C alculo Octubre 2010

Transcripción

1 Cálculo Octubre 2010

2 c Dpto. de Mtemátics UDC

3 c Dpto. de Mtemátics UDC L integrl indefinid Sen I R un intervlo bierto y f : I IR Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I Teorem Si F y G son dos primitivs de un mism función f en un intervlo I, entonces, k IR tl que F(x) = G(x) + k, x I

4 c Dpto. de Mtemátics UDC L integrl indefinid Definición Dd un función f : I IR, llmremos integrl indefinid de f l conjunto de tods sus primitivs, y escribiremos: f (x)dx = { F / F (x) = f (x), x I } En consecuenci, si conocemos un primitiv F de f, conocemos tods: f (x)dx = {F + k, k IR} Propiedd (linelidd de l integrl) [f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x) dx α f (x)dx = α f (x)dx, α IR

5 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles inmedits f (x) m f (x)dx = 1 m + 1 f (x)m+1 + C, m 1 f (x) dx = ln f (x) + C f (x) e f (x) f (x)dx = e f (x) + C f (x) f (x)dx = f (x) + C, > 0, 1 ln [sinf (x)]f (x)dx = cosf (x) + C [cosf (x)]f (x)dx = sinf (x) + C

6 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles inmedits f (x) 1 + f 2 (x) dx = rctnf (x) + C f (x) dx = rcsinf (x) + C 1 f 2 (x) f (x) sin 2 dx = cotf (x) + C f (x) f (x) cos 2 dx = tnf (x) + C f (x) [tnf (x)]f (x)dx = ln cosf (x) + C [cotf (x)]f (x)dx = ln sinf (x) + C

7 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción por prtes u(x)v (x)dx = (uv)(x) v(x)u (x)dx o bien, udv = uv vdu Es conveniente cundo el integrndo es un producto de: polinomio y exponencil polinomio y seno o coseno exponencil y seno o coseno

8 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción por cmbio de vrible Sen: f : [,b] IR integrble, ϕ : [α,β] IR inyectiv, con derivd continu y tl que: ϕ ([α,β]) [,b] Entonces f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ (t)dt

9 c Dpto. de Mtemátics UDC Sums de Riemnn Se un intervlo [,b] IR y f : [,b] IR un función cotd. Definición Llmmos prtición P de [,b] un conjunto de puntos {x 0,x 1,...,x n } que verific: = x 0 x 1 x 2... x n 1 x n = b Definición Dd un prtición P, definimos M i = sup f (x) m i = ínf f (x) x i 1 x x i x i 1 x x i Definición Llmmos sum superior de Riemnn y sum inferior de Riemnn de l función f reltivs l prtición P : U(P,f ) = n i=1 M i (x i x i 1 ) L(P,f ) = n i=1 m i (x i x i 1 )

10 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrl de Riemnn Definición Dd un función f cotd, diremos que es integrble en [,b] en el sentido de Riemnn si y sólo si: ε > 0, P prtición de [,b] tl que U(P,f ) L(P,f ) < ε. Escribiremos f R[, b]. Interpretción gráfic Dd un función positiv en un intervlo [,b], su integrl de Riemnn represent el áre encerrd por l curv y = f (x) y el eje y = 0, entre ls bsciss x = y x = b

11 c Dpto. de Mtemátics UDC

12 c Dpto. de Mtemátics UDC

13 c Dpto. de Mtemátics UDC Teorem (de integrbilidd) Tod función continu en [,b] es integrble en dicho intervlo = Tod función derivble es continu, y por lo tnto integrble Tod función monóton y cotd en [,b] es integrble en dicho intervlo Tod función cotd en [,b] que present en dicho intervlo un número finito de puntos de discontinuidd, es integrble en [,b] Se f un función integrble en [,b] en el sentido de Riemnn, y tl que: m f (x) M, x [,b] Si g es continu en [m,m], entonces l función compuest (g f ) es integrble en [,b]

14 c Dpto. de Mtemátics UDC Propiedd Sen f,g R[,b] (f ± g) R[,b] y (cf ) R[,b], c IR, y se cumple: (f ± g)dx = f dx ± gdx cf dx = c f dx Si f (x) g(x) en [,b], entonces f dx gdx Si < c < b, entonces f R[,c] y f R[c,b], y se verific: c f dx = f dx + f dx c Si f (x) M, x [,b], entonces f dx M(b ) fg R[,b] f R[,b], y se cumple: f dx dx f

15 c Dpto. de Mtemátics UDC Teorem (fundmentl del cálculo) Se f R[,b]. Pr x b, llmemos: x F(x) = f (t)dt. Entonces, F C [,b]. Además, si f es continu en [,b], F entonces es derivble en [,b], y F (x) = f (x), x [,b]. Tmbién puede enuncirse de l siguiente mner: Si f : I IR es continu en I, entonces tiene primitivs en I; un de ells es l integrl definid F dd por: donde I es culquier. x F(x) = f (t)dt

16 c Dpto. de Mtemátics UDC Regl de Brrow Si f R[,b] y existe un función F derivble en [,b] tl que F = f, entonces: b f (x)dx = F(x) = F(b) F() Teorem (Integrción por prtes) Si F y G son dos funciones derivbles en [,b], y se tiene: { F = f G en [,b] = g siendo f y g integrbles en [,b], entonces, F(x)g(x)dx = F(b)G(b) F()G() f (x)g(x)dx

17 c Dpto. de Mtemátics UDC Teorem Se l función F dd por l integrl definid: (x) F(x) = f (t)dt (x) L derivd de F con respecto x viene dd por: F (x) = f (b(x))b (x) f ((x)) (x)

18 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción numéric L integrl de un función no se clcul de form exct cundo sólo conocemos sus vlores en un número finito de puntos su primitiv no se expres en términos de funciones elementles ejemplos: f (x) = sinx x ; f (x) = e x2 su primitiv es muy costos de clculr o de evlur 1 ejemplo: f (x) = (x 8) x 2 4x 7

19 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción numéric. Fórmuls simples Fórmul del rectángulo: f (x)dx (b )f (x 0 ), x 0 [,b]; en prticulr, si x 0 = +b 2, se conoce como fórmul del punto medio o fórmul de Poncelet Fórmul del trpecio: f (x)dx b ( ) f () + f (b) 2 Fórmul de Simpson: f (x)dx b ( f () + 4f ( + b ) 6 2 ) + f (b)

20 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción numéric. Fórmuls compuests 1. Dividimos el intervlo de integrción en subintervlos más pequeños x i = + ih (i = 0,1,...,n) con h = b n 2. Aproximmos l integrl medinte un fórmul simple en cd subintervlo n 1 xi+1 f (x)dx = f (x)dx i=0 x i Fórmul del punto medio compuest: n 1 f (x)dx h Fórmul del trpecio compuest: f (x)dx h 2 i=0 ( n 1 f (x 0 ) + 2 f ( x i + x i+1 ) 2 i=1 ) f (x i ) + f (x n )

21 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción impropi Definición L integrl condiciones siguientes: f (x)dx se denomin impropi si cumple l menos un de ls el intervlo (,b) no es cotdo f no está cotd en (,b) Clsificmos ls integrles impropis en 3 tipos.

22 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles impropis de primer especie Se f : (, b] IR integrble en [m, b], m b. Definimos: f (x)dx = lím m m f (x)dx si existe el límite, en cuyo cso l integrl se denomin convergente.

23 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles impropis de primer especie De igul form se define: + f (x)dx = Tmbién definimos + f (x)dx = lím M + M f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx si mbs integrles convergen, en cuyo cso l definición no depende de IR

24 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles impropis de segund especie Considermos l función f : [,b] IR no cotd en uno de los extremos del intervlo, por ejemplo en. Si f es integrble en [t,b] pr todo t tl que t b, entonces definimos: f (x)dx = lím t + t f (x)dx si existe el límite, en cuyo cso l integrl se denomin convergente. Si l función pierde el crácter cotdo en un punto c (,b), definimos: f (x)dx = c f (x)dx + f (x)dx donde ls dos últims integrles se hn descrito nteriormente. c

25 Integrles impropis de segund especie c Dpto. de Mtemátics UDC

26 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrles impropis de tercer especie Corresponden un intervlo no cotdo y un función no cotd en un número finito de puntos del intervlo. Ejemplo L integrl 0 1 x dx se reduce los csos nteriores de l siguiente form: x dx = 1 0 x dx + }{{} 2 especie 1 1 x dx }{{} 1 especie

27 c Dpto. de Mtemátics UDC Áre de superficies plns Sen ls funciones f,g : [,b] IR integrbles. Entonces el áre A limitd por los grfos de mbs, ls rects x = y x = b viene dd por: A = f (x) g(x) dx Cso prticulr: g(x) = 0, luego A = f (x) dx

28 c Dpto. de Mtemátics UDC Longitud de un rco de curv Se f C 1 ([,b],ir). L longitud l del grfo de f que une los puntos (,f ()) y (b,f (b)) es: l = 1 + f (x) 2 dx

29 c Dpto. de Mtemátics UDC Volumen de un sólido Supongmos un sólido que, l ser cortdo por un plno perpendiculr l eje OX, pr cd x [,b] produce un sección de áre A(x). El volumen de dicho cuerpo comprendido entre x = y x = b es: V = A(x) dx De igul form, se obtendrí el volumen del cuerpo prtir de ls áres de ls secciones producids por plnos perpendiculres l eje OY en el intervlo [,b].

30 c Dpto. de Mtemátics UDC Volumen de un sólido Cso prticulr: volumen de revolución. Si girmos el grfo de f : [,b] IR lrededor del eje OX, se construye un figur cuyo volumen es: V = π f (x) 2 dx

31 c Dpto. de Mtemátics UDC Superficie lterl de revolución El áre lterl del sólido construido l girr el grfo de f : [,b] IR lrededor del eje OX, donde f es un función de clse C 1, se clcul medinte: A L = 2π f (x) 1 + f (x) 2 dx