos 7 Luego, l prmer promcó será () () () () () () () () () 5 5 () () () Cotudo el proceso de mer tertv obteemos

74 Métodos Itertvos 7 k ,6,7,96,67,99,5,,5,6,,77,759,58,959,6,99,8,998,,999 -, -,8 -,57 -,979 -,95 -,5 -,5 -,87 -,99 -,9,875,885,88,97,99,996,,9979,9995,9988 Df,,85-,- 6,85-,7-,8-,5-5 6,57-6,-6,-7 Dferec Norm L,,-,-,-,-,-5,-6, Itercó

75 Métodos Itertvos 75 l método de Guss-Sedel, ls promcoes se v utlzdo medd que se geer. sto es, u k vez clculdos los vlores de ls promcoes e l ecucó se susttuye estos vlores juto co los de l tercó teror ( ) (k ) pr obteer como promcó ( k ) b ( k ) j j j j j ( k ) j,,...,

76 76 Métodos Itertvos jemplo: Resuelv, utlzdo el método de Guss- Sedel el sstem : : : : Nuevmete epresmos cd cógt como

77 Métodos Itertvos 77 () () Hllmos l er promcó, prtedo de () (,,,) t 6 () () () 6 Pr el cálculo de usmos () () () / 56 De mer smlr () () () ( ) 6 / (56 /) () () () 5 5 ( 56 /) ( /)

78 Métodos Itertvos 78 Cotudo obteemos k ,6,,8,7,,9,9,9,9,9,7,69,,9999,9996,9996,9996,9996,9996,9996 -,987 -, -,9 -,99 -,96 -,96 -,96 -,96 -,96 -,96,8789,98,997,9988,9989,999,999,999,999,999 Df,,9-,7-6,77-6,-7,-9 9,6-6,59-,5-6,-8 Dferec,, Norm L,-6,-9,-,-5,-8 Itercó

79 Métodos Itertvos 79 No sempre el método de Guss-Sedel coverge ms rápdo que el de Jcob, pero e geerl, s lo hce. s posble probr que s el vlor bsoluto del elemeto de l dgol es myor que l sum de los vlores bsolutos de los elemetos fuer de l dgol (mtrz dgolmete domte) esto será sufcete pr grtzr l covergec. sto debe ser tomdo e cuet l hor de preprr progrms de cálculo.

81 Métodos Itertvos pr c. No leles: MSS 8 el cso de sstems o leles, desemos ecotrr l solucó de f f... f (,,,..., ) (,,,..., ) (,,,..., ) el cul cosste e fucoes reles de vrbles reles. Uo de los métodos ms utlzdos es el de ls susttucoes sucesvs (tpo puto fjo). este método, ls fucoes f se reescrbe de mer que f (,,..., ), (, ) F,...,,

82 Métodos Itertvos pr c. No leles: MSS 8 pr utlzr luego u esquem de tercoes tl como el utlzdo e los métodos de Jcob o Guss- Sedel pr sstems leles. jemplo: Cosdere l solucó del sstem o lel e cos 8 ( ) (.) s( ).6 π Ls fucoes f se reescrbe de mer que cos ( ) s( 9 6 ).6. e π 6

83 Métodos Itertvos pr c. No leles: MSS 8 Luego, termos sobre ls ecucoes ( k ) ( k ) ( k ) cos ( ( k ) ( k ) ) ( ( k ) ) e ( k ) ( k ) s( 6 ( k ) ).6 9 π 6. S prtmos de l promcó cl () (,,) teemos k 5 6 7,5,99995,5,5,5,5,5,9589,,859,,,, -, ,57 -, ,5598 -, , , Df,569,77,9-7,566-,65-6,7-6,867-9 Norm L,959,67-7 6,596-,8-, ,775-9

84 Métodos Itertvos pr c. No leles: MSS 8 l vrte de Guss-Sedel obteemos ( k ) ( k ) ( k ) cos ( ( k ) ( k ) ) ( ( k ) ) e ( k ) s( ( k 6 ( k ) ).6 9 ) π 6. S prtmos de l promcó cl () (,,) teemos k 5 6 7,5,999665,5,5,5,5,5,778,99,5,,,, -,596 -, , , , , , Df,5879,7695,855-9,59-5,6779-6,568-7,6- Norm L,67,6-9, ,67-,5-6,56-

85 Métodos Itertvos pr c. No leles: MSS 85 Comprdo mbs versoes del método teemos Comportmeto del rror Dferec, L,, Itercó Jcob (Df) Jcob (L) Guss-Sedel (Df) Guss-Sedell (L)

86 Métodos Itertvos pr c. No leles: MSS 86 Ls codcoes que grtz l covergec de estos métodos está lgds co l turlez de ls fucoes F. S ésts so cotús e u regó del sub-espco de vectores (,,..., ) dode los perteece u tervlo defdo (,b ) y ls dervds prcles de ls F tmbé so cotus y cotds e ese sub espco, etoces ls fucoes F tee u puto fjo e dcho sub-espco.

88 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR No sempre es posble despejr l vrble de cd ecucó de mer que el método de ls susttucoes sucesvs coverj l solucó. U opcó dstt l costtuye el método de Newto- Rwso. el cso de ecucoes de u vrble, este método se epres como ( ) ( ) f f ( ( ) ) ( ( ) ) pudedo ser reescrto como g ( ) f f ( ) ( ) y el problem se remte cosegur los putos fjos de l fucó g(). 88

89 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR ste método puede ú escrbrse como g ( ) φ( ) dode l uev fucó se epres como φ ( ) [ f ( ) ] f ( ) el cso de u problem de vrs cógts, este se podrí epresr como { G( ) } { } [ A( ) ] { F( ) } sedo hor { G ( ) } { G(,..., )} t { F( ) } F( f ( ), f ( ),..., f ( )), [ A( ) ] [ b ],..., j f k l 89

90 9 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR s posble mostrr que l mtrz A puede escogerse gul l mtrz Jcob defd como e perfect correspodec co el método de puto fjo pr u vrble. ( ) { } { } ( ) [ ] ( ) { } F J G Luego, l fucó G() se puede defr como ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f f f f J ) (

91 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR 9 toces, el procedmeto de tercó se relzrá segú ( k ) {} { ( )} {} [ ( )] ( k ) ( k ) ( k ) { ( ( k ) G J F )} ste es el método de Newto pr sstems o leles. geerl, el do térmo de l derech se estm prtr de l resolucó del sstem lel [ ( ( k ) )]{ ( k )} { ( ( k ) J y F )} pr obteer luego {} ( k ) {} ( k ) { y} ( k )

92 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR 9 jemplo: Resolver utlzdo el método de Newto el sstem de ecucoes e cos 8 ( ) (.) π Ls fucoes f vee dds por s( ).6 f f f ( ) cos( ) ( ) 8(.) ( ) e π s( ).6

93 9 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR Luego, el vector F() se costruye como ( ) ( ).6 ) (. 8 cos ) ( π e s F L mtrz Jcob se costruye prtr de ( ) ( ) s f s f f ( ) ) cos(. 6 f f f f e f e f

94 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR 9 J F queddo epresd como J e 6 ( ) s( ) (.) cos( ) s e Ls tercoes se relz prtr de () () () e ( ) () () () 6 () () 8 e ( () () ) () ( () () ) s ( ().) () cos( ) s e () () ( () () ) cos ( ().) s () () π () () ( ).6

95 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR 95 S como promcó cl de tommos (,,) tedremos J () 6. F () ( ).8.6 π Luego, l prmer tercó l obtedremos l hcer () {} () {} y () co y solucó de ( () ){ ()} ( () y F ) J

96 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR 96 Df Iter Ateror Cotudo ls tercoes obteemos Df Iter Ateror

97 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR () () () Alguos detlles computcoles trd de promcó cl ter5 do k,ter!... Costruyedo el vector F()... f()f(,,) f()f(,,) f()f(,,) Cálculo de ls compoetes de f

98 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR 98!... Costruyedo l mtrz Jcob J(,) dfd(,,) J(,) dfd(,,) J(,) dfd(,,) J(,) dfd(,,) J(,) dfd(,,) J(,) dfd(,,) J(,) dfd(,,) J(,) dfd(,,) J(,) dfd(,,)!... Mtrz mpld J(,)f() J(,)f() J(,)f()!... Resolvedo J*yF cll GussJord(,J,y) Cálculo de l mtrz Jcob Mtrz mpld Solucó del sstem JyF!... Itercó...

99 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR 99!... Itercó... do, () () - y() eddo sum. sum. do, sumsum(-())**.(-())**.(-())**. sumsum(())**.(())**.(())**. eddo dfsum/sum () () () eddo Probdo l covergec

100 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR fucto f(,,) double precso,, f.*-cos(*)-.5 ed fucto dfd(,,) double precso,, dfd. ed Defedo ls fucoes pr cd mtrz

101 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR MATLAB posee u comdo pr resolver sstems de ecucoes o leles. Pr ello debe crer u rchvo.m co ls fucoes o leles y luego usr el comdo fzero. Vemos l secuec de psos. uestro ejemplo: fucto F myfu() F [*() - cos(()*()) - /; ()^ - 8*((().)^) s(()).6 ; ep(-()*()) *()(*p-)/]; Luego defe el puto de prtd >> [; ; ]; >> [,fvl] fsolve(@myfu,) Pr obteer fvl.e-7 *. -.7.

102 Solucó umérc de sstems de ecucoes. Itroduccó. Notcó, Mtrces y Coceptos Prelmres. lmcó de Guss. lmcó de Guss-Jord..5 Determcó de l mtrz vers..6 Métodos tertvos de Jcob y Guss-Sedel..7 Métodos tertvos pr ecucoes o-leles: método de ls susttucoes sucesvs.8 Métodos tertvos pr ecucoes o-leles: método de Newto-Rphso (Apédce)

103 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR L epresó de G() e los térmos epuestos requere del sguete teorem. Teorem: Supogmos que p es u solucó de G() pr lgu fucó G(g,g,...,g ) t que mpe R e R. S este u úmero δ> co l propedd de que () g / j se cotu e N δ {/ -p < δ} pr tod,,...,; () g / j k se cotu y g / j k M pr lgu costte M sempre que N δ pr tod,j,k,,..., () g / k (p) pr tod,k,,..., etoces este u úmero δ δtl que l sucesó geerd por G ( ( ) ) ( k ) k coverge cudrátcmete p pr culquer eleccó de () codcó que () -p < δ.

104 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR -p δ δ p Represetcó de ls codcoes del teorem teror pr

105 5 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR Puesto que es u vector co compoetes, l ecucó ( ) ( ) [ ] ( ) { } F A g sedo hor ( ) ( ) f b g j j j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j k j j k j j j k j j k j k k b f f b k b f f b g L codcó () epresd como ( ) k p g ( ) { } ( ) [ ] ( ) F A G correspode ecucoes del tpo

106 6 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR os llev Pero como p es l solucó de f j (), etoces f j (p), luego l ec. teror se reduce ls ecucoes ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j k j j k j j j k j j k j k k p b p f p f p b k p b p f p f p b p g ( ) ( ) j j k j k p b p f ( ) ( ) j j k j k p b p f

107 7 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR que se reduce Defedo l mtrz Jcob J como ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f f f f J ) ( ( ) ( ) j j k j k p b p f ( ) ( ) j j k j k p b p f

108 Métodos Itertvos pr c. No leles: NR Co est defcó ls ecucoes se escrbe como ( p) ( b ) j J jk j δ k k dode se h utlzdo l delt de Kroecker δ j ( pr j, s j). Luego, 8 A ( p) J ( p) I Podemos coclur etoces que A ( p) J ( p) cosecuec u eleccó decud de A vee dd por A ( ) J ( )

109 9 ALGORITMOS lmcó Guss lmcó de Guss-Jord (co cálculo de mtrz vers) Métodos tertvos de Jcob y Guss-Sedel. Métodos de ls susttucoes sucesvs pr ecucoes o-leles Métodos de Newto-Rwso pr ecucoes oleles

110 MCÁNICA COMPUTACIONAL I Cpítulo Sstems de cucoes