(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

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1 (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA Esta clasiicación obedece a la orma en que están relacionados los elementos del dominio con los del codominio. Conviene utilizar la notación: D C : Función que mapea al dominio Función Inyectiva (uno a uno) D en el codominio C Deinición. Una unción : D C es inyectiva o uno a uno y se denota como, si a dierentes elementos del dominio le corresponden dierentes elementos del codominio. En esta unción, para dos valores cualesquiera y de su dominio se cumple que: ( ) ( ) Ejemplo. La unción ( ) 3 = + es ya que si se deine como : entonces se tendrá que a dierentes elementos del dominio les corresponden dierentes elementos del codominio. Ejemplo. Sea M el conjunto de mujeres con hijos, H el conjunto de los hijos y la unción que asocia a cada mujer con su hijo primogénito. Es una unción o inyectiva.

2 H( hijos ) M M 4 M M 3 M ( mujeres ) HM P P HM P H P P HM HM 4 3 Ejemplo. Sea la unción : dada por ( ) =. y ( ) = ( ) (, ( ) ) (, ( ) ) Para comprobar analíticamente si una unción es se despeja, cuando esto es posible, la variable independiente " " en términos de la variable dependiente " y " y se comprueba que para cada valor de " y " eista un solo valor de " ". Para comprobar gráicamente que una unción es basta con comprobar que toda recta paralela al eje " " corta a la gráica de la unción en un solo punto. Si en el ejemplo anterior se limita el dominio de la unción es evidente que se obtienen unciones inyectivas: : + { 0} dada por ( ) = o bien

3 { } dada por ( ) = : 0 3 Ejemplo. Sea la unción : π, π ; ( ) = cos. Si se graica se observa que no es. Sin embargo, si se cambia su dominio y ahora se deine como: : 0, π ; ( ) = cos se verá que cualquier recta horizontal corta a la gráica en un solo punto por lo que sí es. y y D π π =, D = 0, π π π 0 π "no inyectiva" "sí inyectiva" Ejemplo. Dos unciones, una que sí es y otra que no D 3 c C a e b d D 3 C b a sí es - no es - Ejemplo. Veriicar analíticamente que la unción : 0, ) dada por ( ) = + 4, es inyectiva.

4 4 Función Suprayectiva (sobre) Deinición. Una unción es suprayectiva o sobre si todo elemento de su Codominio es imagen de por lo menos un elemento de su Dominio, lo que se epresa como: Sea : D C Si b C eiste a D tal que a = b, entonces es sobre Otra orma de epresar que una unción es sobre es decir que debe cumplir con que su Codominio y su Recorrido sean iguales, esto es, R = C Ejemplo. Sea la unción ( ) 3 = + deinida como :. En este caso se ve que todo número real es imagen de algún otro número real bajo la unción. Esto signiica que el recorrido es igual al codominio y por lo tanto la unción dada es suprayectiva o sobre. Ejemplo. Analizar si la unción deinida como : dada por ( ) = es suprayectiva y, en caso de no serlo, determinar bajo qué condiciones podría serlo. ( )

5 5 Ejemplo. se presentan en este ejemplo dos casos, uno en que la unción es sobre y otra en la que no lo es: D 3 C b a D 3 c C a e b d sí es sobre no es sobre Ejemplo. Veriicar que la unción deinida como =, es suprayectiva. :( 0, ) (,0) y dada por ( )

6 6 Función Biyectiva (- y sobre) Deinición. Una unción es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva, y la relación entre los elementos del dominio y los del codominio es biunívoca. Una unción puede ser: i) - y sobre (biyectiva) ii) -, pero no sobre iii) No -, pero sí sobre iv) Ni - ni sobre Ejemplo. Aquí se presentan los casos antes citados: a a c b 3 b c Biyectiva - y sobre - no y sobre sí

7 7 b a c 3 4 a c b sí y sobre no - no y sobre no Ejemplo. Dada la unción : 0, ) 0, ) dada por ( ) = investigar si es biyectiva:, Ejemplo. Decir si la siguiente unción es biyectiva y, en caso de serlo, hacer un trazo de su gráica: ( ) : 0, 0, dada por = +

8 8 FUNCIÓN INVERSA Si en una unción biyectiva se cambian " " por " y " y " y" por " ", y se despeja la nueva variable dependiente " y ", la relación resultante es una nueva unción que se llama unción inversa y se denota con " ". Deinición. Sea una unción biyectiva. Entonces su unción inversa es " " y está deinida por la siguiente condición: y, si y sólo si y, ( ) ( ) El dominio de se convierte en el recorrido de recorrido de en el dominio de, esto es, D = R y R = D y el Las gráicas de y son simétricas con respecto a la gráica de la unción identidad y =. Como se dijo, para que una unción admita unción inversa, debe ser biyectiva, aunque cabe decir que lo importante para que esta eista es que sea inyectiva, ya que para ser suprayectiva bastará considerar siempre que el codominio es igual al recorrido. Ejemplo. Investigar si la unción dada por: {( ) = + } :, y y ;, ;

9 es biyectiva y, en caso de serlo, obtener su unción inversa y dar dominio, recorrido y trazo de la gráica de y. 9 Ejemplo. Dadas las seis unciones trigonométricas, eplicar las condiciones que deben guardar sus respectivos dominios para que tengan unciones inversas y deinir éstas. π π ( ) = sen. Se limita su dominio al intervalo,, y entonces sí tiene unción inversa: y = sen ; = seny y = angsen ( ) = angsen ; D =, = R ( ) cos =. Se limita su dominio al intervalo 0,π, entonces sí tiene unción inversa: y = cos ; = cos y y = angcos ( ) = angcos ; D =, = R ( ) tan = π π. Se limita su dominio al intervalo, y de esta orma admite unción inversa: y = tan ; = tany y = angtan

10 ( ) ( ) = tan ; =, = ang D R 0 ( ) cot =. Si se ija el dominio al intervalo ( 0,π ), entonces ( ) sec tiene unción inversa: y = cot ; = cot y y = angcot ( ) ( ) ang D R = cot ; =, = π =. Se limita su dominio al intervalo 0, π, tendrá unción inversa, la que se deine como: y = sec ; = secy y = angsec ( ) sec ; (,, ) ang D = = ( ) csc π π =. Se limita su dominio al intervalo, {} 0 su unción inversa será: y = csc ; = cscy y = angcsc ( ) csc ; (,, ) ang D = = y Como ilustración de esto, considérese el siguiente ejercicio: Ejemplo. Dada la unción deinida como : 0, π, dada por ( ) = cos, dar dominio y recorrido de y y graicarlas. Se trabaja con la tabla siguiente para graicar las dos unciones (directa e inversa): π π π π 5π y = ( ) π y = ( )

11 y π π Ejemplo. Dada la siguiente unción, decir si es biyectiva y si lo es, dar dominio, recorrido y gráica de y y deinir la regla de correspondencia de la unción inversa. + si < 0 ( ) = + 6 si 0 6 3

12 Ejemplo. Investigar si la siguiente unción es biyectiva y en caso de serlo, obtener su unción inversa y determinar dominio, recorrido y gráica de y. si 0 ( ) = π + sen si 0 <

13 3 Ejemplo. Sea la unción: + 4 si 4 ( ) = 6 si < < 0 4 si 0 < 4 4 Investigar si es biyectiva y en caso airmativo, obtener su unción inversa, así como dominio, recorrido y gráica de y.

14 4 Composición de una unción con su unción inversa Coma ya se vio, las gráicas de una unción y su inversa son simétricas con respecto a la gráica de la unción identidad y =. Es por ello que resulta sencillo probar los resultados de las siguientes composiciones de unciones: = = R ( ( )) ( ) ( ) = = D La veriicación gráica de estas epresiones se muestra en la siguiente igura: = ( ( )) ( ) = ( ( ) ) ( ) FORMULACIÓN DE FUNCIONES Secuela para ormular unciones: - Lectura e identiicación de magnitudes e incógnitas - Modelo geométrico con magnitudes

15 - Modelo matemático preliminar - Ecuaciones auiliares - Modelo matemático deinitivo 5 Ejemplo. Si se supone que la resistencia a la leión de una viga es directamente proporcional al ancho y al cuadrado del peralte de su sección, ormular una epresión matemática que represente a la resistencia de dicha viga en términos únicamente de su ancho. La viga se saca de un tronco de sección circular cuyo diámetro es de 50 cm. Ejemplo. Un ingeniero desea construir un tanque cilíndrico con tapas semieséricas como el que se muestra en la igura. El costo del material con el que se construye el cilindro es de 0 pesos por m y el de las tapas es de 40 pesos por m. Si el volumen del tanque debe ser de 5000 litros, el

16 ingeniero se pregunta: Cuáles serán las dimensiones " " y " y " del tanque para que el costo de los materiales sea el mínimo? Para responder a esta pregunta, decide ormular la unción que relaciona al costo del cilindro en términos de una de las variables, ya sea " " o " y ". Se pide ahora ormular un modelo teórico del costo de los materiales para construir el tanque, en términos únicamente del radio " " de las semieseras de los lados. 6 y Ejemplo. Obtener una epresión que deina el volumen de un cilindro circular recto, inscrito en un cono circular recto de radio 5 m y altura m, en unción eclusivamente del radio del cilindro.

17 7 Ejemplo. Se trata de inscribir un cono circular recto, cuyo radio de la base es " " y su altura " y ", en una esera de radio " R ". Obtener una epresión para el volumen del cono, en unción únicamente de su altura.

18 8 Ejemplo. El lado de un terreno rectangular debe colindar con un muro de piedra. Si un ingeniero cuenta con 000 m de cerca lineal, pretende saber qué dimensiones debe tener el terreno para que el área sea máima. Y para ello, el ingeniero construye un modelo matemático con una unción a optimizar que considere como variable únicamente a la longitud de los lados que no colindan con el muro. Cómo deine este modelo? Ejemplo. Una recta que pasa por el punto ( ) 3,4 orma con los ejes coordenados, en el primer cuadrante, un triángulo rectángulo. Deinir una epresión del área del triángulo ormado en términos eclusivamente de la longitud desde el

19 9 origen de coordenadas al punto donde la recta corta el eje de las ordenadas, es decir, en términos de la ordenada al origen. Ejemplo. Un tanque en orma de cilindro recto con tapa debe contener 0,000 litros de una determinada substancia química. Los materiales para su construcción tienen el costo siguiente: $00/ m para la base, $00/ m para la tapa y $80/ m para la supericie lateral. Obtener una epresión que deina al costo de la cantidad de material empleado en la construcción del tanque en unción solamente del radio de su base.

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