INTEGRALES LECCIÓN 13

Transcripción

1 INTEGRALES LECCIÓN 13 Índie: Cálulo de áres. Ejemplos. Prolems. 1.- Cálulo de áres Si y son dos uniones ontinus en el intervlo [,] tles que, entones el áre de l reión del plno limitd por sus ráis y ls rets x y x viene dd por l órmul: S (-) Vemos primero que l órmul es iert undo ms uniones son no netivs. Evidentemente: SS 1 -S 1 - (-) S S 1 S Vemos hor que tmién es iert l órmul en los demás sos. Si l reión del plno limitd por ls ráis de y no se enontrse situd por enim del eje de siss, omo pree en el siuiente diujo, podrímos trsldr vertilmente dih reión hst que lo estuviese. Si F(x)(x)+k y G(x)(x)+k, esto es, si ls ráis de F y G se hn otenido trsldndo vertilmente hi rri ls de y, respetivmente, un distni k, es evidente que el áre enerrd por ls ráis de F y G es l mism que l que enierrn ls de y. Por tnto: S 3 (F-G) ([+k]-[+k]) (+k--k) (-) En el so de que ls uniones y tenn puntos de orte en el intervlo [,], se hlln dihos puntos y se estudi l posiión reltiv de ls uniones en d uno de los suintervlos en que esos puntos de orte dividen l intervlo [,]; llí donde >, se F G S S k 1 Por el siniido eométrio de l interl deinid de un unión ontinu y no netiv en [,], visto en l leión I-. Por l propiedd de linelidd de l interl deinid. 3 que F y G son uniones ontinus y no netivs en [,] tles que F G

2 tom l interl de - on sino positivo (o l de - on sino netivo) y donde >, l de - on sino positivo (o l de - on sino netivo). Si es, por ejemplo, el únio punto de orte, el áre señld es: SS 1 +S 1 (-)+ (-) Si se quiere evitr el estudio de l posiión reltiv de ls uniones y en d uno de los suintervlos, puede utilizrse l órmul equivlente: En eeto: S (-) + (-) (-)+ (-) (-) + (-) 3 (-) + - (-) + (-) (-) 4 serv que ls órmuls nteriores tmién se pueden plir l áre limitd por l rái de un unión ontinu en [,], el eje de siss y ls rets x y x, pues en este so l seund unión es (x): S 1 S S 1 SS 1 +S 5 S - 3 (-)+ (-).- Ejemplos Clulemos el áre de l reión del plno limitd por l rái de l unión ysen x, el eje de siss y ls rets x-π/ y xπ/. 1 Si se dese que l unión interndo se l mism, l órmul, por l propiedd de linelidd de l interl deinid, puede esriirse sí: s (-)- (-) que un número no netivo oinide on su vlor soluto. 3 Por l propiedd de linelidd de l interl deinid. 4 que dos números opuestos tienen el mismo vlor soluto. 5 Por el siniido eométrio de l interl deinid de un unión ontinu en [,], visto en l leión I I-13

3 1º) Resolvemos el sistem que ormn ls uniones que limitn por rri y por jo el reinto uy áre queremos hllr: ysen x y sen x x+kπ 1 x º) Averiumos entre -π/ y y entre y π/ qué unión está por enim y qué unión está por dejo: 3º) Hllmos el áre: 3 x y 1 y -π/4 - / π/4 / A (-sen x) dx+ -π/ π/ (sen x-) dx 4 - sen x dx+ -π/ π/ sen x dx 5 [os x] -π/ +[-os x] π/ [os -os(-π/)]+[-os(π/)+os ] (1-)+(-+1)1+1 Clulemos el áre de l reión del plno limitd por ls ráis de ls uniones yx 3 -x+1 e yx +1. 1º) Resolvemos el sistem que ormn ls uniones que limitn por rri y por jo el reinto uy áre queremos hllr: yx 3 -x+1 yx +1 x 3 -x+1x +1 x 3 -x+1-x -1 x 3 -x -x x(x -x-) x x -x- x 1± 1+8 x x-1 º) Averiumos entre -1 y y entre y qué unión está por enim y qué unión está por dejo: 3º) Hllmos el áre: x y 1 y -1/ 15/8 1/8 1 A -1 [(x3 -x+1)-(x +1)] dx+ [(x +1)-(x 3 -x+1)] dx 1 Sólo interesn ls soluiones que se enuentrn en el intervlo [-π/,π/]. Estos dos psos sorn si se tiene diujdo on preisión el reinto uy áre queremos lulr. 3 Si se repr en l simetrí que present l unión (se trt de un unión impr), puede reduirse el álulo l intervlo [,π/] y multiplir el resultdo por. 4 Por l propiedd de linelidd de l interl deinid. 5 L orrespondiente interl indeinid es inmedit de tipo oseno I-13

4 -1 (x3 -x -x) dx+ (-x3 +x +x) dx x x x x x x 37 1 Clulemos el áre de l reión del plno limitd por l rái de l unión yx y ls rets yx e yx+. Al representr ls ráis de ls tres uniones oservmos que l reión que deinen puede dividirse en dos: l omprendid entre -1 y, en l que yx+ es l unión que se enuentr por enim e yx l que se enuentr por dejo; y l omprendid entre y, en l que yx+ está por enim e yx, por dejo. Por tnto A -1 (x+-x ) dx+ (x+-x) dx -1 (+x-x ) dx+ x+ x (-x) dx 1 - x x x [(4-)-] Prolems 1) Clul el áre de los reintos limitdos por ls siuientes línes: ) yx, y, x, x4 ) yx, yx ) yx -4x, yx-5 d) yx 3-6x +8x, e) yx 3,, x, x ) y x, yx ) y-x, y-1 h) yx 4-5x +4, i) yos x,, x, xπ j) yln x, y, xe k) y x+1,, x, x4 l) ye x (x +1),, x, x1 m) yx 4 -x, yx n) ysen x, yos x, x, xπ/ ñ) ye x, ye -x,, x-1, x1 o) yx(x-1)(x-), p) x y36,, x6, x4 q) (x) x, (x)x -1 r) y1/x, x+3y-7 s) (x)x -x, (x)6x-x 1 Ls orrespondientes interles indeinids son inmedits de tipo potenil. Siempre es onveniente diujr el reinto uy áre se pide lulr, pero undo diho reinto está limitdo por más de dos uniones es neesrio herlo I-13

5 ) Hll el áre del triánulo mixtilíneo ormdo por l rái de l práol y 6x y sus tnentes en los puntos de orte on l ret x6. 3) Clul el áre omprendid entre l práol y-x +4x y sus tnentes en los puntos de interseión on el eje. 4) Hll el áre del reinto limitdo por l urv yx e x, el eje y l ret prlel l eje de ordends que ps por el punto mínimo de l urv. 5) Clul el áre omprendid entre l urv yx+1+1/x, su síntot oliu y ls rets x1 y x. 6) Hll el áre de l reión del plno limitd por l urv de euión yx 4-6x +5, el eje y ls rets prlels l eje de ordends que psn por sus puntos de inlexión. 7) Ls tnentes l urv yx 3 en los puntos A y B de siss 1 y, respetivmente, se ortn en el punto C. Determin el áre del triánulo mixtilíneo ABC. 8) Hll el áre del reinto limitdo por ls urvs de euiones ye x, ye -x, y-e x, y-e -x y ls rets x-1 y x1. 9) Se tiene un udrdo determindo por los ejes oordendos y el vértie (1,1). L urv yx 3 lo divide en dos reiones. Hll l rzón de ls áres de ess dos reiones. 1) Dd l ret ymx, determin el vlor de m pr que el áre del reinto limitdo por dih ret y l urv ) yx vl 36 ) yx 3 vl 8 11) Un río tiene por euión yx 3 /4-x +x respeto de un sistem en el que el eje de siss es un mino. Tomndo omo unidd el km y siendo que el preio del terreno es de,5 /m, lul el vlor de l porión de terreno omprendid entre el río y el mino. 1) Dd l unión (x)x(x-), se pide: ) el vlor de pr que presente un máximo en x1; ) l rái de ; ) el áre de l reión que deine on el eje. 13) Hll, medinte un interl deinid: ) El áre de un retánulo de se y ltur. ) El áre de un triánulo retánulo de se y ltur. ) El áre de un trpeio retánulo de ltur h y ses y B. d) El áre del irulo de rdio r. e) El áre de l elipse de euión x / +y / I-13

6 14) Se un unión ontinu en [,] y R l reión del plno limitd por l rái de, el eje de siss y ls rets x y x. El volumen del uerpo de revoluión enendrdo por R l irr lrededor del eje de siss se otiene on l órmul Vπ Teniendo esto en uent, lul: ) El volumen del ilindro de ltur h y rdio de l se r. ) El volumen del ono de ltur h y rdio de l se r.. ) El volumen del trono de ono de ltur h y rdios de ls ses r y R. d) El volumen de l eser de rdio r. e) El volumen del elipsoide que result l irr lrededor del eje de siss l elipse de euión x / +y / 1. 15) El áre de l superiie de revoluión enendrd l irr lrededor del eje de siss l rái de un unión entre y viene dd por l órmul Sπ 1+'. Teniendo esto en uent, hll: 1 ) El áre del ilindro de ltur h y rdio de l se r. ) El áre del ono de ltur h y rdio de l se r. ) El áre del trono de ono de ltur h y rdios de ls ses r y R. d) El áre de l eser de rdio r. 16) L lonitud de l rái de entre x y x viene dd medinte l órmul L 1+'. Teniendo esto en uent, lul l lonitud de l irunereni. 1 17) Enuentr el áre de l reión del plno limitd por l rái de l unión (x)os x/ 1-sen x, el eje de siss y ls rets x y xπ/. 18) Clul el áre de l reión del plno situd en el primer udrnte y omprendid entre l unión (x)(+sen x)/e x y su síntot. 19) Hll el áre de l reión del plno que se enuentr situd entre l rái de l unión y1/(x +9) y su síntot. 1 L unión interndo dee ser ontinu en [,]. serv que l unión no está deinid en xπ/ I-13