4. EL TEOREMA DE RADON-NIKODYM.

Transcripción

1 4. EL TEOREMA DE RADON-NIKODYM. 1. MEDIDAS CON SIGNO. TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN DE HAHN. Ddo un espcio de medid (X, Σ, µ), nuestro objetivo es crcterizr ls medids con densidd. Pr ello necesitmos el concepto más mplio de medids reles. (4,1,1) Definición. Un medid complej definid en el espcio medible (X, Σ) es un plicción ν: Σ C que cumple () ν( ) = 0. (b) Si (M n ) son medibles y disjuntos dos dos, entonces ν( M n ) = ν(m n ). Si ν tiene sus vlores en R, diremos que es un medid rel. A veces se hbl de medids con signo pr indicr un concepto ligermente más mplio que el de medid rel, en que se le permite tomr el vlor + o el pero no los dos. (4,1,2) Ejemplo. Se (X, Σ, µ) un espcio de medid y f L 1 (µ, C). L medid con densidd f respecto de µ es l medid complej µ f definid por µ f (A) = A f dµ. (4,1,3) Propieddes. Se ν un medid complej. () Si A n A n+1 pr todo n, entonces ν ( A n ) = lim n ν(a n ). (b) Si A B, entonces ν(b A) = ν(b) ν(a). (c) Si A n A n+1 pr todo n, entonces ν ( A n ) = lim n µ(a n ). (4,1,4) Definición. Se ν un medid rel sobre el espcio medible (X, Σ). Diremos que P Σ es un conjunto positivo si ν(m) 0 pr todo medible M P. N es conjunto negtivo si ν(m) 0 pr todo M N. (4,1,5) Proposición (Existenci de conjuntos positivos). Se ν un medid rel sobre el espcio medible (X, Σ). Cd A Σ contiene un conjunto positivo P A tl que ν(p ) ν(a). Referenci útil: R. Doss, The Hhn Decomposition Theorem, Proc. Amer. Mth. Soc. 80, (1980), (4,1,6) Teorem de descomposición de Hhn. Se ν un medid rel sobre el espcio medible (X, Σ). Entonces X puede ser descompuesto en un conjunto positivo P y un conjunto negtivo N. Teorí de l Medid,

2 2. VARIACI 0N DE UNA MEDIDA. (4,2,1) Definición. Se ν un medid complej en (X, Σ). L vrición de ν es l medid positiv ν : Σ [0, + ] definid por: ν (A) = sup{ ν(an ) : A = } A n, A n medibles disjuntos dos dos. Es equivlente considerr prticiones medibles finits. L vrición totl de ν es ν (X). (4,2,2) Propieddes. Se ν un medid complej. () L vrición de ν es l menor medid positiv que domin ν. (b) 1 ν (A) sup{ ν(b) : B medible, B A} ν (A), pr todo A medible. 4 (c) L vrición de ν es un medid finit. (d) Se µ f l medid con densidd f L 1 (µ, C). Entonces µ f (A) = A f dµ. (4,2,3) Definición. Un medid está concentrd en un conjunto medible A si pr todo medible B disjunto de A se cumple que µ(b) = 0. Esto equivle que µ(m) = µ(m A) pr todo medible M. Dos medids µ y ν en (X, Σ) son ortogonles (se denot µ ν) si existen A y B medibles disjuntos, tles que µ está concentrd en A y ν está concentrd en B. (4,2,4) Teorem de descomposición de Jordn. Se ν un medid rel en (X, Σ). Existen dos medids en Σ positivs y finits ν + y ν tles que: () ν = ν + ν. (b) ν = ν + + ν. (c) ν + ν. Ls condiciones () y (b), o () y (c) determinn unívocmente ls medids ν + y ν. L medid ν + es l prte positiv de ν y l medid ν l prte negtiv de ν. (4,2,5) Corolrio. Tod medid complej es combinción linel ν = ν 1 ν 2 + i(ν 3 ν 4 ) de medids positivs y finits. 3. TEOREMA DE RADON-NIKODYM. (4,3,1) Definición. Se (X, Σ, µ) un espcio de medid y ν un medid complej definid en el mismo espcio medible. Decimos que ν es bsolutmente continu respecto de µ y escribimos ν µ si se cumple ν(m) = 0 pr todo M Σ tl que µ(m) = 0. Teorí de l Medid,

3 (4,3,2) Teorem de Rdon-Nikodym. Se (X, Σ, µ) un espcio de medid σ-finito, ν un medid complej definid en el espcio medible (X, Σ) y bsolutmente continu respecto de µ. Existe un función integrble f L 1 (µ, C) que cumple: ν(a) = A f dµ, pr todo A medible. Se dice que f es l derivd de Rdon-Nikodym de ν respecto de µ, culquier otr derivd es igul en csi todo X est y se le denot por dν dµ. (4,3,3) Propieddes. () Si ν es rel podemos tomr f rel. Si ν es positiv podemos tomr f 0. (b) Si f = dν dµ, entonces los conjuntos P = {f 0} y N = {f < 0} formn un descomposición de Hhn pr l medid ν. (4,3,4) Corolrio. Se (X, Σ, µ) un espcio de medid σ-finito, y ν un medid positiv σ- finit en Σ tl que µ(a) = 0 implic ν(a) = 0. Entonces existe un función medible f: X [0, + ) tl que ν es l medid con densidd f respecto de µ. (4,3,5) Ejemplo. L condición de σ-finitud de µ es necesri. (4,3,6) Teorem de descomposición de Lebesgue. Se (X, Σ, µ) un espcio de medid σ- finito y ν un medid complej definid en (X, Σ). Existe un único pr ν y ν s de medids complejs definids en (X, Σ) tl que ν = ν + ν s, ν µ, ν s µ. 4. EL CONCEPTO DE ESPERANZA CONDICIONADA. En este prtdo considermos fijdo un espcio de probbilidd (Ω, Σ, P ). (4,4,1) Proposición. Sen X, Y dos vribles letoris. X es función de Y si y sólo si X es medible respecto de l σ-álgebr Σ Y = {Y 1 (B) : B conjunto de Borel en R}. (4,4,2) Definición. Dds dos vribles letoris X e Y con X L 1 (P ), existe un vrible letori E (X Y ) l espernz condiciond de X respecto de Y que es función de Y y tl que E (X Y ) d P = X d P, pr todo M Σ Y. M L función E (X Y ) es únic slvo equivlencis. M Teorí de l Medid,

4 5. INTEGRACIÓN RESPECTO DE UNA MEDIDA COMPLEJA. (4,5,1) Descomposición polr. Si ν es un medid complej definid en (X, Σ), entonces ν ν. Podemos escoger l derivd de Rdon-Nikodym h(x) = dν d ν todo x X. de form que h(x) = 1 pr (4,5,2) Definición. Se ν un medid complej y f L 1 ( ν ). L integrl de f con respecto ν es f dν = f dν d ν d ν. (4,5,3) Propieddes. () Pr todo conjunto medible A se tiene χ A dν = ν(a). () Si ν es un medid complej y f L 1 ( ν ) se cumple f dν f d ν. (b) Si ν es un medid complej con derivd de Rdon-Nikodym g con respecto un medid positiv µ, entonces f L 1 ( ν ) si y sólo si fg L 1 (µ), y en ese cso f dν = fg dµ. (c) Si ν 1 y ν 2 son dos medids complejs, α, β C, y f L 1 ( ν 1 ) L 1 ( ν 2 ) entonces f L 1 ( αν 1 + βν 2 ) y se cumple f d(αν 1 + βν 2 ) = α f dν 1 + β f dν FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA. INTEGRACIÓN POR PARTES. L correspondenci entre medids de Borel Stieltjes y funciones reles puede ser extendid l cso de medids complejs. Esto hce más mnejbles y concrets ests medids. (4,6,1) Definición. A cd medid complej ν definid en los conjuntos de Borel de R le socimos su función de distribución α: R C definid por α(x) = ν(, x]. Teorí de l Medid,

5 (4,6,2) Definición. Diremos que un función f: R C es de vrición cotd, si existe un constnte C < + tl que n f(x k ) f(x k 1 ) C, k=1 pr tod sucesión finit ordend x 0 < x 1 < x 2 < < x n de números reles. (4,6,3) Propieddes de l función de distribución. Se α l función de distribución de l medid complej ν. () α es continu l derech. (b) α es de vrición cotd. (c) lim x α(x) = 0. (4,6,4) Definición. Diremos que f: R C es un función de distribución si cumple ls condiciones (), (b) y (c) nteriores. (4,6,5) Teorem. Tod función de distribución es combinción linel de funciones monótons crecientes que verificn ls tres propieddes nteriores (), (b) y (c). (4,6,6) Not. L clve de l prueb de este teorem es l introducción de l función vrición { n V α (x) = sup k=1 } α(x k ) α(x k 1 ) : x 0 < x 1 < x 2 < < x n = x. (4,6,7) Teorem. Cd función α: R C verificndo ls propieddes (), (b) y (c) nteriores, determin un únic medid complej ν tl que α se su función de distribución. (4,6,8) Corolrio. L función de distribución α determin l medid ν. Si α es un función de distribución, llmremos dα l correspondiente medid y usremos l notción b f(t) dα(t) = f dα pr denotr l integrl de f respecto de est medid en el conjunto (, b]. ( Cuiddo no en [, b], (, b) o [, b)! que serín otrs opciones posibles y no convenientes.) (4,6,9) Teorem de integrción por prtes. Sen α y β funciones de distribución sin discontinuiddes comunes. Pr todo < b se tiene entonces b β(t) dα(t) + b (,b] α(t) dβ(t) = α(b)β(b) α()β(). Teorí de l Medid,