IES Fernando de Herrera Curso 2016 / 17 Segundo trimestre Observación evaluable escrita nº 1 2º Bach CCSS NOMBRE: 2 t

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1 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Obsrvación valuabl scrita nº 1 º Bach CCSS NOMBRE: Instruccions: 1) Todos los folios dbn tnr l nombr y star numrados n la part suprior. ) Todas las rspustas dbn star justificadas y simplificadas. ) No s pud usar corrctor ni lápiz, y l bolígrafo db sr d tinta indlbl. S aconsja no usar borrador. ) S pud altrar l ordn d las rspustas, pro no s pud intrcalar la rspusta a una prgunta con las d otras. ) Dsatndr las instruccions pud pnalizars con hasta 1 punto o la anulación n caso d usar tinta corrgibl. 1) Los bnficios d una mprsa, n mils d uros, han volucionado n los años d su istncia sgún una función dl timpo, n años, dada por la siguint prsión: t si 0 t 10 B(t) t 8t 10 si 10 t a) Hall B"(t). (1, puntos) b) Estudi la monotonía y curvatura d la función, calculando, si istn, los trmos rlativos y los puntos d inflión. ( puntos) c) Hall la rcta tangnt n t 1. (1 punto) ) Calcular las asíntotas d f() 1 ( puntos) ) Calcular y simplificar las drivadas d las siguints funcions: ( puntos) a) y ( ) b) g() ( 7 ) ² c) h() 1 + d) j() log( + 1) (log logaritmo n bas 10) ) Dadas las matrics B y C, indicar qué dimnsions dbn tnr las matrics P y Q para qu san cuadradas cada una d las matri- 0 1 cs rsultants d las dos opracions siguints: a) (B + C)P. (0,8 puntos) b) BQC t. (0,7 puntos)

2 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Obsrvación valuabl scrita nº 1 º Bach CCSS SOLUCIONES 1) Los bnficios d una mprsa, n mils d uros, han volucionado n los años d su istncia sgún una función dl timpo, n años, dada por la siguint prsión: t si 0 t 10 B(t) t 8t 10 si 10 t a) Hall B"(t). (1, puntos) Para drivar una función dfinida a trozos, hay qu studiar la continuidad imprscindiblmnt. Continuidad [0, 10) (10, ]: f s continua por star dfinida mdiant dos funcions qu son polinómicas, las cuals no tinn discontinuidads. La continuidad n intrvalos crrados s ntind continuidad latral dsd dntro dl intrvalo, por lo qu n t 0 s continua por la drcha, y n t, por la izquirda. t 10: Los puntos d conión ntr dfinicions d una función dfinida a trozos hay qu studiarlos apart: 1) B(10) 10 / 0. t ) B( t) 0 t10 t10 t 100 B( t) ( 8t 10) t10 t10 Por tanto, B( t) 0. t 10 Como B( t) B(10) B s continua n t 10. t 10 Por tanto, B s continua n su dominio, qu s [0, ]. No hay, por tanto, ningún punto a cluir al studiar la drivada. Drivada Las rglas d las tablas d drivadas son aplicabls sólo n intrvalos abirtos. Por llo, aplicándolas, obtnmos n un primr paso: t t si 0 t 10 B '(t) t 8 si 10 t Y falta por studiar l punto d conión t 10. S tin: B '(10 ) 10 B '( ) 8 Como no coincidn, no ist B '(10). Por llo, la prsión dfinitiva d B' s la antrior. Drivada sgunda D forma análoga: 1 si 0 t 10 B "(t) si 10 t IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 1 d

3 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Obsrvación valuabl scrita nº 1 º Bach CCSS Y no hay qu studiar nada más, porqu la función qu stamos drivando, qu s B'(t), no s continua n t 10 (no tin imagn), por lo qu no pud sr drivabl n dicho punto. b) Estudi la monotonía y curvatura d la función, calculando, si istn, los trmos rlativos y los puntos d inflión. ( puntos) Monotonía. Etrmos rlativos o locals Discontinuidads d B: No tin, sgún lo visto. Discontinuidads d B': t 10 Puntos qu anulan B' (puntos críticos): o En (0, 10): t 0, qu no considramos, porqu no stá n l dominio (si stuviésmos calculando asíntotas vrticals, si habría qu tnrlo n cunta). o En (10, ): t t t 0 t 0. Dividimos l dominio n intrvalos mdiant los dos puntos obtnidos t 10 y t 0: (0, 10) 10 (10, 0) 0 (0, ) B ' + / + 0 B crc P.a. crc M dcrc En (10, 0) hay un punto anguloso, qu no s trmo rlativo. En (0, 70) hay un máimo rlativo. Las imágns s calculan sustituyndo n B(t). El punto anguloso lo s porqu s una discontinuidad d B' pro no d B. Significa, n la práctica, qu la gráfica tndrá n él un "pico". Curvatura, Puntos d inflión Discontinuidads d B: No tin. Discontinuidads d B': t 10 Discontinuidads d B": t 10 Puntos qu anulan B": o En (0, 10): 1 0, qu no s posibl para ningún t. o En (10, ): / 0, qu tampoco s posibl. Dividimos l dominio n intrvalos mdiant l punto obtnido: t 10: (0, 10) 10 (10, ) B" + / B conva P.I. cóncava En (10, 0) tin un punto d inflión, porqu cambia la curvatura, pro B s continua n él. c) Hall la rcta tangnt n t 1. (1 punto) Podmos ncontrar un ntorno d cntro t 1 dond B(t) coincid con la t función g(t) 8t 10. Por tanto, como l cálculo d la tangnt s hac a través d la intrprtación gométrica d la drivada, y ésta rquir la istncia d la función n un ntorno dl punto n custión, nos itamos a trabajar con g, porqu f y g tinn la misma tangnt n t 1. Punto d tangncia: g(1) 6. Es: (1, 6). Pndint d la tangnt: g'(t) t/ + 8 g'(1) Ecuación d la tangnt: y 6 (t 1) y t y t +. IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d

4 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Obsrvación valuabl scrita nº 1 º Bach CCSS ) Calcular las asíntotas d f() ( puntos) 1 En primr lugar, su dominio s R { 1, 1}, porqu stos valors qu quitamos son los qu anulan l dnominador. Asíntotas vrticals: 1 la rcta 1 s asíntota vrtical la rcta 1 s asíntota vrtical. 1 0 Asíntotas horizontals: No tin a.horiz. 1 Asíntotas oblicuas: m 1 (1 ) n (1 ) Por tanto, la rcta y s asíntota oblicua. ) Calcular y simplificar las drivadas d las siguints funcions: ( puntos) a) y ( ) ( ) ( )( ( )) ( )[ ( ) ( )] y ' ( ) ( ) 6 8 ( ) ( ) b) g() ( 7 ) ² g'() 1 ² 6 ² ( 7 ) ² ( ) ² ( ) c) h() 1 + h'() ln() d) j() log( + 1) (log logaritmo n bas 10) IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d

5 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Obsrvación valuabl scrita nº 1 º Bach CCSS j '() 1 ln ) Dadas las matrics B y C, indicar qué dimnsions dbn tnr las matrics P y Q para qu san cuadradas cada una d las matri- 0 1 cs rsultants d las dos opracions siguints: a) (B + C)P. (0,8 puntos) Como dim(b) y dim(c) dim(b + C ). Por tanto, para podr fctuar l producto, P db tnr filas. Y para qu l rsultado sa una matriz cuadrada, columnas. Es dcir, dim(p). D sta manra, la matriz rsultant srá: dim[(b + C)P] : (B + C) P b) BQC t. (0,7 puntos) dim(b) y dim(c t ). Entoncs: B Q C t Lugo s pud fctuar l producto si dim(q), y l rsultado final srá tal qu: dim(bqc t ). IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d

6 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Obsrvación valuabl scrita nº º Bach CCSS NOMBRE: Instruccions: 1) Todos los folios dbn tnr l nombr y star numrados n la part suprior. ) Todas las rspustas dbn star justificadas y simplificadas. ) No s pud usar corrctor ni lápiz, y l bolígrafo db sr d tinta indlbl. S aconsja no usar borrador. ) S pud altrar l ordn d las rspustas, pro no s pud intrcalar la rspusta a una prgunta con las d otras. ) Dsatndr las instruccions pud pnalizars con hasta 1 punto o la anulación n caso d usar tinta corrgibl. 1) La función d costs d una fábrica, f (), n mils d uros, vin dada por la prsión: f () 6 00, dond s la cantidad fabricada dl producto, n mils d kilogramos ( 0). a) Dtrmin la cantidad a fabricar para minimizar l cost y calcul st cost mínimo. (0.8 puntos) b) A partir dl signo d f (7), qué s pud dcir dl cost para una producción d sit mil kilogramos? (0,8 puntos) c) Dibuj la gráfica d la función d costs. Para qué cantidad o cantidads fabricadas l cost s d 00000? (0,9 puntos) ) a) Calcul y simplifiqu las drivadas d: (1, puntos) f ( 1) ( ) ln( ) g() h() log( ) b) Dada la función f() + p + q, calcul los valors qu dbn tnr p y q para qu la gráfica d la función f pas por l punto (, ) y prsnt un máimo n l punto d abscisa 1. Dtrmin l valor d f() n s punto. (1 punto) 6 ) Dada la función h(), dtrmin, si istn, las cuacions d sus asíntotas. 1 (1, puntos) 1 1 si ) Sa la función f() a, con a > 0. a si a) Calcul l valor dl parámtro a para qu la función sa continua n su dominio. En s caso, sría drivabl n su dominio? (1, puntos) b) Para l valor a, studi la monotonía d la función y calcul sus trmos rlativos. (1, puntos) c) Para l valor a, rprsnt gráficamnt la función y hall la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función n l punto d abscisa 1. (1 pto)

7 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Obsrvación valuabl scrita nº º Bach CCSS SOLUCIONES 1) La función d costs d una fábrica, f (), n mils d uros, vin dada por la prsión: f () 6 00, dond s la cantidad fabricada dl producto, n mils d kilogramos ( 0). a) Dtrmin la cantidad a fabricar para minimizar l cost y calcul st cost mínimo. (0.8 puntos) S tin qu f' '() 6. Nos pidn l mínimo absoluto. Puntos candidatos 1) Etrmos dl intrvalo: 0; +. ) Discontinuidads d f: No tin (s polinómica). ) Discontinuidads d f ': No tin (s polinómica). ) f '() 0: (válida, pus stá n l dominio) Imágns o límits 1) f(0) 00. ) ( 6 00) + (los polinomios s van al infinito cuando tind a infinito, y s l sumando d mayor grado quin dcid l signo d dicho infinito). ) f(9) Por tanto, l mínimo absoluto s 8.000, qu s obtinn para kg. b) A partir dl signo d f '(7), qué s pud dcir dl cost para una producción d sit mil kilogramos? (0,8 puntos) Como f '(7) < 0 la función s dcrcint n 7. Podmos dducir, ntoncs qu: El cost va dcrcindo cuando la producción s sitúa n un ntorno d kg, lo qu significa qu aumntando la producción algo más, l cost sría mnor. c) Dibuj la gráfica d la función d costs. Para qué cantidad o cantidads fabricadas l cost s d 00000? (0,9 puntos) La gráfica (s adjunta) s una parábola conva (porqu l coficint d s positivo). S obtin así: 0 y 00: corta a OY n (0, 00). y No corta a OX. b 6 Ej: a 9 Vértic: f(9) 8 (9, 8). Otros puntos: (18, 00), (0, 00). Por otra part f() ( 18) 0 0 ó 18. Es dcir: El cost s d para una producción nula o d kg IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 1 d

8 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Obsrvación valuabl scrita nº º Bach CCSS ) a) Calcul y simplifiqu las drivadas d: (1, puntos) f ( 1) ( ) ln( ) g() h() log( ) f ( 1) ( ) f '() ( + ) + ( 1) ( + ) 9 ( + ) + 7 ( 1) ( + ) ( + ) [ ( + ) + 7 ( 1)] ( + ) ( ) ( + ) ( ) ln( ) g() ln( ) g '() ( ) 6 ln( ) 6 ln( ) 6 ( 1 ln( )) ln( ) ln( ) 1 ln( ) h() log( ) h '() 1 ln(10) 6 1 b) Dada la función f() + p + q, calcul los valors qu dbn tnr p y q para qu la gráfica d la función f pas por l punto (, ) y prsnt un máimo n l punto d abscisa 1. Dtrmin l valor d f() n s punto. (1 punto) Pasa por (, ) f ( ) ( ) + p( ) + q 16 p + q p + q 16 p + q 11 (1) Prsnta un máimo n 1: Para llo, bastará igir qu f '( 1) 0. Como f '() + p, lo antrior s traduc n qu ( 1) + p 0 + p 0 p. Y, n fcto, s un máimo, porqu f "() f "( 1) < 0. Hay qu comprobarlo, porqu podría no habr solución. Sustituyndo n (1): ( ) + q q 11 q Por tanto, p y q f() + f '( 1) ) Dada la función h(), dtrmin, si istn, las cuacions d sus asíntotas. (1, puntos) 1 Asíntotas vrticals. Pud habrlas n puntos d discontinuidad d h. Estos stán dond s anula l dnominador: /. Probamos: La rcta s asíntota vrtical Asíntotas horizontals. 1 no tin asíntotas horizontals.. Por tanto, IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d

9 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Obsrvación valuabl scrita nº º Bach CCSS Asíntotas oblicuas. m h( ) ( 1) 6 n [ h( ) ] ( 6) ( 1) 1 ( 1) Por tanto, la rcta y s asíntota oblicua. 1 1 si ) Sa la función f() a, con a > 0. a si a) Calcul l valor dl parámtro a para qu la función sa continua n su dominio. En s caso, sría drivabl n su dominio? (1, puntos) Continuidad En R {}: f s continua, por star dfinida mdiant funcions polinómicas. 1 a En : f() Admás: a a a 1 1 a f ( ) 1 +1 a a a f ( ) ( a) + a 6 Para sr continua n, único punto qu nos quda (ya hmos visto qu s continua n l rsto), stos valors dbn coincidir: a + a + a a + a 0 a a a a a a 0 a 1 ó a Para cualquira d stos valors, f s continua. Pro como, sgún l nunciado, a > 0, la única solución válida s a. Para st valor: f() 1 1 si si Drivada Aplicando las fórmulas d las tablas d drivación: 1 si f '() 1 si Como f s continua n, podría sr drivabl, d modo qu lo invstigamos: IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d

10 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Obsrvación valuabl scrita nº º Bach CCSS f '( ) 1; f '( + ) 1 Como no coincidn, f no s drivabl n, d modo qu, finalmnt: 1 si f '() 1 si b) Para l valor a, studi la monotonía d la función y calcul sus trmos rlativos. (1, puntos) Discontinuidads d f: No tin. Discontinuidads d f ': (la función f ' no tin imagn n dicho punto) f '() 0: o Si < : 0 0, válida, porqu stá n la zona <. o Si > : 1 0, imposibl para ningún. Por tanto: (, 0) 0 (0, ) (, + ) f ' 0 + / f dcrc mín crc Má y p.ang. dcrc En (0, 1) tin un mínimo rlativo. En (, ) tin un máimo rlativo, qu s punto anguloso, porqu f ' no ist n, aunqu f s continua n él. c) Para l valor a, rprsnt gráficamnt la función y hall la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función n l punto d abscisa 1. (1 pto) Tnmos l studio d continuidad y la monotonía d f. Admás, sabmos qu y 1 s una parábola conva y, como l mínimo lo tin n (0, 1), no corta a OX. S afina su gráfica con algún punto: (, ), (, ) y (, ). Por otra part, y + s una rcta dcrcint, qu pasa por (, 0) y (6, ). Por tanto, su gráfica s la adjunta. Calculmos la tangnt 1 Punto d tangncia: f( 1) 1 1,. Pndint d la tangnt: m f '( 1) 1/. 1 1 Rcta tangnt: y ( + 1) y y. IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d

11 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Rcupración º Bach CCSS NOMBRE: Instruccions: 1) Todos los folios dbn tnr l nombr y star numrados n la part suprior. ) Todas las rspustas dbn star justificadas y simplificadas. ) No s pud usar corrctor ni lápiz, y l bolígrafo db sr d tinta indlbl. S aconsja no usar borrador. ) S pud altrar l ordn d las rspustas, pro no s pud intrcalar la rspusta a una prgunta con las d otras. ) Dsatndr las instruccions pud pnalizars con hasta 1 punto o la anulación n caso d usar tinta corrgibl. 1) Sa la función: f() si a b 8 si a) Hallar a y b (no nulos) para qu la función sa drivabl. (1 punto) b) Para a b, studiar la monotonía d f y calcular las coordnadas d sus trmos rlativos. (1 punto) c) Para a b calcular la rcta tangnt n 0. (0, ptos) ) Calcular y simplificar las drivadas d las siguints funcions: (1, puntos) 1 a) f ( ). g ( ) ln. b) c) h. d) La gráfica d la función drivada d una función f s la parábola d vértic (0, ) qu corta al j d abscisas n los puntos (, 0) y (, 0). A partir d dicha gráfica, dtrmin los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función f, y las abscisas d sus trmos rlativos. (1, ptos) ) a) Hallar las asíntotas d f ( ) (1, puntos) b) Hall los valors d a y b para qu la gráfica d la función f ( ) a b pas por l punto (1, ) y tnga l punto d inflión n 1. (1, puntos) ) Los bnficios d una mprsa n sus primros años vinn dados, n millons d uros, por la función: t B(t) t 9t, 0 t Calcular su bnficio máimo, a cuánto ascind y n qué año s produc. (1, ptos)

12 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Rcupración º Bach CCSS SOLUCIONES 1) Sa la función: f() si a b 8 si a) Hallar a y b (no nulos) para qu la función sa drivabl. (1 punto) Para qu sa drivabl, db sr continua. Eigirmos sto, pus: En (, ): f s continua, por star dfinida por una función polinómica. En (, + ): f s continua, por la misma razón. En : 1) f() 8 16 ; ) f ( ) a 16 8 ; a a f ( ) ( b 8) b 8. Para sr continua, stos rsultados dbn coincidir: 16 8 b 8 (1) a Lugo f srá continua si ocurr (1). Procdmos a drivar: si f '() a b si lo qu s obtin dirctamnt aplicando las rglas d drivación. En l punto podría sr drivabl, porqu s continua si igimos la condición (1). Para llo, dbn coincidir las drivadas latrals: f '( 8 ) f '( + ) b a Srá drivabl si igimos: a 8 b () Con (1) y () formamos un sistma d cuacions qu procdmos a rsolvr: 16 16a (1) 16 b b a a 16a 16 a a Igualando con (): 8 16a 16 a 8 16a 16 (a 8) 16a 16 a a a a 8a 16a a 8a 16 8a a Sustituyndo n (): b + 6 La solución s a, b 6. b) Para a b, studiar la monotonía d f y calcular las coordnadas d sus trmos rlativos. (1 punto) Tnmos: f() si 8 si IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 1 d

13 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Rcupración º Bach CCSS Esta función s continua si, por star dfinida mdiant funcions polinómicas. Y si : 1) f () 8 8 0; ) 0; ( 8) 0 Por lo qu también s continua (coincidn los rsultados). La drivada srá: si f '() si A falta d vr qué sucd n : f '( ) ; f '( + ) No s drivabl n, por lo qu la prsión final d f ' s la antrior. Estudimos la monotonía: Discontinuidads d f: No tin. Discontinuidads d f ': (f ' no tin imagn). f '() 0: Si <, 0. Si >, 0, qu no s posibl. (, ) (, ) (, + ) f ' + 0 / + f crc Má dcrc Mín y p.a. crc Como f() y f() 0: Es crcint n (, ) y n (, + ) *. Es dcrcint n (, ). En (, ) tin un máimo rlativo y n (, 0) un mínimo rlativo y punto anguloso. * Es incorrcto dcir qu s crcint n (, ) (, + ), porqu NO s cirto, dado qu incumpl la dfinición d función monótona crcint. c) Para a b calcular la rcta tangnt n 0. (0, ptos) Punto d tangncia: f(0) 0 (0, 0). Pndint d la tangnt: m f '(0). Rcta tangnt: y 0 ( 0) y. ) Calcular y simplificar las drivadas d las siguints funcions: (1, puntos) 1 a) f ( ). (1 ) 1 f '() ( ) 1( ) 1 1( ) b) ( ) ln g. g '() ln( + ) + ( + ) ln( + ) + [1 + ln( + )] c) h. h'() ln + d) La gráfica d la función drivada d una función f s la parábola d vértic (0, ) qu corta al j d abscisas n los puntos (, 0) y (, 0). A partir d dicha IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d

14 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Rcupración º Bach CCSS gráfica, dtrmin los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función f, y las abscisas d sus trmos rlativos. (1, ptos) Esbozamos la gráfica d f, y la adjuntamos. Como f '() s una función polinómica, f() también lo s. Por llo, ni f ni f ' tinn discontinuidads. Por otra part, los dos corts d f ' con OX nos los dan, y no hay más corts, porqu s trata d una parábola. Y los signos d f ' los obtnmos dsd su gráfica. Con todo llo, podmos procdr a studiar la monotonía d f. Discontinuidads d f ó f ': No hay. f '() 0: ó. (, ) (, ) (, + ) f ' f dcrc Mín crc Má dcrc Es crcint n (, ). Es dcrcint n (, ) y n (, + ). Tin un mínimo rlativo o local n Tin un máimo rlativo o local n. Como ya advrtimos ants, s incorrcto dcir qu s dcrcint n (, ) (, + ). ) a) Hallar las asíntotas d f ( ) (1, puntos) Asíntotas vrticals: Pud tnrla n los puntos d discontinuidad. Como 0, ést s l único valor dond pud tnr. 1 0 Por tanto, la rcta s asíntota vrtical. Asíntotas horizontals:. D llo dducimos qu no tin asíntota horizontal. f ( ) Asíntota oblicua: m 1 n [ f ( ) m] ( ) Por tanto, la rcta y + s asíntota oblicua. IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d

15 IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Rcupración º Bach CCSS b) Hall los valors d a y b para qu la gráfica d la función f() f ( ) a b pas por l punto (1, ) y tnga l punto d inflión n 1. (1, puntos) Pasa por (1, ) a + + b a + b 1 (1) Tin un punto d inflión n 1. Para qu ocurra, nos bastará qu igir qu f "( 1) 0 y qu f "'( 1) 0. Como f '() a + 6 f "() 6a + 6 f "'() 6a. Lugo f "( 1) 0 6a a 1. Y con llo, f "'( 1) , por lo qu, n fcto, s un punto d inflión. Sustituyndo n (1): 1 + b 1 b. Por tanto, la solución s a 1, b, y la función s f() +. ) Los bnficios d una mprsa n sus primros años vinn dados, n millons d uros, por la función: t B(t) t 9t, 0 t Calcular su bnficio máimo, a cuánto ascind y n qué año s produc. (1, ptos) Puntos a studiar: Etrmos dl dominio: 0;. Discontinuidads d B : No tin. Discontinuidads d B ': No tin. B '(t) 0: t 6t 9 0 t t t 8t t (no válida) Imágns o límits: B(0) 0 1 B() 9. B() Por tanto, l bnficio máimo s d 8 millons d uros y s produc n l º año. IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d