lim x sen(x) Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 23-II-2015 CURSO Instrucciones:

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1 EXAMEN DE MATEMATICAS II ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: II5 CURSO 5 Instrucciones: a) Duración: HORA y MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B c) Contesta de forma razonada, escribe ordenadamente y con letra clara. d) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica). Opción A Ejercicio. [,5 puntos] Sabiendo que es cos() e a sen() finito, calcula a y el valor del límite. Ejercicio. Sea f: R R la función definida por: a si f() b si > a) [,5 puntos] Halla a y b sabiendo que f es derivable en R. b) [ punto] Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa. π Ejercicio. [,5 puntos] Calcula / d cos () (Sugerencia: integración por partes). Ejercicio. Sea f: R R la función definida por f() a) [ punto] Estudia la derivabilidad de f en. b) [,5 puntos] Esboza la gráfica de f. c) [ punto] Calcula el área del recinto itado por la gráfica de f y el eje de abscisas. Opción B Ejercicio. Sea f la función definida por f(), para. a) [.75 puntos] Halla, si eisten, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. b) [ punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de f. c) [.75 puntos] Esboza la gráfica de f. Ejercicio. [,5 puntos] Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es y que el producto de sus cuadrados es máimo. Ejercicio. [,5 puntos] Determina una función f: R R sabiendo que su derivada viene dada por f'() 6 y que el valor que alcanza f en su punto de máimo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo). Ejercicio. Sea f: (, ) R la función definida por f() Ln( ) (Ln denota la función logaritmo neperiano). a) [ punto] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) [,5 puntos] Calcula el área del recinto itado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta.

2 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción A Ejercicio. [,5 puntos] Sabiendo que es Hallamos el límite de la epresión: cos() e a cos() e a. sen() sen() cos() e a sen() finito, calcula a y el valor del límite. Como ambas funciones f y g son continuas en el intervalo [a δ, a δ] y derivables en el intervalo (a δ, a f() δ), verificando que f(a) g(a) y tales que podemos aplicar la regla de L Hôpital, que a g() f() f'() dice que se verifica que. a g() a g'() cos() e a.sen() e a. e a a sen() sen() cos() Como según el enunciado el límite eiste y es finito el numerador ha de ser nulo, para obtener una indeterminación y poder volver a aplicar la regla de L Hôpital, por lo tanto a a. Volvemos a aplicar la regla de L Hôpital, con a, obteniendo el límite:.sen() e 9.cos() e 9.cos() e 9.cos() e sen() cos() cos() cos().sen() cos().sen() cos().sen() 9. e. 9 5 Ejercicio. Sea f: R R la función definida por: a si f() b si > a) [,5 puntos] Halla a y b sabiendo que f es derivable en R. b) [ punto] Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa. a) Si la función es derivable ha de ser continua. Como la rama de la izquierda es una polinómica de segundo grado, es por lo tanto continua y derivable en todo R, en particular en <. La rama de la derecha es una polinómica de segundo grado, por lo tanto continua y derivable en todo R, en particular en > Obliguemos a que sea continua en : f() f() (a ) a6 lím lím lím f() ( b ) b lím Igualando ambas epresiones obtenemos la ecuación a 6 b [] Obliguemos a que sea derivable en : f ( f() f() (a ) (a 6) ) a( ) ( ) ( )[a( ) ]

3 [a( ) ] a f ( ) f() f() Utilizando la epresión []: ( b ) (a 6) f ( ( ) b ) b ( ) b( ) Igualando ambas epresiones obtenemos la ecuación a b [] ( )[( ) b] [( ) b] b Como f ( ) f ( ), f() no es derivable en, por lo cual es derivable en R{} a 6 b Resolviendo el sistema, obtenemos a y b 7, por tanto la función pedida es a b si f() 7 si > b) Como nos piden la recta tangente y normal en, tomamos la rama de la función con >, es decir f() 7 La recta tangente en es: yf() f ()() La recta normal en es: y f() (/f ()).() Tomaos valores: () 7 f() 9 6 f () 7 f () 6 7 La recta tangente en es: y 6 ( ) La recta normal en es: y 6 (/).( ) Ejercicio. [,5 puntos] Calcula π/ d (Sugerencia: integración por partes). cos () Resolvemos primero la integral indefinida I d que realizamos por partes siendo: cos () u du d d dv v tg cos () sen I.tg tg.d.tg.d. tg [ln(cos )]. tg ln(cos ) cos Luego aplicamos la regla de Barrow: π / π d [. tg ln(cos ) ] / cos () π ln π [ ln( ) ] ln π π π. tg ln cos [. tg( ) ln( cos ) ]

4 Ejercicio. Sea f: R R la función definida por f() a) [ punto] Estudia la derivabilidad de f en. b) [,5 puntos] Esboza la gráfica de f. c) [ punto] Calcula el área del recinto itado por la gráfica de f y el eje de abscisas. Solución a) Para estudiar la derivabilidad de f en, antes debemos considerar la continuidad de la función en dicho punto. Para ello redefinimos la función como función a trozos. si < si La rama de la izquierda es una polinómica de segundo grado, por lo tanto continua y derivable en todo R, en particular en < La rama de la derecha es una polinómica de segundo grado, por lo tanto continua y derivable en todo R, en particular en > Veamos la continuidad de f() en : lím f() lím ( ) f() lím f() ( ) lím Al ser dichos valores iguales, la función f() es continua en, y por tanto en todo R. Estudiemos la derivabilidad en, es decir si son iguales las derivadas laterales: f ( f() f() ( ) ) ( ) f ( ) f() f() ( ) Como f ( ) f ( ), f() no es derivable en, por lo cual es derivable en R{} b) Para calcular el área del recinto itado por la gráfica de f y el eje de abscisas representamos dicha gráfica teniendo en cuenta que la rama de la izquierda es una parábola cóncava cuyo vértice es la solución de f () : f () f () cuya ordenada es: () es decir V (, ) La rama de la derecha es una parábola convea cuyo vértice es la solución de f () : f () f () cuya ordenada es: () es decir V (, ) que no pertenece al dominio. Obtenemos la gráfica de la figura adjunta. c) El área que nos piden es A ( )d 8 u

5 Opción B Ejercicio. Sea f la función definida por f(), para. (a) [,75 puntos] Halla los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. (b) [ punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de f. (c) [,75 puntos] Esboza la gráfica de f. Solución a) Cortes con los ejes. Corte con el eje OY: No tiene porque no está definida la función para. Corte con el eje OX: que no tiene Solución real. Luego la función no tiene cortes con los ejes. a) Asíntotas. Asíntota vertical: puesto que: Asíntota horizontal: No tiene puesto que Asíntota oblicua: No tiene puesto que ( )/ Por lo tanto presenta una rama parabólica. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos Para calcularlos hallamos la primera derivada de la función.. ( ) ( ) f () que se anula en: ( ) con soluciones y Luego se establecen las regiones: (, ), (,), (, ) y (, ). Tomando valores en la derivada en cada una de las regiones obtenemos que: f es creciente en (, ) (, ). f es decreciente en (,) (, ) Por lo tanto deducimos que la función tiene: Un máimo relativo en (, ) Un mínimo relativo en (, ). c) Un esbozo de la gráfica es el de la figura adjunta: 5

6 Ejercicio. [,5 puntos] Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es y que el producto de sus cuadrados es máimo. Es un problema de optimización. Consideramos que e y son los dos números pedidos. Por el enunciado del problema debemos optimizar: P(, y).y [] Sujeta a la relación: y y Sustituyendo en []: P().().( ). Para maimizarlo hallamos su primera derivada P (): P () 6. y resolvemos P () que serán los posibles máimos o mínimos. P () 6 ( 6) con solución con soluciones y 5. Luego los posibles máimos o mínimos son, 5 y. 6 Hallemos P () y comprobemos dichos valores para averiguar si es máimo o mínimo: P () Como P () >, es un mínimo relativo. Como P () >, es un mínimo relativo. Como P (5) <, 5 es un máimo relativo. Ejercicio. [,5 puntos] Determina una función f: R R sabiendo que su derivada viene dada por f'() 6 y que el valor que alcanza f en su punto de máimo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo). Vamos a determinar en primer la integral de f () que es f(): f() f' () d ( 6) d 6 C Los etremos, máimos o mínimos relativos se alcanzan en los valores que anulan la derivada: ± ± 5 6 con soluciones y Para comprobar si son máimos o mínimos hallamos la ª derivada y comprobamos su valor: f '() Como f () y f () 5 <, es un máimo relativo Como f () y f () 5 >, es un mínimo relativo Sustituimos los valores en la integral f(): () () f() 6() C 9 C 9 7 C 8 f() 6. C C C 6

7 Aplicamos el enunciado del problema de que el valor que alcanza f en su punto de máimo relativo es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo relativo: 7 f() f() C 7. C C 7 C 7C 6C 7 C C Luego la función pedida es: 7 f() 6 Ejercicio. Sea f: (, ) R la función definida por f() Ln( ) (Ln denota la función logaritmo neperiano). a) [ punto] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) [,5 puntos] Calcula el área del recinto itado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta. Solución a) La recta tangente en en forma puntopendiente es: yf() f ()() Tomamos valores en la función y la derivada: f() Ln() f() Ln() f () f () Sustituyendo valores: y () y que es la bisectriz del I y III cuadrante. b) La gráfica de Ln( ) es eactamente igual que la de Ln() pero desplazada una unidad a la izquierda en el eje de abscisas OX. Un esbozo del recinto pedido es el de la figura adjunta donde observamos la recta tangente está por encima de la gráfica de la función: Vamos ya a calcular el área que nos piden A [ Ln( )]d d Ln( )d La primera es una integral inmediata y la segunda es una por partes, de la cual hallaremos una primitiva I Ln( )d d u Ln() du dv d v I d Ln( ) d Como la integral obtenida es racional donde numerador y denominador tiene el mismo grado sumamos y restamos en el numerador: I d d d d Ln( ) Ln( ) d Ln( ) d.ln()ln() Luego el valor del área es: A.Ln( ) Ln( ).Ln() Ln().Ln() Ln().Ln() u 7