CAPÍTULO 7 CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

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1 CAPÍTULO 7 CÁLCULO INTEGAL EN VAIA VAIABLE 1. INTEOGANTE CENTALE EL CAPÍTULO Clculr integrles dobles en coordends crtesins y polres, sobre dominios sencillos. Usr l integrl doble pr el cálculo de áres. Clculr integrles triples en coordends crtesins, cilíndrics y esférics, sobre dominios sencillos. Usr l integrl triple pr el cálculo de volúmenes.. CONTENIO FUNAMENTALE EL CAPÍTULO.1. Integrles dobles sobre dominios sencillos e f(x, y) un función continu pr los vlores (x, y) donde { (x, y) x b, c y d } [, b] [c, d]. Pr cd y fijmos l función definid por F (x) f(x, y ) que es continu y por lo tnto integrble es [, b]. L integrl b F (x, y)dx G(y) es un función continu y como consecuenci integrble en [c, d]. efiniremos l integrl doble sobre el rectángulo [, b] [c, d] de l función f(x, y) como f(x, y)dxdy d c b f(x, y)dx dy. Ejemplo. e [, 1] [, ], vmos clculr f(x, y)dxdy donde f(x, y) xy. xydxdy xydx dy

2 CÁLCULO INTEGAL EN VAIA VAIABLE 7 [ x y y dy ] x1 dy x [ y 4 ] y y 1. Teorem de Fubini: i [, b] [c, d] se cumple que d b f(x, y)dxdy f(x, y)dx dy expresión válid siempre que f(x, y) se continu en. c b d c f(x, y)dy dx, El concepto de integrl doble se puede extender conjuntos que no sen necesrimente rectángulos en.on conjuntos cotdos más generles que en lguns referencis bibliográfics se denominn conjuntos medibles Jordn. No vmos intentr definir e identificr mtemáticmente estos conjuntos; pr nuestrs plicciones nos bstrá con sber que recintos plnos de puntos que estén limitdos por un curv cerrd son conjuntos medibles Jordn en los que tiene sentido definir l integrl doble (ver Figur 7.1). Figur 7.1: Conjunto medible Jordn. Pr clculr l integrl de f(x, y) en el recinto procederemos como sigue. L rect x x cort en dos puntos M 1 y M de ordends respectivs y 1 (x ) e y (x ). Cundo vrimos x b, y 1 (x) e y (x) son dos funciones continus. Así d y (x) f(x, y)dxdy f(x, y)dx dy. c y 1 (x) Qué ocurre si tommos ls rects y y y los puntos de corte con bsciss x 1 (y ) y x (y ), siendo mbs funciones continus pr c y d? En el cso de que f(x, y) se continu en (cso pr el que nos restringiremos en l práctic) se tiene por el Teorem de Fubini que d y (x) b x (y) f(x, y)dxdy f(x, y)dx dy f(x, y)dy dx c y 1 (x) x 1 (y)

3 8 MATEMÁTICA Qué ocurre cundo ls rects x x (o bien y y ) cortn l dominio en más de dos puntos? L form de relizr en l práctic este cso es descomponer en dominios prciles que sí stisfgn l condición, unque nosotros solo trtremos los csos más sencillos. Ejemplo. Vmos clculr x ydxdy donde { (x, y) x + y 1,y } (semicírculo superior de centro el origen y rdio 1) x ydxdy x [ x y [ x 3 3 x5 5 x ydy dx ] y 1 x y ] x1 x 1 dx 15 1 (1 x )x dx.1.1. Integrles dobles en coordends polres A veces, por cuestiones de fcilidd en l expresión de l función o del recinto, trbjr en coordends polres giliz en grn mner los cálculos. En relidd no hy ningún problem mtemático pr efectur un nuev elección de un sistem de coordends (r, θ) con x r cos θ, y r sen θ. Ejemplo. Vmos clculr de nuevo l integrl de f(x, y) x y en el recinto { (x, y) x + y 1,y }, hor usndo coordends polres. Pr empezr debemos fijrnos en l ventj evidente de que l porción del círculo unidd que indic tiene hor un expresión bstnte más sencill, sber, {(r, θ) r 1, θ }. Luego se tiene x ydxdy r 3 (cos θ)(sen θ)rdrdθ r 4 (cos θ)(sen θ)drdθ r 4 (cos θ)(sen θ)dθ dr [ r 4 cos3 θ 3 r 4 3 dr 1 ] θ θ [ r 5 5 dr ] r1 r 15

4 CÁLCULO INTEGAL EN VAIA VAIABLE Cálculo de áres usndo integrles dobles Conviene reflexionr sobre el significdo geométrico de l expresión dxdy. do el rectángulo { (x, y) x b, c y d } [, b] [c, d] qué significdo geométrico tiene dxdy? Y si hor ponemos { (x, y) x + y 1 } qué significdo pienss que tiene dxdy? (Es más fcil que lo pienses en coordends polres). Finlmente generliz los resultdos obtenidos l cso de un recinto. Pr ilustrr ls reflexiones que te hemos propuesto nteriormente te presentmos el siguiente ejemplo. Ejemplo. Vmos clculr eláre dellóbulo del folium de escrtes (ver Figur 7.) de ecución en coordends polres 3senθ cos θ r sen 3 θ +cos 3 θ, θ. Figur 7.: Folium de escrtes. En nuestro cso se tiene que el áre vendrí expresd por l siguiente integrl doble: 3senθ cos θ sen 3 θ+cos 3 θ rdr dθ 1 [ r ] r 3senθ cos θ sen 3 θ+cos 3 θ r dθ 9sen θ cos θ (sen 3 θ +cos 3 θ) dθ 9sen θ cos θ (sen 3 θ +cos 3 θ) dθ.

5 1 MATEMÁTICA Observ que por l simetrí del recinto se tiene 1 9sen θ cos θ (sen 3 θ +cos 3 θ) dθ y hciendo el cmbio de vrible tn θ t, dt 1 expresiones): cos θ 4 9sen θ cos θ (sen 3 θ +cos 3 θ) dθ dθ, obtenemos (intentndo ntes simplificr lgo ls 4 9sen θ cos θ (sen 3 θ +cos 3 θ) dθ sen θ cos θ cos 6 θ (1 + tn 3 θ) dθ 9sen θ cos 4 θ (1 + tn 3 θ) dθ t (1 + t 3 ) dt [ t 3 ] t1 t 3... Integrles triples Procedemos de form nálog ls integrles dobles, est vez refiriéndonos funciones de tres vribles definids sobre un recinto del espcio. ef(x, y, z) un función contínu pr los vlores (x, y, z) donde { (x, y, z) 3 x b, c y d, e z f } [, b] [c, d] [e, f]. Con ls considerciones de continuidd pr f(x, y, z) y ls consecuencis posteriores de integrbilidd similres ls hechs pr l integrl doble, se tiene que l integrl triple sobre el prlelepípedo de l función f(x, y, z) se puede expresr como f f(x, y, z)dxdydz e d c b f(x, y)dx dy dz. El Teorem de Fubini tmbién se cumple hor. Es decir, podremos cmbir el orden de ls diferentes integrles sin que esto fecte l vlor finl de l integrl triple. Ejemplo. e [, 1] [, ] [, 3] y f(x, y, z) xyz. Entonces 3 xyzdxdydz xyzdx dy dz 3 [ x ] x1 yz dy dz x 3 yz dy dz

6 CÁLCULO INTEGAL EN VAIA VAIABLE 11 3 [ z [ y ] y z dz 4 y ] z3 z 9 3 zdz iguiendo el procedimiento l que sometímos l integrl doble, psmos continución introducir el concepto de integrl triple sobre conjuntos cotdos más generles 3, los llmdos conjuntos medibles Jordn. Figur 7.3: Conjunto medible Jordn. Considermos hor el plno x x (prlelo l plno coordendo YZ) y supongmos demás que el menciondo plno cort en C(x ). En ests condiciones,supuests ls hipótesis de continuidd de l función en el dominio y de ls secciones C(x) l vrir x entre [, b], podemos clculr l integrl triple de f(x, y, z) sobre de l siguiente form: b [ ] f(x, y, z)dxdydz f(x, y, z)dydz dx C(x) i desrrollmos el cálculo de l integrl f(x, y, z)dydz, C(x) suponiendo que ls prlels l eje OZ cortn C(x) en puntos en los que ls cots lcnzds en el menciondo eje sen z 1 (x,y ) y z (x,y ), se tiene entonces y (x) z (x,y) f(x, y, z)dydz f(x, y, z)dz dy, C(x) y 1 (x) z 1 (x,y) de donde finlmente tendremos que f(x, y, z)dxdydz b b [ y (x) y 1 (x) f(x, y, z)dydz dx C(x) z (x,y) f(x, y, z)dz dy dx. z 1 (x,y) ]

7 1 MATEMÁTICA Obsérvese que tmbién quí se puede intercmbir el orden de ls integrciones, es decir, podemos prtir de secciones de prlels l plno XY (C(z )) o prlels l plno XZ (C(y )), sin que esto vríe nuestro rzonmiento en lo que l proceso se refiere. Ejemplo. Vmos clculr x yzdxdydz, siendo { (x, y, z) 3 x + y 1, z 1,x,y } (l prte del cilindro de bse el círculo de centro el origen y rdio 1 y de ltur igul 1, que está contenid en el primer octnte). Consideremos hor secciones C(z ) por plnos prlelos l XY, de ecuciones z z, vrindo z en el intervlo [, 1]. Así obtenemos lo siguiente: x yzdxdydz [ ] x yzdxdy dz C(z) 1 x x yzdy dx dz [ x y z ] y 1 x y (1 x )x z [ z x 3 3 x5 5 z 15 dz 1 15 [ z dx dz ] x1 x ] z1 z dy dz dz e puede pensr en intercmbir el orden de ls integrles simples pr intentr fcilitr el proceso de cálculo. Vemos: b [ ] f(x, y, z)dxdydz f(x, y, z)dydz dx C(x) b y (x) y 1 (x) XY () z (x,y) z 1 (x,y) z (x,y) z 1 (x,y) f(x, y, z)dz dy dx f(x, y, z)dz dxdy, donde se puede observr que hemos empezdo por un integrl simple y después integrmos el resultdo sobre XY () que indic l proyección de sobre el plno XY. Nturlmente todo el nterior procedimiento se puede hcer nálogmente integrndo primero sobre x y después integrndo sobre YZ () (proyección de sobre YZ), o bien integrndo primero sobre y y después sobre XZ ().

8 CÁLCULO INTEGAL EN VAIA VAIABLE 13 Ejemplo. Vmos clculr xyzdxdydz donde { (x, y, z) 3 x + y + z 1,x,y,z } (l prte de l esfer de centro en el origen de coordends y rdio 1 que está contenid en el primer octnte). Vemos: primero integrmos sobre z y después sobre l proyección de en el plno XY, XY () que en este cso coincidirácon { (x, y) x + y 1,x,y }. e est form se tiene xyzdxdydz 1 x y xyzdz dxdy [ ] xyz z 1 x y dxdy z xy(1 x y ) dxdy 1 x xy(1 x y ) dy dx x(x 1) dx Integrles triples en coordends cilíndrics ecordemos que ls coordends cilíndrics (r, θ, z) de un punto en el espcio representn con (r, θ) ls coordends polres de l proyección del punto en el plno XY y z el vlor de l coordend en el eje OZ. En lguns ocsiones expresr en coordends cilíndrics l función y el recinto sobre el que clculmos l integrl triple tiene notbles ventjs, como veremos en el ejemplo que desrrollremos continución. ólo bst tener en cuent que f(x, y, z)dxdydz ϕ(r, θ, z)rdrdθdz Ejemplo. Vmos clculr emplendo el cmbio coordends cilíndrics l integrl triple x yzdxdydz, siendo { (x, y, z) 3 x + y 1, z 1,x,y }. Primero de todo conviene observr l evidente ventj que proporcion el nuevo sistem de coordends en l expresión del recinto, y que se tiene { (r, θ, z) r 1, θ, z 1}, presentndo ls misms ventjs opertivs pr l integrl triple que presentb el prlelepípedo (el cso más simple con el que nos podímos encontrr). Y solo nos qued efectur el cmbio de vrible recordndo que x r cos θ, y r sen θ. Vemos: x yzdxdydz r 3 (cos θ)(sen θ)zrdrdθdz

9 14 MATEMÁTICA r 4 (cos θ)(sen θ)zdrdθ r 4 [ r 5 z 15 r 4 (cos θ)(sen θ)zdθ dr dz [ r 4 cos3 θ 3 3 zdr dz ] r1 dz r ] θ z θ dr dz z 15 dz Integrles triples en coordends esférics ecordemos que un punto P de 3, está totlmente determindo por sus coordends esférics (ρ, ϕ, θ) donde ρ indic l longitud de OP, ϕ el ángulo que form el plno determindo por OZ y P con el plno OXZ y θ el ángulo que form l rect OP con el eje OZ, teniéndose demás ls siguientes igulddes que relcionn ls coordends esférics con ls crtesins rectngulres x ρ sen θ cos ϕ, y ρ sen θ sen ϕ, z ρ cos θ. Al igul que sucedí con ls coordends cilíndrics, en determinds ocsiones, bien se por l expresión del propio recinto o por l propi función, nos conviene usr este sistem de coordends en detrimento de ls crtesins ocilíndrics. Tendremos no obstnte que tener en cuent lo siguiente: f(x, y, z)dxdydz g(ρ, θ, ϕ)ρ sen θdρdθdϕ. Ejemplo. Vmos clculr donde xyzdxdydz { (x, y, z) 3 x + y + z 1,x,y,z }. e tiene xyzdxdydz (ρ sen θ cos ϕ)(ρ sen θ sen ϕ)(ρ cos θ)ρ sen θdρdθdϕ ρ 5 (sen 3 θ cos θ)(cos ϕ sen ϕ)dρdθdϕ. Observ que l grn ventj que present en este ejercicio el nuevo sistem de coordends es l expresión del recinto { (ρ, θ, ϕ) ρ 1, θ, ϕ }, que produce el siguiente efecto l hor de clculr

10 CÁLCULO INTEGAL EN VAIA VAIABLE 15 l integrl triple: ρ 5 (sen 3 θ cos θ)(cos ϕ sen ϕ)dρdθdϕ ρ 5 (sen 3 θ cos θ)(cos ϕ sen ϕ)dθ dϕ dρ ρ 5 4 cos ϕ sen ϕdϕ dρ ρ 5 8 dρ Cálculo de volúmenes usndo integrles triples Al igul que usábmos ls integrles dobles pr clculr el áre de determindos recintos plnos, se puede utilizr l expresión dxdydz pr clculr el volumen de un recinto 3. Ejemplo. Vmos clculr el volumen de un esfer de centro el origen y rdio. bemos que podemos expresr los puntos de l esfer que estén en el primer octnte como { (ρ, θ, ϕ) ρ, θ, ϕ } (en coordends esférics). Por simetrí, el volumen que nos piden vendrá expresdo por 8 dxdydz 8 ρ sen θdρdθdϕ 8 ρ sen θdθ dϕ dρ 8 ρ dϕ dρ 8 ρ dρ ACTIVIAE E APLICACIÓN E LO CONOCIMIENTO A.7.1. Clculr ls siguientes integrles dobles: () sen x cos ydxdy donde { (x, y) } x, y

11 16 MATEMÁTICA (b) (c) (d) xydxdy donde { (x, y) } x 3, 1 y x ydxdy donde { (x, y) } x + y 1,x,y sen(x + y)dxdy donde { (x, y) x, y } A.7.. Clculr ls siguientes integrles dobles: () xydxdy donde (b) (x y )dxdy donde (c) A.7.3. Clculr { (x, y) x>,y >, x + y { (x, y) x + y b 1 } b 1 } 1 (x+y) dxdy donde { (x, y) x,y,x+ y 3 } xydxdy donde es el triángulo de vértices A(, 1), B(1, ) y C(, 3). A.7.4. Clculr ls siguientes integrles dobles: xy () 1+x +y dxdy donde { (x, y) x 1,y 1,x + y 1 } 1 (b) (1+x+y) dxdy donde { (x, y) } x,y,x+ y 1 (c) xy x +4y dxdy donde { (x, y) x,y,x + y 1 } A.7.5. Clculr, usndo l integrl doble, l expresión del áre encerrd por l elipse de ecución A.7.6. Clculr ls siguientes integrles triples: () (b) (c) xyzdxdydz donde (d) x + y b 1. zdxdydz donde { (x, y, z) 3 x + z 1,x,z y,y } yzdxdydz donde { (x, y, z) 3 y x,z,y+ z 1 } { (x, y, z) 3 } x + y b + z c 1 z dxdydz donde { (x, y, z) 3 x + y + z 1 } A.7.7. ds l integrles sucesivs x f(x, y)dy dx x y x x+y f(x, y, z)dz dy dx, exprésrls respectivmente como un integrl doble y otr triple de f(x, y) y f(x, y, z) sobre los recintos propidos. A.7.8. Clculr ls integrles introducids en el ejercicio nterior pr ls funciones f(x, y) e x+y y f(x, y, z) e x+y+z. A.7.9. Clculr usndo l integrl triple un fórmul que clcule el volumen encerrdo por el elipsoide de ecución x + y b + z c 1.

12 CÁLCULO INTEGAL EN VAIA VAIABLE BIBLIOGAFÍA EL CAPÍTULO J. E BUGO Cálculo Infinitesiml, Editoril Alhmbr. Cpítulo 6..E. LAON,.P. HOTETLE y B.H. EWA Clculo y Geometrí Anlític,5 ed., McGrw-Hill, Mdrid, Cpítulo 16. E. LINE Principios de Análisis Mtemático, Editoril everté A. Cpítulo 31. J. IVAU Ejercicios de Análisis, Editoril Aguilr. Cpítulo 9. J. TEWAT Cálculo, ed. Grupo Editoril Iberoméric, México, Cpítulo PEGUNTA E EVALUACIÓN E.7.1. Clculr E.7.. Clculr (x + y )dxdy donde { (x, y) x + y 1 } 1 dxdydz donde { (x, y, z) 3 x + y + z 1 } x +y E.7.3. Hllr el volumen del recinto limitdo superiormente por l esfer de ecución x + y + z 4,inferiormente por el plno XY y lterlmente por el cilindro x + y 1.

13 18 MATEMÁTICA ANOTACIONE