Montesion. Examen final 2ª evaluación Tel.:

Transcripción

1 Montesion. Eamen final ª evaluación Tel.: º Los gastos de mantenimiento de la maquinaria de una determinada empresa, G () (en miles de euros), vienen dados en función del tiempo, en meses, que dicha maquinaria lleva en funcionamiento. La epresión de G ( ) es: G()={ +3 si si > + a) Estudia la continuidad derivabilidad de la función en =. b) Calcular los intervalos de crecimiento decrecimiento de la función. c) Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? d) Alcanza la función algún máimo o mínimo? Razona la respuesta. a. Continuidad. La función será continua en = si G()= + G()=G() G()= +3= +3= +3= G()= = =30 30 =1 + G()= +3= +3=1 } G()= G ()=G(). Por lo tanto la función es continua en. + Derivabilidad. La función será derivable en si G '( )=G'( + ). si 0 < G '()={ 6(+) (6 60) = 0 si > (+) (+) Por lo tanto la función no es derivable. b. G'( )= G'( + )= 0 (+) =1 6 } G '( ) G '( + ) G' - + En los primeros meses el coste de mantenimiento va disminuendo para empezar a crecer a partir del mes de forma cada vez más suave. c. En el primer tramo la función decrece pero en el segundo la función crece. Sin embrago el segundo tramo es una función racional que presenta una asíntota horizontal, valor al que se va aproimando a medida que pasa el tiempo = ]= + =6 d. La función alcanza un mínimo en (,1) 1

2 Montesion. Eamen final ª evaluación Tel.: º Para la función f()= a. Halla las asíntotas. b. Determina los intervalos de crecimiento decrecimiento, máimos mínimos relativos. c. Representa la función. a. Asíntotas Empiezo por las verticales. Como posibles asíntotas verticales están las raíces del denominador, es decir aquellos puntos que no pertenecen al dominio de definición de la función, es decir = = 9 0 ] ={ = 9 0 ] = 9 0 ] + = =+ Por lo tanto ha una asíntota vertical en = -1 Se trata de una función racional en la que el numerador tiene un grado maor () que el denominador (1). Por lo tanto la función presentará una asíntota oblicua pero no horizontal. Al tratarse de una función racional tenemos dos formas de hallar la asíntota oblicua: i. Efectuando la división del numerador entre el denominador. El cociente será la asíntota oblicua Por lo tanto la asíntota oblicua nos queda = 5. Para saber si la función queda por encima o debajo de la asíntota oblicua calculamos el límite a ± del resto entre el divisor. Si queda 0 + la función va por encima, si queda 0 - va por debajo =9 9 =0+ +1 = 9 =0 ii. La otra alternativa es decir que la asíntota oblicua es =m+n donde f() m= = n= = f( ) m ]= (+1) = ]= ] = = ] = ] = 5 ]= = 5 +1 ] =

3 Montesion. Eamen final ª evaluación Tel.: Que como era de esperar es el mismo resultado que el caso anterior = 5 De momento con las asíntotas podemos representar lo siguiente: b. Monotonía. Lo primero que tenemos que hacer es hallar la derivada de la función f'()= ( 4) (+1) ( 4 +4) 1 = = + 8 (+1) (+1) (+1) Igualando a cero la derivada tenemos + 8=0 = ± 4+3 = ±6 = { f'() Por lo tanto en -4 ha un máimo (-4,-1) en un mínimo (,0). Con esto a podemos completar la representación acabar de hacerla. c. Representación 3

4 Montesion. Eamen final ª evaluación Tel.: º Se quiere construir una caja sin tapa con una cartulina cuadrada de 10 cm, cortando un cuadrado en cada una de los vértices. Calcula el lado del cuadrado cortado para que el volumen de la caja sea máimo. Se van a cortar cuadrados en las cuatro esquinas al doblar los laterales quedará una caja de base cuadrada tal como se muestra en el dibujo. La base es cuadrada su lado es 10 cm menos dos veces el corte de longitud que se ha hecho en las esquinas. Por lo tanto el área de la base será A b =(10 ). Al doblar a lo largo del perímetro de la base (cuadrado naranja) creamos una caja que tendrá una altura. El volumen de esta caja será igual al área del base por la altura, es decir V()=(10 ). Operando un poco tenemos: V()=( ) = Queremos que esta función sea máima por lo tanto su derivada debe anularse. V'()= = =0 = 80± = 80±40 ={ 60 0 = De las dos soluciones sólo tiene sentido 0 cm, a que la de 60 cm supone que el corte me iba a dejar la caja sin base. De todas formas comprobamos que para = 0 cm el volumen es máimo. 0 f'() + - Luego haciendo un corte cuadrado de 0 cm en las esquinas hacemos la caja que tiene maor volumen que es de cm 3 = 18 L. 4

5 Montesion. Eamen final ª evaluación Tel.: º Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva f()=( ) e en el punto de infleión. La ecuación de la recta tangente a la curva f() en el punto de abscisa = a viene dada por =f(a)+f'(a)( a). Nos dicen que a es el punto de infleión de la función f(). Para que una función tenga un punto de infleión en = a debe cumplirse que f''(a) = 0. Hallo la segunda derivada de la función la igualo a cero. f'()=e +( )e =( 1)e f''()=e +( 1)e =e. La ecuación que nos queda es e =0, como la función eponencial nunca se anula la solución es = 0. Por lo tanto queremos encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa 0. a=0 f(0)= f'(0)= 1} = 1( 0) = 5

6 Montesion. Eamen final ª evaluación Tel.: º Sea B()=a+b la función beneficio en miles de de una empresa. El beneficio máimo es de 50 mil para = 100 unidades producidas. Calcula a b. Si B() tiene un máimo en 100 entonces B'(100) = 0 B'()=a+ b B(100)=a+ b 0 a+ b 0 =0 Además nos dice que el beneficio es de 50 mil para = 100, es decir B(100) = 50. B(100)=100 a+10 b 100a+10 b=50 Con esto a podemos hacer un sistema de dos ecuaciones. a+ b 0 =0 100 a+10 b=50} 0 a+b=0 0 a+b=10} (ª 1ª) b=10 a= 6