CÁLCULO DIFERENCIAL. Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas

Transcripción

1 CÁLCULO DIFERENCIAL Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas

2 Cálculo Diferencial UNIDAD 1 2. Funciones y modelos 2.1. Relaciones y funciones Los pares ordenados de números reales desempeñan un papel importante en el estudio que se va a realizar. Denición.1 Si a y b son dos elementos de un conjunto, el par ordenado con primera componente a y segunda componente b se simboliza por (a; b) y es por denición ffag ; fa; bgg : Esto es, (a; b) = ffag ; fa; bgg : Nota.1 Nótese que los pares ordenados (a; b) y (c; d) son iguales si y sólo si a = c y c = d Denición.2 El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se nota AB, es el conjunto de todos los pares ordenados (a; b) con a 2 A y b 2 B; esto es, A B = f(a; b) : a 2 A y b 2 Bg Denición.3 Sean X y Y dos conjuntos. R es una relación de X a Y ó de X en Y sí y sólo sí R X Y. Si la pareja (x; y) está en R se escribe (x; y) 2 R, y se dice que x está relación por R o según R, con y. Denición.4 El dominio de R, que se denota D R, es el conjunto de elementos de X que estan relacionados por R con algún elemento de Y, esto es, D R = fx 2 X : existe algún y 2 Y tal que (x; y) 2 R g Denición.5 El recorrido de R, que se denota R R, es el conjunto de elementos de Y que están relacionados por R con algún elemento de X, es decir, R R = fy 2 Y : existe algún x 2 X tal que (x; y) 2 R g Denición.6 Si X y Y son conjuntos de números reales, la graca de una relación R de X a Y es el conjunto de todos los puntos (x; y) del plano coordenado para los cuales (x; y) 2 R Funciones Denición.7 Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función f de A en B es una relación de A en B que satisface la siguiente condición: Para todo elemento x de A existe un único elemento y en B tal que (x; y) 2 f: Esto signica que: i). Todo elemento x de A es la primera componente de alguna pareja de f: ii). Si (x; y 1 ) 2 f; y (x; y 2 ) 2 f; entonces y 1 = y 2 ; es decir, en f no hay dos parejas distintas con la primera componente igual. Arenas A. 6 Camargo B.

3 Prueba de la recta vertical: Una curva en el plano xy es la gráca de una función de x si y sólo si ninguna recta vertical se interseca con la curva más de una vez. Función No es función Función Funciones seccionalmente continuas La función del ejemplo siguiente está denida por fórmulas diferentes en diferentes partes de sus dominios. Ejemplo.1 Una función f se dene por 8 < x 2 1 if x 1 1 x 2 if 1 < x 1 : 2x if 1 < x Evalúe f( 5); f(0); f(5) y trace la gráca. Solución: Para esta función en particular, la regla es: primero se considera el valor de la entrada x: Si sucede que x 1; entonces f(x) = x 2 1: Por otra parte, si x > 1; entonces f(x) = 2x 2 + 1: Como 5 1; se tiene que f( 5) = ( 5) 2 1 = 24 Como 1 < 0 1; se tiene que f(0) = 1 (0) 2 = 1 Como 5 > 1; se tiene que f(5) = 2(5) = 51 Figura 1 Arenas A. 7 Camargo B.

4 Simetría Si una función f satisface f( x) = f(x); para todo número x en su dominio, entonces f se denomina función par. Por ejemplo, la función f(x) = x 2 1 es par porque f( x) = ( x) 2 1 = x 2 1 = f(x) Si una función f satisface f( x) = f(x); para todo número x en su dominio, entonces f se denomina función impar. Por ejemplo, la función f(x) = x 3 x es impar porque f( x) = ( x) 3 ( x) = x 3 + x = x 3 x = f(x) El signicado geométrico de una función par es que su gráca es simétrica con respecto al eje y: (ver gura 2a), mientras que el signicado geométrico de una función impar es que su gráca es simétrica con respecto origen de coordenadas (ver gura 2b) Figura 2a Figura 2b Funciones nuevas a partir de funciones antiguas: Al resolver problemas de cálculo, encontrará que resulta útil familiarizarse con las grácas de algunas funciones cuya presencia es frecuente. En esta sección clasicaremos varios tipos de funciones y, enseguida, mostraremos cómo se les transforma por el desplazamiento, el alargamiento y la reexión de sus grácas. También mostraremos cómo combinar pares de funciones por medio de operaciones aritméticas estandar o por composición Tipos de funciones: Funciones constantes: La función constante f (x) = c tiene el dominio R y su rango el único valor c. Su gráca es una recta horizontal. Funciones potencia: Una función de la forma f (x) = x a, donde a es una constante, se llama función potencia. Considaremos varios casos. a = n, un entero positivo: Arenas A. 8 Camargo B.

5 En la gura que sigue, se muestran las grácas de f (x) = x n, para n = 1; 2; 3; 4 y 5. Ya conocemos la forma de las grácas de y = x (una recta que pasa por el origen con pendiente 1 y y = x 2 una parábola.). La forma general de la gráca f (x) = x n depende de si n es par o impar. Si n es par,entonces f (x) = x n es una función par y su gráca es similar a la parábola y = x 2. Si n es impar, entoces f (x) = x n es una función impar y su gráca es similar a la de y = x 3. Sin embargo, observe la gura y advierta que, conforme n crece, la graca de y = x n se vuelve más plana cerca de 0 y más empinada cuando jxj 1. Si x es pequeña, entonces x 2 es más pequeña, x 3 incluso es más pequeña, x 4 todavía es más pequeña y así sucesivamente. y = x y = x 2 y = x 3 y = x 4 y = x 5 a = 1: En la gura siguiente se muestra la gráca de la función reciproca f (x) = x 1 = 1. Su gráca x tiene la ecuación y = 1, o bien, xy = 1. Es una hipérbola equilátera con los ejes de coordenadas x como asíntotas. a = 1, n un entero positivo: n La función f (x) = x 1 n = np x es una función raíz. Para n = 2, es la función raíz cuadrada f (x) = p x, cuyo dominio es [0; 1) y cuya graca es la mitad superior de la parábola x = y 2 [ver g]. Para otros valores pares de n, la gráca de y = np x es similar a la de y = p x. Para n = 3, tenemos la función raíz cubica f (x) = 3p x, cuyo dominio es R (recuérdese que todo número real tiene una raíz cubica y cuya gráca se muestra a continuación. La gráca de y = np p x para n es impar (n > 3) es similar a la de y = 3 x. Arenas A. 9 Camargo B.

6 y = p x y = 3p x Polinomios: Una función P recibe el nombre de polinomio si P (x) = a x x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 donde n es un cociente es un entero no negativop y los números a 0; a 1; a 2 ; ::::::; a n son constantes llamadas coecientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es R = ( 1; 1). Si el primer coeciente a n 6= 0, entonces el grado del polinomio es n. Por ejemplo, la función P (x) = 2x 6 x x3 + p 2 es un plinomio de grado 6 (o sexto grado). Un polinomio de primer grado es de la forma P (x) = ax + b y se llama función lineal porque su gráca es la recta y = ax + b (pendiente a, ordenada al origen b). Un rasgo característico de las funciones lineales es que crecen con una razón constante. Por ejemplo, en la gura siguiente se muestra una gráca de la función lineal f (x) = 2x + 1 y una tabla de valores muestras. Note que, siempre que x se incrementa en 1, el valor de y = f (x) aumenta en 2. Por tanto, f (x) crece dos veces más rapido que x. De este modo, la pendiente de la gráca y = 2x + 1, a saber, 2, se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto a x: x y = f(x) Un polinomio de segundo grado es de al forma P (x) = ax 2 + bc + c y se llama función cuadrática. La gráca de P siempre es la parábola que se obtiene desplazando la parábola y = ax 2. Un polinomio de la forma P (x) = ax 2 + bc + cx + d Arenas A. 10 Camargo B.

7 se llama función cúbica. A continuación se muestra la gráca de una función cúbica, en la parte a, y las grácas de polinomios de cuarto y quinto grado en las partes b y c. y = x 3 (a) y = x 4 (b) y = x 5 (c) Comúnmente, los polinomios se usan para modelar diversas cantidades que se presentan en las ciencias naturales y sociales. Más adelante, explicaremos por qué los economistas usan a menudo un polinomio P (x) para representar el costo de producir x unidades de un artículo. Funciones racionales: Una Funcion racional f es una razón de dos polinomios. f (x) = P (x) Q (x) donde P y Q son polinomios. El dominio consta de todos los valores de x tales que Q (x) 6= 0. Por ejemplo, la función f (x) = 2x x2 + 1 x 2 4 y = f(x) es una función racional con dominio fx j x 6= 2g. En la gura anterior se muestra su graca. Funciones algebraicas: Una función f recibe el nombre de Función algebraica sí puede construirse usando operaciones algebraicas (adición, sustracción, multiplicación, división Arenas A. 11 Camargo B.

8 y extracción de raíz) a partir de polinomios. Automáticamente, cualquier función racional es una función algebraica. Aquí se tienen dos ejemplos más: f (x) = p x g (x) = x4 16x 2 x p x + (x 2) 3p x + 1 Cuando tracemos las grácas de las funciones algebraicas, veremos que esas grácas pueden tomar diversas formas. Funciones trigonométricas:en cálculo, la convención es usar la medida radián (excepto cuando se indica lo contrario). Por ejemplo, cuando utilizamos la función f (x) = sin x, se entiende que sin x signica el seno del ángulo cuya madida en radianes es x. De este modo, las grácas de las funciones seno y coseno son como las que muestran en la gura Siguiente. Sen(x) Cos(x) Nota.2 Nótese que tanto para la función seno como para la coseno, el dominio es ( 1; 1) y el rango es el intervalo cerrado[ 1; 1]. Por tanto, para todos los valores de x, tenemos 1 sin x 1 1 cos x 1 Asímismo, los ceros de la función senose tienen en los multiplos enteros de, es decir, sin(x) = 0 cuando x = n n un entero Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son periodicas y tienen un periodo 2. Esto signica que, para todos los valores de x, sin (x + 2) = sin x cos (x + 2) = cos x La naturaleza periódica de estas funciones las hace apropiadas para modelar fenómenos repetitivos, como mareas, resortes vibrantes y las ondas sonoras. La función tangente esta relacionada con las funciones seno y coseno por la ecuación Arenas A. 12 Camargo B.

9 tan x = sin x cos x y su gráca no está denida cuando cos x = 0, es decir, cuando x = 2 ; 3 2 ( 1; 1). ; :::Su rango es y = tan x Note que la función tangente tiene período. Las tres funciones trigonometricas restantes(cosecante, secante y cotangente) son las recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente. Funciones exponenciales: Son las funciones de la forma f (x) = a x, donde la base a es una constante positiva. En la gura que sigue se presentan las grácas de y = 2 x ; y = 2 x y y = 2 x. En los dos casos, el dominio es ( 1; 1) y el rango es (0; 1). 2 x 2 x 2 x Funciones logarítmicas: Son las funciones f (x) = log a x, donde la base a es una constante positiva. Son las funciones inversas de las funciones exponenciales y se estudiaran en la otra sección En la gura siguiente se encuentran las grácas de cuatro funciones logarítmicas con diversas bases. En cada caso, el dominio es (0; 1), y el rango ( 1; 1) Arenas A. 13 Camargo B.

10 y la función crece con lentitud cuando x > 1. Funciones trascendentes: Se trata de las funciones que no son algebraicas. El conjunto de las funciones trascendentes incluye las trigonométricas, las trigonométricas inversas, las exponenciales y las logarítmicas., así como un vasto número de otras funciones que nunca han sido nombradas Transformación de funciones: Al aplicar ciertas transformaciones a la graca de una función dada podemos obtener las gracas de ciertas funciones relacionadas y, de este modo, reducir el trabajo al trazar esas gracas. En primer lugar, consideraremos las traslaciones. Si c es un número positivo, entonces la graca de y = f (x) + c es precisamente la de y = f (x) desplazada hacia arriba una distancia de c unidades(debido a que cada coordenada y se incrementa el mismo número c). Del mismo modo, si g (x) = f (x c), donde c > 0, entonces el valor de g en x es el mismo que el valor de f en x c(c unidades a la izquierda de x). Por lo tanto, la graca de y = f (x c) es precisamente la de y = f (x) desplazada c unidades a la derecha(véase la g. 14) Desplazamientos verticales y horizontales: de Supóngase que c > 0. Para obtener la graca 1. y = f(x)+c, se desplaza la graca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia arriba. 2. y = f(x) c, se desplaza la graca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia abajo. 3. y = f (x c), se desplaza la graca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia la derecha. 4. y = f (x + c), se desplaza la graca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia la izquierda. Arenas A. 14 Camargo B.

11 y = p x y = p x 2 y = p x 2 y = p x y = p x Consideremos ahora las transformaciones de alargamiento y reexión. Si c > 1, entonces la graca de y = cf (x) es la de y = f (x) alargada al factor de c en la dirección vertical(porque cada coordenadad y se multiplica por el mismo número c ). La graca de y = f (x) es la de y = f (x) reejada respecto al eje x, porque el punto (x; y) remplaza al punto (x; y). (Véase la lista y la gura a continuación, donde también se dan los resultados de otras transformaciones de alargamiento, comprensión y reexión). Alargamientos y reexiones verticales y horizontales: Supóngase que c > 1. Para obtener la graca de 1. y = cf(x), alárguese la graca de y = f (x) verticalmente en un factor de c. 2. y = c 1 f(x), comprímase la graca de y = f (x) verticalmente en un factor de c 3. y = f (cx), comprímase la graca de y = f (x) horizontalmente en un factor de c. 4. y = f x c, alárguese la graca de y = f (x) horizontalmente en un factor de c. 5. y = f (x), reéjese la graca de y = f (x) respecto al eje x. 6. y = f ( x), reéjese la graca de y = f (x) respecto al eje y. Arenas A. 15 Camargo B.

12 Funciones exponenciales La función f (x) = 2 x se llama función exponencial porque la variable, x, es el exponente. No debe confundirse con la función ppotencia g (x) = x 2, en la cual la variable es la base. En general, una función exponencial es una función de la forma f (x) = a x donde a es una constante positiva. Recordemos qué signica esto. Si x = n, un entero positivo, entonces a n = a a a n factores Si x = 0, entonces a 0 = 1 y, si x = n, donde n es un entero positivo, entonces a n = 1 a n Si x es un número racional, x = p, donde p y q son enteros y q > 0, entonces q a d = a p q = q p a p En la gura 3 se presentan las gracas de los miembros de la familia de funciones y = a x para varios valores de la base a. Note que todas estas gracas pasan por el mismo punto (0;1) porque a 0 = 1 para a 6= 0. Note también que a medida que la base a se vuelve más grande, la función exponencial crece con mayor rapidez (para x > 0) Leyes de los exponentes: Si a y b son números positivos y x y y son cualesquieras números reales, entonces 1. a x+y = a x + a y 2. a x y = ax a y 3. (a x ) y = a xy 4. (ab) x = a x b x Ejemplo.2 Graque la funcion y = 3 2 x y determine su dominio y su rango. Solución: En primer lugar, reejamos la gráca de y = 2 x (g. a) respecto al eje x, para obtener la gráca de y = 2 x gura b. Luego, desplacemos la gura de y = 2 x tres unidades hacia arriba para obtener la graca de y = 3 2 x gura c. El dominio es R y el rango es ( 1; 3). Arenas A. 16 Camargo B.

13 Fig. (a) Fig. (b) Fig. (c) Ejemplo.3 La vida maedia del estroncio 90, 90 Sr, es de 25 años. Esto signica que la mitad de cualquier cantidad dada de 90 Sr se desintegrará en 25 años. Si una muestra de 90 Sr tiene una masa de 24 mg, encuentre una expresión para la masa m(t) que queda despues de t años. Encuentre la masa restante después de 40 años, correcta hasta el miligramo más cercano. Use un gracador para trazar la graca de m(t) y utilice está última a n de estimar el tiempo requerido para que la masa se reduzca hasta 5 mg. Solución: En un inicio la masa de 24 mg y se reduce a la mitad durante cada 25 años, por tanto m (0) = 24 m (25) = 1 2 (24) m (50) = (24) = (24) m (75) = (24) = (24) m (100) = (24) = (24) Con la base en este patrón, parece que la masa restante despues de t años es: m (t) = 1 2 t 25 (24) = 24 2 t 25 Esto es una función exponencial con base a = = : La masa que queda después de los 40 años es m (40) = ;9mg Arenas A. 17 Camargo B.

14 Usamos una calculadora gracadora o una computadora para trazar la gráca de la función m (t) = 24 2 t 25. También trazamos la gráca de la recta m = 5 y utilizamos el cursor para estimar que m(t) = 5 cuando t 57. Por tanto, la masa de la muestra de reducirá hasta 5mg después de alrededor de 57 años. m(t) = 24(2 t 25 ) El número e De todas las bases posibles para una función exponencial existe una que es la más conveniente para los nes del cálculo, se trata del número irracional e = 2;71828::. Ejemplo.4 Graque la función y = 1 2 e x 1 y dé el dominio y el rango. y = e x y = 1 2 e x y = 1 2 e x 1 Solución: Partimos de la gráca de y = e x, y la reejamos respecto al eje y para obtener la graca de y = e x, (Nótese que la gráca cruza el eje y con una pendiente m = 1 ) Luego, comprimimos, verticalmente la gráca, un factor de 2 para obtener la graca de y = 1e x. Por 2 último, la desplazamos hacia abajo una unidad para lograr la gráca deseada; el dominio es R y el rango es ( 1; 1). Funciones inversas y logarítmicas Denición.8 Se dice que una función f es una función uno a uno si nunca toma el mismo valor dos veces; es decir, Arenas A. 18 Camargo B.

15 f (x 1 ) 6= f (x 2 ) siempre que x 1 6= x 2 Prueba de la recta horizontal: Una función es uno a uno si sólo si ninguna recta horizontal interseca su graca más de una vez. No es 1-1 Es 1-1 No es 1-1 Denición.9 : Sea f una función uno a uno, con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f 1 tiene dominio B y rango A y la dene f 1 (y) = x () f (x) = y (1) para cualquier y en B. Esta denición expresa que si f mapea x en y, entonces f 1 mapea y de regreso a x. (Si f no fuera uno a uno, entonces f 1 no estaría denida de manera única). Note que dominio de f 1 = rango de f rango de f = dominio de f 1 Tradicionalmente, la letra x se usa la como variable independiente, de modo que cuando nos concentramos en f 1, en lugar de f,solemos invertir los papeles de x y y en la ecuación (1) y escribimos f 1 (x) = y () f (y) = x (2) Si en la misma ecuación (1) se sustituye y, así como en (2), se obtienen las siguientes ecuaciones de cancelación: f 1 (f (x)) = x para toda x en A f(f 1 (x)) = x para toda x en B Cómo hallar la función inversa de una función f uno a uno Arenas A. 19 Camargo B.

16 Paso 1: Escribimos y = f (x) Paso 2: Resolvemos esta ecuación para x en terminos de y (si es posible) Paso 3: Para expresar f 1 como función de x, intercambiamos x y y. La ecuación resultante es y = f 1 (x) Ejemplo.5 Encuentre la función inversa de f (x) = x Solución: Primero escribimos Luego resolvemos esta ecuación para x: y = x 3 + 2: x 3 = y 2 x = 3p y 2 Por último, intercambiamos x y y: Por lo tanto, la función inversa es: y = 3p x 2 f 1 (x) = 3p x 2 f(x) = x f 1 (x) = 3p x 2 f(x) y f 1 (x) El principio de intercambiar x y y a n de hallar la función inversa también nos proporciona el método para obtener la gráca de f 1, a partir de la de f. Dado que f (a) = b si sólo si f (b) = a, el punto (a; b) está en la gráca de f 1. Pero obtenemos el punto (a; b) por reexión respecto de la recta y = x (g. 8). Por lo tanto, como se ilustra en la gura siguiente: Se obtiene la graca de f 1 al reejar la graca de f respecto a la recta y = x. Ejemplo.6 Trace la graca de f (x) = p 1 x y de su función inversa, usando los mismos ejes de coordenadas. Arenas A. 20 Camargo B.

17 Solución: Primeo gracamos la curva y = p 1 x (La mitad superior de la parábola y 2 = 1 x, o bien, x = y 2 1) y luego la reejamos respecto a la recta y = x para lograr la gráca de f 1 (g. 10). Como comprobación de la graca, note que la expresión para f 1 es f 1 (x) = x 2 1; x > 0. De modo que la graca de f 1 es la mitad derecha de la parábola y = x 2 1 y, a partir de la gura, esto parece razonable. f(x) = p 1 x f 1 (x) = x 2 1 f(x) y f 1 (x) Funciones logarítmicas Si a > 0 y a 6= 1, la función exponencial f (x) = a x está creciendo o decreciendo y, por tanto, es uno a uno. Por consiguiente, tiene una función inversa f 1, la cual se conoce como función logaritmica con base a y se denota con log a. Si usamos la formulación de función inversa que da, f 1 (x) = y () f (y) = x entonces tenemos log a x = y () a y = x Por tanto, si a > 0, entonces log a x es el exponente al que debe elvarse la base para a para dar x. Por ejemplo, log 10 0;001 = 3, porque 10 3 = 0;001. Cuando las ecuaciones de cancelación se aplican a f (x) = a x y f 1 (x) = log a x, quedan como log a (x) = x para toda x 2 R a log a = x para toda x > 0 La función logarítmica log a tiene dominio (0; 1) y rango R. Su graca es la reexión de la graca de y = a x respècto a la recta y = x. En la gura se muestra el caso en dondea > 1(Las funciones logarítimicas más importantes tienen base a > 1). El hecho de que y = a x sea una función que aumenta con mucha rapidez para x > 0 se reeja en que y = log a x es una función que aumenta con mucha lentitud para x > 1. Leyes de los logaritmos: Si x y y son números positivos, entonces: Arenas A. 21 Camargo B.

18 1. log a (xy) = log a x + log a y x 2. log a = log y a x log a y 3. log a (x r ) = r log a x (en donde r es cualquier número real) Logaritmos naturales De todas las bases a para los logaritmos, veremos que la elección más conveniente de una base es el número e, el cual ya se denió anteriormente. El logaritmo con base e se conoce como logaritmo natural y tiene una notación especial: log e x = ln x Si en las ecuaciones anteriores ponemos a = e y log e denición de la función logaritmo natural quedan = ln, entonces las propiedades de ln x = y () e y = x ln (e x ) = x x 2 R e ln x = x x > 0 En particular, si se hace x = 1, obtenemos ln e = 1 Arenas A. 22 Camargo B.