6. Introducción al cálculo en C

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1 6. Introduccón al cálculo en C 6.. Funcones de varable compleja No hay nngún número real x tal que x + = 0. Para que esa ecuacón tenga solucón es necesaro ntroducr el número magnaro : =. Veamos algunas propedades del conjunto de los números complejos C={z = a + b : a,b R}. En C están defndas las operacones suma y producto: (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d), (a + b) (c + d) = (ac bd) + (ad + bc) Con estas dos operacones C es un cuerpo: + y son asocatvas y conmutatvas, exste la dstrbutva, exsten elementos neutros ( z + 0 = z y z = z ) e nversos: z = a + b z = a b tal que z + ( z) = 0 a z 0 z = tal que z z = a +b a +b Se defne dferenca y cocente de complejos como: z w = z + ( w), z w = z w s w 0. [No se puede, a dferenca de R, defnr un orden en C compatble con las operacones anterores]. Dado z = x + y, el conjugado de z es z = x y ; y el módulo de z es z = x +y. Representando cada número complejo z = x+y como el punto del plano de coordenadas (x,y), es fácl ver que el complejo suma z +w está en el vértce opuesto al orgen de un paralelogramo dos de cuyos lados son los segmentos que unen z y w con O = (0,0). El conjugado de z es la reflexón de z respecto de y = 0. El módulo es la dstanca desde z al orgen. La dstanca de z a w vene dada por z w. Algunas propedades de demostracón nmedata son: b z w w w z! x y z=x+y -z=x y z = z, z + w = z + w, z = z, z w = z w, z = (z), z = z z, z w = z w Más dfícl es probar (ver Spvak): z + w z + w (el sgnfcado geométrco es claro). Un z se puede descrbr con coordenadas polares: z = x+y = r(cosθ + senθ), donde r = z y θ es el ángulo que forma el segmento Oz con el eje x postvo. El θ no es únco: todos los θ + kπ nos dan el msmo z. Cualquera de ellos se llama argumento de z. El argumento prncpal es el θ con 0 θ <π. El θ se halla utlzando que tanθ = y x y mrando el cuadrante en que está el z. Ej. Para z = + es z = ; como tanθ = y z está en el tercer cuadrante, se puede escrbr z (con el argumento prncpal) en la forma z = [cos 3π 4 + sen 3π 4 ] (ó con otro θ : z = [cos π π 4 + sen 4 ] ). Más adelante veremos que s θ es cualquer real: e θ = cosθ + senθ (complejo de módulo ). Esto nos proporcona una forma más corta de expresar un complejo en polares: z = re θ, donde r = z y θ es un argumento de z. z+w 0

2 Las formas polares son muy útles para efectuar productos y potencas: S z = re θ, w = se α entonces: z w = rse (θ+α) = rs[cos(θ +α) + sen(θ +α)], z w = r s e(θ α) = r s [cos(θ α) + sen(θ α)], z n = r n e nθ = r n (cosnθ + sennθ). [Las dos prmeras son nmedatas y la de z n se prueba por nduccón]. Todo z = re θ 0 tene exactamente n raíces n-smas dstntas dadas por n z = n r e φ = n r(cosφ + senφ) con φ = θ+kπ n, k = 0,...,n. [basta elevar a n y observar que s k = n,n+,... se repten los ángulos de antes; vemos que las n raíces están en los vértces de un polígono regular]. "/n z.w r.s w s " r!!+" #/n z n! r Hagamos una sere de operacones de repaso de la artmétca compleja: Ej. Calcular (3 4). Basta hacer uso de las propedades del módulo: = = 5 5 = 5. [Vamos ahora a hacerlo dando un rodeo calculando el complejo que está dentro del módulo: [3+4] + = [3 4][ ] [+][ ] = = +, cuyo módulo es, desde luego, 5 ] Ej. Calcular w = ( ) 6, drectamente y en polares: w = +6( )+5( ) +0( ) 3 +5( ) 4 +6( ) 5 +( ) 6 = = 8 r =, tanθ = θ = 7π 4 (θ del cuarto cuadrante) ( e 7π/4) 6 = 8e π/ = 8e π/ = 8 Ej. Hallar las raíces cúbcas de z = 7+. Podemos hacer: z = [7+][+] [ ][+] = 6+8 = = 5e arctan(4/3). O ben, 7 + = 5 e arctan(/7), = e 7π/4 z = 5e [arctan(/7)+π/4] [las dos expresones de z concden, pues arctanx + arctany = arctan x+y xy ] Por tanto, 3 z = 3 5e φ donde φ = arctan(4/3)+kπ 3, k = 0,,. Con calculadora: θ = arctan ; φ 0.309,.403, z ,.6+.5, Ej. Factorzar el polnomo real x 4 + (lo habíamos necestado para hallar una prmtva de 5.5). Las raíces del polnomo son las 4 raíces de = e π que son 4 e φ con φ = π 4, 3π 4, 5π 4, 7π 4. Es decr, z, = [ ± ], z 3,4 = [ ± ], complejos conjugados dos a dos, como debían (a las msmas raíces llegaríamos buscando los z tales que z = ±, pero sería mucho más largo). Así pues: x 4 + = [(x z )(x z )][(x z 3 )(x z 4 )] = [x (z + z )x + z z ][x (z 3 + z 4 )x + z 3 z 4 ] x 4 + = [x x + ][x + x + ] Ej. Hallar las raíces de la ecuacón z z = 0 z = [ ± 3 + 4]. [La fórmula z = a [ b ± b 4ac] sgue sendo válda nterpretando ± b 4ac como las dos raíces del complejo (no tene sentdo decr la raíz postva de un complejo)]. Trabajemos en cartesanas: buscamos z= x+y tal que sea z =x y +xy =3+4. Debe ser x y =3 y xy=4. Hay dos solucones reales de este sstema: x=, y= y x=, y=. [En polares se tendría 5e φ, φ = arctan(4/3) +kπ, k =0,, que deben concdr con ±(+ ) ]. Las raíces buscadas son: z = [ + ( + )] = + y z = [ ( + )] =. " 3! 5 0

3 Ej. Representar en el plano complejo los z que cumplen z <. S z = x + y, esto equvale a x + (y ) < x + (y ) < 4. Los z buscados son los del círculo sn borde de centro (0,) y rado (claro, los z que dstan del complejo menos que ). Ej. Expresar cos3θ y sen3θ en térmnos de cosθ y senθ utlzando potencas de complejos. cos3θ + sen3θ = e 3θ =[e θ ] 3 =[cosθ + senθ] 3 =cos 3 θ 3cosθ sen θ + [3cos θ senθ sen 3 θ] cos3θ = 4cos 3 θ 3cosθ y sen3θ = 3senθ 4sen 3 θ [sale usando sólo propedades reales de senos y cosenos de sumas, pero es bastante más largo] Tratemos ya las funcones de varable compleja. Una f (z) de varable compleja será una regla que asgna a cada complejo z de un domno un únco complejo f (z). Como los reales son un tpo partcular de números complejos podríamos hablar tambén de funcones reales de varable compleja, s f (z) es real para cada z, o de funcones complejas de varable real (ncluso las funcones reales de varable real vstas hasta ahora se pueden mrar como un tpo partcular de funcones complejas). Ej. f (z)=z, f (z)=z, f (z) = f (x + y) = xy + x son funcones complejas de varable compleja. Una funcón compleja de varable real es, por ejemplo, f (x) = sen x + th x, s x R. Funcones (mportantes) reales de varable compleja son: f (z) = z (funcón módulo ), Arg(z)=θ, con θ argumento prncpal de z (funcón argumento ), Re(z) = Re(x+ y) = x, Im(z) = Im(x+ y) = y (funcones parte real y parte magnara ). Cualquer funcón f de valores complejos puede escrbrse en la forma f = u + v, donde u y v (parte real y parte magnara de f ) son funcones con valores reales (esto no sempre será útl). Por ejemplo, así podemos expresar: f (z) = z = (x y ) + (xy), f (z) = z = x y Pntar funcones complejas es mucho más dfícl que las reales. Podríamos dbujar flechas entre dos planos complejos, o ben escrbr el valor de f (z) sobre cada z de un plano complejo. Las dos cosas están hechas abajo para f (z) = z : (+)/ Límte y contnudad se defnen como en R susttuyendo valores absolutos por módulos: Def. (ε,δ R; z,a,l C) lím f (z) = L s ε > 0 δ > 0 tal que s z cumple 0 < z a < δ f (z) L < ε. z a f es contnua en a s ε >0 δ >0 tal que s z cumple z a <δ f (z) f (a) <ε. / 4 4 [S un entorno es B(a,r) = {z C : z a < r}, que f es contnua en a sgnfca que podemos encontrar un entorno de a de rado δ lo sufcentemente pequeño de forma que su magen este contenda en un entorno de f (a) de cualquer rado ε, por pequeño que sea ε ]. rado! f rado " 03

4 f y g contnuas en a C f ±g, f g y f /g (s g(a) 0 ) son contnuas en a. S f =u +v ( u, v reales), entonces f contnua en a u y v contnuas en a. Las demostracones del ±, y / son guales que las reales, ya que segumos tenendo la desgualdad trangular; para la otra: f (z) f (a) = [u(z) u(a)]+[v(z) v(a)] es pequeño s y sólo s lo son u(z) u(a) y v(z) v(a). Ej. Es fácl ver que f (z) = cte y f (z) = z son contnuas en cualquer a (así pues, tambén lo son cualquer polnomo y cualquer cocente de polnomos donde el denomnador no se anula). Ej. Re(z) = x e Im(z) = y son contnuas a por el teorema anteror y porque f (z) = z lo es. [O drectamente: s a = p + q x p, y q < [x p] +[y q] = z a <ε s z a <δ =ε ] Ej. f (z) = z es contnua a C : z a = z a = z a <ε s z a <δ =ε [o por el teorema y el ejemplo anteror: u(z) = x, v(z) = y lo son] [como se verá en los lbros de cálculo en varas varables, una funcón de dos varables que sea composcón de funcones contnuas será contnua; así será fácl asegurar que lo es, por ejemplo, f (x + y) = yarctan(xy) + xcos(x + y)] Hay funcones dscontnuas muy sencllas como Arg(z) en cualquer a real 0 0 postvo. En cualquer entorno de a hay puntos z en que Arg(z) es cas π y por tanto Arg(z) Arg(a) = Arg(z) 0 no se puede hacer tan pequeño cas! como queramos [en los demás a la funcón sí es contnua; s el argumento prncpal lo hubésemos escogdo en ( π, π] conseguríamos que la funcón Arg(z) fuese contnua en el semeje real postvo, pero la dscontnudad se trasladaría al negatvo]. Def. f (a + z) f (a) f (z) es dervable en a C s exste el lím = f (a) z 0 z [Defncón exactamente gual que la de R; tambén exactamente como allí se prueba que dervable contnua y los resultados para el cálculo: ( f ± g) = f ± g, ( f g) = f g + f g, (/g) = g /g, ( f g) (a) = f (g(a)) g (a) Con esto sabemos dervar polnomos y funcones raconales (más adelante tambén dervaremos sen z, cosz y e z, pero por ahora n squera sabemos lo que son estas funcones complejas)]. Ej. Hay funcones muy sencllas no dervables como f (z) = z, pues lím x y x+y f (z) f (0) z 0 z q a p ā x y = lím (x+y) 0 x+y : cuando y = 0 vale y cuando x = 0 vale ; el límte no puede exstr pues el cocente toma valores y para z tan cercanos como queramos a 0. [Sabendo algo de dervadas parcales: se prueba en análss complejo que para que una f = u + v sea dervable es necesaro que se cumpla: u x = v y, u y = v x (ecuacones de Cauchy-Remann). Para f (z) = x y no se satsfacen, pues u x = v y =. De hecho, la mayoría de las funcones defndas en la forma f = u + v serán no dervables, pues es mucha casualdad que u y v cualesquera satsfagan dchas ecuacones. Comprobemos que sí se cumplen para una funcón dervable como f (z) = z (de dervada f (z) = z ) : u x = x = v y, u y = y = v x ]. 04

5 6.. Seres complejas de potencas Comencemos con sucesones {a n } C de complejos, o sea, funcones de N en C : Def. {a n } L s para todo ε >0 exste N natural tal que s n N entonces a n L < ε [ módulo ] Para cualquer entorno de L cas todos los puntos de {a n } están dentro: Sea a n = b n + c n, con b n y c n reales y L = p + q. Entonces {a n } L {b n } p y {c n } q. a a bb! L p ) ε N tal que s n N a n L = (b n p) + (c n q) <ε (b n p) + (c n q) <ε { (bn p) < ε b n p < ε (c n q) < ε c n q < ε ) ε { N,n N b n p < ε N,n N c n q < ε a n L b n p + c n q < ε s n máx{n,n } Como en R, una sere de complejos a n se dce convergente s lo es su sucesón S n de sumas parcales. Una consecuenca nmedata del teorema anteror es: a n = b n + c n : a n converge b n y c n convergen y es a n = b n + c n n= n= n= a n es absolutamente convergente s lo hace la sere real a n, a la que se le pueden aplcar los crteros de convergenca de seres reales conocdos. Se tene tambén que: a n absolutamente convergente a n convergente S a n = b n + c n, a n = b n + c n b n, c n a n. Por tanto: a n convergente b n y c n convergente b n y c n convergentes Tambén se tenen aquí los crteros de cocente y de la raíz (guales que los de R) y son reales las sucesones a n+ a n y n an cuyo límte hay que calcular para aplcarlos. Ej. a n = sen n + ( + n )n dverge, pues b n = sen n 0, pero c n = ( + n )n. Ej. a n = ( + )n ; a n = n/ 0 a n 0 [esto es ntutvamente claro y fácl de formalzar] Ej. ( + )n converge pues a n = ( ) n es sere geométrca convergente [como en R se ve que: a n convergente a n 0 ; otra prueba de que la últma {a n } converge] Ej. n n no converge absolutamente (pues n es dvergente), pero sí converge: Ej. (7+)n n 3 n n = = ( + 3 ) + ( ) puesto que son convergentes las dos últmas seres por Lebnz. dverge, pues a n+ a n = 7+ n+ n 3 7+ n (n+) 3 = 5 n 3 (n+) 3 5 >, o ben, porque n a n = 5 n 3/n 5 > (que a n dverja, en prncpo no prueba nada). 05

6 Veamos las seres de potencas complejas f (z)= a n z n = a 0 + a z + a z +, a n,z C. Se dan resultados como los de R con demostracones (que no hacemos) guales que allí: A cada sere de potencas está asocado un número postvo R, llamado rado de convergenca de la sere, que tene las sguentes propedades: s R = 0, la sere sólo converge s z = 0 ; s R =, la sere converge para todo z ; s R es un número real postvo, la sere converge para z < R y dverge para z > R. Aquí el ntervalo de convergenca se ha convertdo en el círculo de convergenca z < R. Sobre la crcunferenca z = R no se puede asegurar nada. Como en los reales habrá seres que convergen en toda ella, otras en puntos aslados, otras en nnguno... El cálculo del R se podrá hacer cas sempre utlzando el crtero del cocente o la raíz.? converge?? Estas seres se pueden sumar, multplcar, dvdr,... gual que las reales y se tene el msmo resultado sobre dervacón: Sea f (z) = a n z n para z < R f es dervable para z < R y f (z) = na n z n n= Y, por tanto, las funcones defndas por seres de potencas vuelven a ser nfntamente dervables (y tambén contnuas, desde luego) dentro del círculo de convergenca. Un resultado mportante y sorprendente, que desde luego no es certo en los reales, y que se prueba con técncas más avanzadas de cálculo complejo es: Una funcón f (z) dervable en una regón A del plano es nfntamente dervable en A. Además, en todo círculo contendo en A la funcón f (z) concde con su sere de Taylor. Defnmos tres nuevas funcones complejas, que hasta ahora no tenían sentdo: Def. e z = z n n!, senz = ( ) n zn+ (n+)!, cosz = ( ) n zn (n)!, z C El R de las tres seres es. Tenen propedades (fácles de probar) esperadas como: (senz) = cosz, (cosz) = senz, sen( z) = senz, cos( z) = cosz, Además de otras nuevas como: (e z ) = e z, e z = /e z, e z+w = e z e w,... A dverge e z = + z z! z3 3! + z4 4! + z5 z z3 5! = (! + ) + (z 3! + ) = cosz + senz e z = cosz senz, senz = [ez e z ], cosz = [ez + e z ] [S z = y real deducmos la prometda relacón que abrevaba la forma polar: e y = cosy + seny ]. No es necesaro sumar seres para calcular exponencales: e x+y = e x e y = e x (cosy + seny). [N senos: sen(π + ) = [e(π+) e (π+) ] = [e e π e e π ] = [e e ] ( = sen ) ]. Las funcones complejas senz y cosz no son acotadas. En el eje magnaro, por ejemplo: sen(y) = [e y e y ] = shy, cos(y) = [e y + e y ] = chy [resultado clásco es que las úncas funcones acotadas y analítcas en todo C son las constantes]. 06

7 Lo vsto para seres complejas permte explcar stuacones sorprendentes de las funcones reales. Por qué s tanto e x como son C (R), la sere de la prmera converge x mentras +x que la de la otra sólo lo hace s x <? Pues porque la sere z + z 4 de ha +z de defnr una funcón contnua y en z = ± esta no lo es [esto sucede para todo cocente de polnomos complejos (reales, en partcular): el rado R de su sere es la dstanca al cero más próxmo del denomnador (en z <R es dervable y, por tanto, analítca)]. Tambén entendemos el extraño comportamento de la f (x)=e /x, f (0)=0 que tene nfntas dervadas pero sólo concde con su sere de Taylor en x = 0 : como f (y) = e /y, la funcón compleja no es y 0 squera contnua en z = 0. Ej. Estudemos donde converge: zn n. a n+ a n = n+ n = R. Converge en el círculo z < y dverge en z >. Qué pasa en z =? No converge absolutamente en esa crcunferenca, pero podría converger en algunos z de ella. Por ejemplo: s z =, la sere [ ]n n converge por Lebnz; s z =, n dverge; s z =, converge, pues n n = [ ]n n + [ ]n n+ y convergen ambas (Lebnz). Ej. Desarrollemos en sere f (z) = z +4. CONV CONV CONV DIV Que z n converge z < y que su suma es z se prueba como en R. Así pues: f (z) = 4 [ z /4] = ( ) n z n, z 4 n+ 4 < z < (dstanca de los ceros al orgen). [la sere no converge en nngún punto de la crcunferenca z = pues para cualquer z con ese módulo queda una sere cuyo térmno general no tende a 0 pues tene módulo constante 4 ]. Podemos desarrollarla tambén (dando rodeos) de otras formas. Descomponendo en fraccones smples complejas: z +4 = 4 [ z z+ ] = 8 [ z/ + +z/ ] = 8 [ zn () n + ( z)n () n ] = 8 DIV z n = ( ) n n n z n 4 n+ Dvdendo (las manpulacones con seres complejas, como djmos, como las de las reales): [4 + z ][a 0 + a z + a z + ]= 4a 0 =,a 0 =4 ; 4a =0,a =0 ; 4a +a 0 =0,a = 6 ;... 07