Divergencia. Teorema de Gauss Significado físico de la divergencia. Rotacional. Teorema de Stokes Significado físico del rotacional
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- Miguel Ángel Castellanos Palma
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1 I. Fudametos mate 5. Divegecia i y otacioal Gómez, 2/ Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla Campos Electomagéticos Igeieo de Telecomuicació icos. Coodeadas cuvilíeas 2. Sistemas de coodeadas otogoales. Campos escalaes 4. Campos vectoiales 5. Divegecia y otacioal Divegecia. Teoema de Gauss Sigificado físico de la divegecia Fuetes escalaes de u campo vectoial Rotacioal. Teoema de Stokes Sigificado físico del otacioal Fuetes vectoiales de u campo vectoial 6. peadoes difeeciales 7. Teoemas itegales 2
2 Divegecia. Teoema de Gauss Divegecia de campo vectoial A( cotiuo y deivable (e geeal defiició itíseca: diva( es flujo de A po uidad de volume e too a d div A( = lim d A S d ( mide vaiació eta po uidad de logitud de A (A /=( A / expesió e coodeadas otogoales: hhh 2 div A ( A i A hhh 2 i q i h i Teoema de Gauss el flujo de A( a tavés de es igual a la itegal de div A( e el volume A (d S A d = i A i (q,q 2,q u i A A t (q,q 2,q A =d ( ( Itepetació física del flujo: caso paticula Ejemplo de flujo: U fluido icompesible (desidad m costate, se mueve segú ua distibució de velocidades v=v( (campo vectoial. Detemíese la masa de fluido que ataviesa la supeficie po uidad de tiempo. Solució: es igual al flujo del campo vec- toial A(= m v( a tavés de la supeficie. dm dt A( flujo eto e el setido de : (dm/dt > flujo eto cotaio a : (dm/dt < 4
3 Sigificado de la divegecia: fuetes escalaes (I Fuetes escalaes del campo vectoial petubacioes escalaes que actúa como causas del campo vectoial las líeas de campo divege o covege e los putos dode existe fuetes escalaes div A(= A( popocioa la distibució de las fuetes escalaes de A( desidad volumética de fuetes escalaes Caso a ausecia de fuetes escalaes agua fluyedo e too a u puto desidad dde masa costate: t m = g/cm e eta y sale la misma catidad de agua dm d ( A S d div A ( = dt d ( ( 5 Sigificado de la divegecia: fuetes escalaes (II Fuetes escalaes del campo vectoial A(= m v( Caso b pesecia de fuetes escalaes agua fluyedo e too a u puto F dode hay u eacto que actúa como maatial H H 2 (líquida las líeas de A( divege desde F H2 2 e sale más agua que eta ( m cte.: d ( A S ( dm dt ( div A(F idica pesecia de maatiales de campo e F: fuetes escalaes positivas d F div A ( F = d F 6
4 Sigificado de la divegecia: fuetes escalaes (III Fuetes escalaes del campo vectoial A(= m v( Caso c pesecia de fuetes egativas agua fluyedo e too a u puto S dode hay u sumideo : H 2 (líquida H H2 2 las líeas de A( covege e S e eta más agua que sale ( m cte. : d ( A S ( dm dt ( div A(F idica pesecia de sumideos de campo e S: fuetes escalaes egativas d div A ( S= S d S 7 Fuetes escalaes: ejemplos Fuetes de campo adial (..a, cte. A ( u 2 A( u (,, Fuetes de u vótice z v vu (,,z C v ( u v( u cil A ( 4 δ( fuetes escalaes e (desidad d ifiita it A A S4 d d cil vd v v ( o tiee fuetes escalaes
5 Rotacioal. Teoema de Stokes (I Rotacioal de campo vectoial A=A( cotiuo y deivable e defiició itíseca de otacioal: ot A( S A ot A( A( ( A( A ( lim d ( ( ot A( mide la vaiació eta po uidad de logitud de las compoetes (q,q 2,q de A( tageciales a (A t A=A t ; A /= A t / A div A( e coodeadas otogoales: A h u h2u2 hu = ( ota( q q q 2 hhh A A 2 ha h 2A h 2 A A t ot A( 9 Rotacioal.Teoema de Stokes (II Sigificado del otacioal: ciculació la ciculació po uidad de supeficie de A( alededo de S, es la poyecció de ot A( sobe la diecció d lim A ( d ot A ( S ( S S ota( d ot ta( A( Teoema de Stokes el flujo del ot A( a tavés de ua supeficie es igual a la ciculació de A( a lo lago de su peímeto d ( A S= A d
6 Sigificado físico del otacioal: fuetes vectoiales (I Fuetes vectoiales de campo vectoial petubacioes vectoiales que actúa como causas del campo vectoial las líeas de campo gia e too a los putos dode existe fuetes vectoiales ot A(=A( popocioa la distibució de B( I las fuetes vectoiales de A( desidad volumética de fuetes vectoiales Ejemplo : u hilo de coiete eléctica es Q fuete vectoial de u campo magético B( las líeas del campo so cicufeecias cocéticas alededo del hilo de coiete I e u puto dode hay coiete ( ot B( SS e u puto dode o hay coiete (Q ot B ( Q Sigificado físico del otacioal: fuetes vectoiales (II Fuetes vectoiales de campo vectoial Ejemplo 2: fluido de desidad costate y movieto ectilíeo a la lago de ua tubeía distibució de velocidades: o uifome A(= m v( simética especto del eje logitudial ausecia de fuetes vectoiales distibució simética de A( e too a : el moliillo e o es movido po el fluido las líeas de A( ( o gia e too a ciculació ula de A( e too a : (poyecció del otacioal ulo Ad ( S S d ot A( = eje de simetía 2
7 Sigificado físico del otacioal: fuetes vectoiales (III Fuetes vectoiales de campo vectoial Ejemplo 2: fluido de desidad costate y movieto ectilíeo a la lago de ua tubeía fuetes vectoiales positivas A( o es simético especto de : el moliillo e gia e setido atihoaio las líeas del campo A( gia e too a e setido positivo (especto de ciculació de A( e too a : Ad ( S ot A( idica pesecia de fuete vectoial positiva (co el setido de S d ot A( = eje de simetía Sigificado físico del otacioal: fuetes vectoiales (IV Fuetes vectoiales de campo vectoial Ejemplo 2: fluido de desidad costate y movieto ectilíeo a la lago de ua tubeía fuetes vectoiales egativas A( o es simético especto de Q: el moliillo e Q gia e setido hoaio las líeas del campo A( gia e too a Q e setido egativo (especto de ciculació de A( e too a Q: d Q A ( S Q Q ot A(Q idica pesecia de fuete vectoial egativa (co setido opuesto a d ot A( Q = Q eje de simetía S Q Q 4
8 Fuetes vectoiales: ejemplos Fuetes de campo adial (..a z d A ( u A u 2 ( (,,, cte. v v u z, cte. (,,z Fuetes de u vótice C v ( u v( u z d, cte. z, cte. o tiee fuetes vectoiales v S= v ( 2 d d C A ( A = A( d v ( 2CC δ(ρ u z fuetes vectoiales e (desidad d ifiita it fuetes vectoiales e 5 Fuetes escalaes y vectoiales: ejemplos Fuetes de campo adial (..a A ( u 2 A( u (,, C v ( u v ( u Fuetes de u vótice (,,z A ( 4 δ( A ( A(, geeado po petubació esca- la putual e v(, poducido po petubació vectoial e v ( 2 C δ(ρ u z v ( 6
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