Cavidades resonantes. Resonadores rectangular y cilindrico
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- Josefina Reyes Ruiz
- hace 6 años
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1 Cviddes resonntes Se puede demostrr que un líne de trnsmisión corto circuitdo en mbos extremos exhibe propieddes resonntes frecuencis cundo l longitud es λ/ o un múltiple de λ/. De l nlogí directo se esper que el mismo fenómeno ocurre cundo un sección de guí de ond es corto circuitdo en mbos extremos. Cundo se colocn plcs metálics sobre los extremos de ls guís, hy un region dieléctric completmente envuelt por un superficie conductor. Esto es l cvidd resonnte. Se puede ver que hy un grn cntidd de modos de resonnci posible, de hecho, un infinidd de ellos. Pr cd modo de guí de ond hbrá un número infinito de múltiples de λ/ que cben en l dirección longitudinl entre los dos extremos. Entonces un triple infinidd de modos es posible. Normlmente sólo los modos de orden bjo son de interés, y el de l frecuenci resonnte más bjo se refiere como el modo dominnte. Antes de proceder l solución mtemátic de unos csos geométricos sencillos, se debe mencionr que este método de nlizr ls cviddes resonntes es lgo restrictivo. Conduce un solución de ess configurciones geométrics que tengn propieddes cilindrics generles, es decir, los que tengn l mism seccion trnsversl rbitrri cundo se ve en culquier punto lo lrgo del eje longitudinl. En relidd un región dieléctric de culquier form que se encierr por un superficie conductor exhibe propieddes resonntes y esto es l form más generl de l cvidd resonnte. L solución de tl problem generl es bstnte dificil; sí que nos enfocmos en unos csos sencillos que podemos resolver l utilizr l teorí de líne de trnsmisión. El estudio de ls cviddes resonntes es un cienci ingenieril reltivmente nuev, unque l teorí fundmentl se remont los tiempos de Mxwell. L flt de interés ingenieril en ls cviddes resonntes probblemente se debe ls frecuencis extremdmente lts requerids pr estructurs resonntes de tmños rzonbles. Ests fuentes de lt frecuencis y sus equipos de pruebs socidos no estbn disponibles hst hce poco, de mner que el trbjo experimentl en este áre no fue posible. El interés en ls cviddes resonntes empezó en los ños 3 del siglo psdo, cundo W. W. Hnsen publicó dos rtículos sobre resondores eléctricos y son l bse del estudio de de ls cviddes resonntes de nuestros tiempos. Resondores rectngulr y cilindrico Figur 1. Sistem de coordends pr ls cviddes rectngulr y cilíndric.
2 Los resondores rectngulr y cilindrico son dos csos especiles que se resuelven rápidmente en términos de l teorí de guí de onds. Usmos los mismos sistems de coordends como en l teorí de guí de onds y especificmos l longitud de los resondores como d, como se muestr en l figur 1. Cundo se colocn plcs conductors (corto circuitos) en mbos extremos de l sección de guí de ond, el coeficiente de reflexión es -1 en estos puntos. Así existen dos onds dentro del re sondor, un incidente y un reflejd, que son igules en mgnitud y en fse de mner que existirán nodos en el cmpo eléctrico trnsversl en mbos extremos. Se puede ver que βd debe ser un múltiple de ; es decir, d = p (1) donde p es un entero. Ahor, de l teorí de guí de ond, k c está relciondo con l frecuenci trvés de k c = = () Al combinr ls ecuciones (1) y () conduce l ecución pr l frecuenci resonnte: r [ k c ] p (3) d Est fórmul se plic culquier cvidd tipo gui de ond. Se recuerd de l teorí de guí de ond que k c es un constnte que depende sólo del modo y de l geometrí de l sección trnsversl de l guí involucrd. Pr el cso de l guí de ond rectngulr, k c = m n (tnto pr los modos TE como TM) (4) b Pr el cso cilíndrico, k c = k c = p nm p ' nm (modo TM) (modo TE) (5.) (5.b) Note que hy tres grdos de rbitrriedd en l selección de los modos, dos que resultn del modo de l guí de ond y el tercero del número de medi longitudes de ond en l dirección xil. Un notción de subindices es util pr identificr los diferentes modos posibles en un cvidd resnonnte, exctmente como se hizo con l guí de ond. El procedimiento usul es llevr los dos subíndices del modo de l guí de ond del cul l cvidd resonnte se deriv y luego gregr un tercer subíndice pr indicr el número de
3 medi longitudes de ond en l dirección xil. Por ejemplo, el modo TE lol en el resondor rectngulr se deriv del modo de guí de ond TE lo y tiene un vrición de medio ciclo en l dirección z. L frecuenci de resonnci de este modo está ddo por ] (modo TE 11) (6) r [ 1.. b 1. d L configurción resultnte de los cmpos se muestrn en l figur. Ejemplo 1 Figur. Configurción de los cmpos pr el modo TE 11. Ahor es instructivo desrrollr ls expresiones explícits pr los cmpos del modo TE lol en un resondor rectngulr formdo l colocr dos plcs conductors (corto circuitos) sobre los extremos de un sección de guí de ond rectngulr de longitud d. Ls dimensiones de l GOR son x b. Empezmos con ls expresiones pr los cmpos del modo TE 1 en un GOR. Estos son: =E sen x = E sen x Z (TE) H z = j E cos x E x =E z =H y = Ahor insertmos l dependenci en z, e j z pr ls onds que se propgn en l
4 direccion +z y e j z pr ls onds que se propgn en l direccion -z. Ls componentes no-nuls pr l ond propgndose en l direccion + z son: + =E + sen x e j z H + x = E + sen x j z e Z (TE) H + z = j E + cos x e j z Ls componentes no-nuls pr l ond propgndose en l direccion z son: E ȳ =E - sen x e j z H - x = E - sen x Z (TE) e j z H - z = j E - cos x e j z Pr l ond que se propg en l dirección -z, l orientción del cmpo eléctrico se sume igul l orientción del cmpo eléctrico de l ond propgándose en l dirección + z. Esto oblig l componente trnsversl del cmpo mgnetico ( ) ser orientd en l dirección opuest pr l componente trnsversl del cmpo mgnético propgándose en l dirección -z. Ests onds existen simultnemente en l estructur rectngulr, de mner que podemos escribir ls onds compuests como = E + e j z E - e j z sen x = E + e j z E - e j z H z = j E - 1 sen x Z (TE) E + e j z E - e j z cos x Ls condiciones de borde requieren que el cmpo eléctrico tngencil desprezc en z = y z = d. Así = en z =, es decir,
5 E + E - sen x = Aquí se escoge E - =E y E + = E. Al sustituir en l expresion pr se obtiene =E e j z e j z sen x = je x sen z sen Pr stisfcer l condición de borde que = en z = d, =/d. Ls otrs componentes de cmpo hor se pueden determinr: = E cos z Z (TE) d sen x H z = E sen z d cos x Usndo ls relciones Z (TE) = [1 c / r ] y = c = c r (en este cso ω = ω r ) podemos escribir ls expresiones pr los cmpos como: = je sen z d sen x = E 1 c / r H z = E c r sen z d cos x cos z d sen x En ests ecuciones, c, r d y =.
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