TEMA N 1.- ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

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Ricardo Rey Quiroga
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UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI EXTENSIÓN REGIÓN CENTRO-SUR ANACO, ESTADO ANZOÁTEGUI Asignatura: Estadística II Docente: Ing. Jesús Alonso Campos TEMA N 1.

1 UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI EXTENSIÓN REGIÓN CENTRO-SUR ANACO, ESTADO ANZOÁTEGUI Asignatura: Estadística II Docente: Ing. Jesús Alonso Campos TEMA N 1.- ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS 1.1 Consideraciones Generales La regresión y la correlación son dos técnicas estadísticas que se pueden utilizar para solucionar problemas comunes en los negocios, la industria y diversos campos de la vida cotidiana. Muchos estudios se basan en la creencia de que es posible identificar y cuantificar alguna Relación Funcional entre dos o más variables, donde una variable depende de otra. Se puede decir que Y depende de X, en donde Y y X son dos variables cualquiera en un modelo de regresión simple. "Y es una función de X" Y = f(x) Como Y depende de X, Y es la variable dependiente y X es la variable independiente. La variable dependiente es la variable que se desea explicar, predecir. También se le llama REGRESANDO ó VARIABLE DE RESPUESTA. La variable Independiente X se le denomina VARIABLE EXPLICATIVA ó REGRESOR y se le utiliza para EXPLICAR Y. NOTA IMPORTANTE: En el Modelo de Regresión siempre es muy importante identificar cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente. 1.2 Modelo general de la regresión lineal Donde: a = Valor donde la línea de regresión corta al eje y. b= Pendiente de la recta de regresión. E= Error o residuo entre las observaciones.

2 1.3 Método de mínimos cuadrados El método para efectuar la estimación de los valores de a y b, es el método de mínimos cuadrados, el cual es el procedimiento más objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión y mediante el cual se obtiene: Las constantes a y b, pueden calcularse mediante las siguientes fórmulas: a y y b y y 1.4 Coeficientes de determinación y correlación El coeficiente de determinación mide o interpreta la cantidad relativa de la variación que ha sido explicada por la recta de regresión, es decir, la proporción de cambio en Y explicado por un cambio en la variable X. Su valor siempre oscila entre 0 y 1. El coeficiente de correlación es el que expresa la fuerza de la relación entre las variables. El coeficiente tiene el mismo signo que tiene b y su valor oscila entre -1 y 1. El mismo se puede calcular de dos maneras: r n n n A continuación se presenta, a modo de orientación, cómo podrían interpretarse los valores del coeficiente de correlación (positivo o negativo): 0.00 a 0.20 Correlación muy débil, despreciable a 0.40 Correlación débil, baja a 0.70 Correlación moderada a 0.90 Correlación fuerte, alta e importante a 1.00 Correlación muy fuerte, muy alta

3 1.5 Varianza, covarianza y desviación típica o estándar La varianza se conceptualiza como el promedio del cuadrado de las distancias entre cada observación y la media del conjunto de observaciones y se denota por medio de la siguiente expresión: Por su parte, la raíz cuadrada positiva de la varianza, recibe el nombre de desviación típica o estándar, que viene siendo una medida estadística de dispersión de datos con respecto a la media. La covarianza es otra medida que expresa el grado en que dos variables varían juntas, siendo su fórmula la siguiente: 1.6. Error de la estimación El error de la estimación es la desviación estándar condicional de la variable dependiente Y dado un valor de la variable independiente X. La fórmula de desviaciones por la cual se estima este valor con base en datos muestrales es: 1.7 Intervalo de confianza Cuando se desee estimar un intervalo de probabilidad para un valor individual, se empleará la siguiente expresión: 1.8 Diagrama de dispersión Es una gráfica en la que cada punto trazado representa un par de valores observados de las variables independiente y dependiente. El valor de la variable independiente X se identifica respecto del eje horizontal, mientras que el valor de la variable dependiente Y se identifica respecto del eje vertical. 1.9 Predicciones Después de haber obtenido un buen ajuste de la recta de regresión, el modelo permite elaborar predicciones. Es decir, conocido el valor de X, el modelo permite estimar el valor de la respuesta como

4 Para poder garantizar la máxima validez de la predicción dada por el modelo es necesario que el valor de Xi esté dentro del rango de valores observados de X. Ejercicios 1. La agencia tributaria de una país ha seleccionado al azar las declaraciones de impuestos de diez contribuyentes distintos, a fin de verificar si existe relación entre el porcentaje de impuestos pagados y el ingreso anual bruto (en miles) de los contribuyentes. Tales datos se recogen en la siguiente tabla: % pagado en impuesto Ingreso bruto (millones) a. Halle la recta de regresión para el modelo, empleando el método de mínimos cuadrados. Interpretar el valor de los coeficientes a y b. b. Efectúe el diagrama de dispersión y trace la recta de regresión. c. Calcule los coeficientes de determinación y correlación e interprete el resultado de éste último. d. Cuál es el error de la estimación? e. Determine la varianza, desviación estándar y covarianza. f. Realizar una predicción para un valor de X = 6. Además, construya un intervalo de confianza al 90% para este valor. 2. Un especialista en educación realizó diversas observaciones para determinar el efecto del paso del tiempo en los conocimientos adquiridos por los estudiantes, obteniendo los siguientes resultados: Días transcurridos (x) % de permanencia de conocimientos (y) a. Halle la recta de regresión por el método de mínimos cuadrados para predecir el porcentaje de permanencia de los conocimientos en función de los días transcurridos. Interprete el valor de los coeficientes a y b. b. Realice el diagrama de dispersión y trace la recta de regresión. c. Determine el coeficiente de correlación e interprete su resultado. d. Calcule el error de la estimación. e. Obtenga la varianza, la desviación estándar y la covarianza. f. Qué predicción podemos hacer sobre el porcentaje de conocimientos cuando han transcurrido 11 días? Determine un intervalo de confianza al 95% para este valor. 3. Durante diez días, un estudiante de ingeniería mecánica realizó diversas mediciones para conocer la relación existente entre la cantidad de litros de gasolina consumidos por un vehículo y la cantidad de kilómetros recorridos, registrando las siguientes observaciones: Litros de gasolina consumidos (y) , Kilómetros recorridos (x)

5 a. Calcule la recta de regresión para el modelo. Interprete el valor de los coeficientes a y b. b. Realice el diagrama de dispersión y trace la recta de regresión. c. Obtenga el valor del coeficiente de correlación e interprete su resultado. d. Cuál es el error de la estimación? e. Determinar la varianza, covarianza y desviación estándar de la muestra. f. Suponga que usted desea hacer un viaje de 200 Km. Qué cantidad de combustible debe colocársele al automóvil? Determine un intervalo de confianza al 95% para este valor. 4. Ajustar a una recta de mínimos cuadrados los datos presentados en la siguiente tabla: X , Y a. Realice el diagrama de dispersión y trace la recta de regresión. b. Determine el coeficiente de correlación y analice el resultado obtenido. c. Suponiendo que X tiene un valor de 10, cuál será el valor de y? Qué tan confiable es esta predicción?

6 X Y X Y Y estimada (Y-Y estimada ) 2

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