BLOQUE II: CALCULO DE PROBABILIDADES

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1 LOQUE II: CALCULO DE PROAILIDADES TEMA 4. FUNDAMENTOS DE LA PROAILIDAD. Cocepto de probabldad. Defcó aomátca Epermeto aleatoro: u epermeto se dce aleatoro s o se puede predecr el resultado del msmo ates de realzarlo, auque sea coocdas las codcoes cales de realzacó Ejemplos. Lazameto de u dado, eleccó al azar de u úmero real detro del tervalo [,], lazameto de ua moeda hasta que aparezca dos caras,... Teoría de la probabldad: se ocupa de descrbr y estudar los feómeos aleatoros proporcoado métodos de aálss para su tratameto Espaco muestral: cojuto de todos los posbles resultados asocados a u epermeto aleatoro, se deota por E Atededo al úmero de posbles resultados del epermeto, los espacos muestrales se puede clasfcar e Espacos muestrales ftos Espacos muestrales ftos umerables Espacos muestrales ftos o umerables Ejemplo. Costrur el espaco muestral asocado a los sguetes epermetos aleatoros: a) Lazameto de u dado compuesto por 6 lados E={,, 3, 4, 5, 6} b) Lazameto de ua moeda hasta obteer ua cara E={C, XC, XXC, XXXC,...} c) La eleccó al azar de u úmero real perteecete al tervalo [,] E=[,]

2 Suceso: cojuto formado por resultados del epermeto aleatoro Sucesos elemetales: cada uo de los resultados posbles del epermeto aleatoro que o se puede descompoer e otros más smples que pueda obteerse al realzar el epermeto aleatoro Suceso seguro: suceso que sempre ocurre. Está formado por todos los sucesos elemetales Suceso mposble: suceso que o ocurre uca, deotado por Operacoes co sucesos: Sea A y, sucesos asocados a u epermeto aleatoro Uó de sucesos, A: suceso formado por todos los posbles resultados de A y de, s repetr los resultados comues Iterseccó de sucesos, A: suceso formado por todos los resultados comues de A y de Propedades: Comutatva A = A A = A Asocatva A(C) = (A)C A(C) = (A)C Dstrbutva A(C) = (A)(AC) A(C) = (A)(AC) Esteca de elemeto eutro A = A AE = A

3 Complemetaro de u suceso A co respecto al espaco muestral E, : suceso que cotee todos los resultados de E que o se ecuetra e A, verfcádose que A = E A = Ø Leyes de Morga A A A A Dfereca de dos sucesos, A-: suceso formado por los resultados de A que o está e y se obtee como A A Ejemplo. Sea A, y C tres sucesos cualesquera. Epresar formalmete los sguetes sucesos: a) Ocurre A y, pero o ocurre C b) Ocurre al meos dos. c) Ocurre solamete uo de los tres d) Ocurre al meos uo de los tres e) No ocurre guo de los tres Solucó a) A C b) (A ) (A C) ( C) c) (A C) (A C) (A C) d) A C e) A C -álgebra de sucesos: Sea u epermeto aleatoro y su espaco muestral asocado E. Ua -álgebra de sucesos es ua clase A formada por subcojutos de E que verfca las propedades. E A. S A A, =,,... A A 3. S A A AA A (E, A) se le deoma espaco probablzable 3

4 Fucó de probabldad: Sea (E, A) u espaco probablzable, se dce que ua aplcacó P: (E, A) A A P(A) es ua fucó de probabldad s verfca los sguetes aomas (aomas de Kolmogorov):. P(E) =. P(A), AA 3. A A, =,,..., tales que A A j =, para j P A P(A ) A la tera (E, A, P( )) se le deoma espaco de probabldad y al úmero P(A), para cada suceso A, probabldad de A Cosecuecas de los aomas. P() =. Sea A,..., A A tales que A A j =, para j P A P(A 3. P() = P(A), AA 4. P() = P() + P(A), A, A 5. Sea A, A tales que A P(A) P() 6. Sea A, A P(A) = P(A) + P() P(A) ) 7. Sea A,, C A P(AC) = P(A) + P() +P(C) P(A) P(AC) P(C) + P(AC) 8. Sea A, A P(A) P(A) + P() 4

5 9. Sea A,..., A A, sucesos que forma ua partcó del espaco muestral,.e., A A j =, para j (sucesos compatbles dos a dos) A E (la uó de todos los sucesos es el suceso seguro) P(A ) AA, P(A) P(A A ) Ejemplo. Sea A, y C tres sucesos de u espaco probablístco (E, A, P( )) tales que P(A)=., P()=.4, P(C)=.3, P(A)=. y (A) C=. Calcular las probabldades de los sguetes sucesos: Solucó a) Sólo ocurre A b) Los tres sucesos ocurre c) Ocurre A y, pero o C d) Por lo meos dos ocurre e) Ocurre dos y o más f) No ocurre más de dos g) Ocurre por lo meos uo h) No ocurre guo Como (A) C= (AC)(C)= (AC)= y (C)= a) P(A C) P(A ( C)) P(A) P(A ( C)) P(A) P((A ) (A C)) P(A) P(A ) P(A C) P(A C)... b) P(AC)=P()= b) P(A C) P(A ) P(A C).. d) P((A ) (A C) ( C)) P(A ) P(A C) P( C) - P(A C) - P(A C) - P(A C) P(A C). e) P((A C) (A C) (A C)) P(A C) P(A C) P(A C) P(A ) - P(A C).-. 5

6 f) P( A C) P(A C) g) P(A C) P(A) P() P(C) - P(A ) - P(A C) - P( C) P(A C) h) P( A C) P(A C) P(A C).8. Regla de Laplace. S el cojuto de sucesos elemetales es fto y todos los sucesos elemetales so equprobables, etoces la probabldad de u suceso A se calcula como P(A) k casos favorables casos posbles dode k es el úmero de sucesos elemetales que favorece la ocurreca de A y es el úmero total de sucesos elemetales Ejemplo. Ua ura cotee 3 bolas blacas, egras y 6 rojas. a) Cuál es la probabldad de que ua bola etraída al azar sea roja? b) Y que o sea egra? Solucó 6 a) P(R) b) P( N).88. Probabldad codcoada. Idepedeca de sucesos E certas ocasoes es ecesaro ecotrar la probabldad de sucesos bajo la codcó de que u certo suceso, co P() >, ha ocurrdo Ejemplo. Cosderemos el epermeto aleatoro de lazar dos moedas. El espaco muestral asocado a dcho epermeto vedrá dado por Y sea los sucesos E={CC, CX, XC, XX} A: obteer dos cruces : obteer al meos ua cruz 6

7 Etoces P(A) = /4 y P()=3/4. S se sabe que ha ocurrdo etoces el espaco muestral queda reducdo a E este caso, P(A )=/3 E ={CX, XC, XX} Se defe la probabldad codcoada de u suceso A al suceso como P(A ) P(A ), P() > P() que es la probabldad de que ocurra el suceso A supuesto que el suceso ha ocurrdo. Se puede comprobar que la aplcacó P( ): (E, A) A A P(A ) es ua fucó de probabldad y, por tato, (E, A, P( )) es u espaco de probabldad Ejemplo. E el ejemplo ateror, la probabldad P(A ) se calcula como P(A ) P(A ) P() Ejemplo. Ua bolsa cotee dos tarjetas: la prmera tee dos caras rojas y la seguda ua cara roja y la otra blaca. Se etrae ua tarjeta al azar y se coloca sobre ua mesa s que se vea la otra cara. Sabedo que la cara vsble es roja, cuál es la probabldad de que la otra sea blaca? Solucó. Sea los sucesos R: la cara superor es roja y : la cara feror es blaca. Se pde la probabldad P( R) P(R/)P() 4 P(/R) P(R) P(R)

8 Idepedeca de sucesos. Sea A y sucesos cualesquera, se dce que A y so estadístcamete depedetes s se verfca que O, equvaletemete, P(A ) = P(A) P( A)=P() O sea, la ocurreca del suceso o tee gú efecto e la ocurreca del suceso A y la ocurreca del suceso A o tee flueca sobre la ocurreca del suceso Cosecuecas: A y so depedetes P(A ) = P(A) P() S A y so depedetes, etoces a) b) c) A y so depedetes A y so depede tes A y so depedetes Ejemplo. E ua batalla aval, tres destructores localza smultáeamete a u submaro. Sea P(A), P() y P(C), respectvamete, las probabldades de que el prmer, el segudo y el tercer destructor huda al submaro. Se pde determar la probabldad de que el submaro sea huddo, sabedo que P(A)=.6, P()=.3 y P(C)=.. Solucó. Supogamos que el hecho de hudr el submaro cada uo de los destructores es depedete s le mpacta o o el proyectl lazado por los otros destructores. Etoces, P(sea huddo) = - P(o sea huddo) = - P(guo de los tres mpacta) = P(A C) - P(A) P() P(C)

9 3. Teorema de la Probabldad Total. Teorema de ayes Se dce que los sucesos A,..., A A forma ua partcó del espaco muestral s so sucesos compatbles y ehaustvos,.e., A A j =, para j, y A E Teorema de la Probabldad Total Sea A,..., A A, sucesos que forma ua partcó del espaco muestral y sea A u suceso cualquera. Supogamos que se cooce las probabldades P(A ) y P( A ), para =,...,, etoces P() P( A )P(A Ejemplo. Se está epermetado co 3 tpos de semllas de trgo, A y C. Se sembró ua parcela e la que germaro u 6% de platas del tpo A, u 35% del tpo y u 5% del tpo C. La probabldad de que la espga tega más de 5 graos de trgo es gual a. para el tpo A, a.9 para el tpo y a.45 para el tpo C. Se elge ua espga al azar, cuál es la probabldad de que tega más de 5 graos? Solucó. Sea los sucesos A: semlla del tpo A : semlla del tpo C: semlla del tpo C y el suceso M: teer más de 5 graos Co la formacó que se proporcoa se sabe que ) P(A)=.6 P()=.35 P(C)=.5 P(M A)=. P(M )=.9 P(M C)=.45 y que los sucesos A, y C forma ua partcó Se pde la probabldad P(M), que se calcula utlzado el Teorema de la Probabldad Total P(M) = P(M A)P(A) + P(M )P() + P(M C)P(C) = =

10 Teorema de ayes Sea A,..., A A, sucesos que forma ua partcó del espaco muestral y sea A u suceso cualquera. Supogamos que se cooce las probabldades P(A ) y P( A ), para =,...,, etoces P(A ) P( A )P(A ), para =,..., P( A )P(A ) j j Ejemplo. Supógase que e u cetro médco, de todos los fumadores de quees se sospecha que teía cácer de pulmó, el 9% lo teía, metras que úcamete el 5% de los o fumadores lo padecía. S la proporcó de fumadores es de.45. Se pde: a) Cuál es la probabldad de u pacete, seleccoado al azar padezca cácer de pulmó? b) Cuál es la probabldad de u pacete co cácer pulmoar, seleccoado al azar, sea fumador? Solucó. Sea los sucesos F: ser fumador F : ser o fumador C: padecer cácer de pulmó C : o padecer cácer de pulmó Por los datos que se proporcoa se sabe que P(F)=.45 y P( F) P(C F)=.9 y P(C F).5 a) Aplcado drectamete el Teorema de la Probabldad Total se tee que P(C) P(C F)P(F) P(C F)P(F) j b) Aplcado ahora el Teorema de ayes se tee que P(F C) P(F C) P(C) P(C F)P(F) P(C F)P(F) P(C F)P(F)

11 TEMA 5. VARIALE ALEATORIA. Cocepto de varable aleatora Sea (E, A, P( )) u espaco de probabldad. Ua fucó X: E se deoma varable aleatora (v.a.) s la mage versa medate X de cualquer tervalo de la forma (-,] es u suceso del espaco de probabldad X - ((-,])={ee: X(e) }A, Ejemplo. Sea el epermeto aleatoro de lazar tres moedas Cosderemos el espaco muestral asocado a este epermeto E={XXX,XXC,XCX,CXX,XCC,CXC,CCX,CCC} y la clase de cojutos A =(E), que dota a E de estructura de -álgebra Sea X la fucó defda sobre el espaco muestral que asga a cada resultado de E el úmero de caras obtedas e los tres lazametos X(XXX)= X(XXC)=X(XCX)=X(CXX)= X(XCC)=X(CXC)=X(CCX)= X(CCC)=3 Comprobemos a cotuacó que X es ua v.a. Para ello hay que comprobar que X - ((-,])={ee: X(e) }A,

12 S < S < S < S < 3 S 3 X - ((-,])=A X - ((-,])={XXX} A X - ((-,])={XXX,XXC,XCX,CXX} A X - ((-,])={XXX,XXC,XCX,CXX,XCC,CXC,CCX} A X - ((-,])=EA Por tato, X es ua v.a.. Fucó de dstrbucó. Propedades Se defe la fucó de dstrbucó de ua v.a. X como ua fucó F: [,] defda como F()=P[X ]=P[eE: X(e) ], Propedades de la fucó de dstrbucó:. lm F() lm F(). F() es ua fucó o decrecete 3. F() es cotua a la derecha Las propedades aterores caracterza a toda fucó de dstrbucó de ua v.a.

13 Ejemplo. Para el ejemplo ateror, se tee que P[X=]=P[XXX]=/8 P[X=]=P[XXC,XCX,CXX]=3/8 P[X=]=P[XCC,CXC,CCX]=3/8 P[X=3]=P[CCC]=/8 y la fucó de dstrbucó vedrá determada por F() s s s s 3 s 3 3. Tpos de varables aleatoras: varable aleatora dscreta y varable aleatora cotua Varables aleatoras dscretas: Ua v.a. es dscreta s su fucó de dstrbucó F() es ua fucó escaloada, cotua salvo a lo sumo e u úmero fto umerable de putos,,..., e los que se preseta ua dscotudad de salto. Estas dscotudades proporcoa la probabldad de cada puto p =P[X= ], =,,... e los restates putos las probabldades vale cero. Para este tpo de varables aleatoras la fucó de dstrbucó se puede epresar de la forma F() P X! p 3

14 F( 5 ) F( 4 ) F( 3 ) F( ) F( ) Al cojuto de pares (,p ) se le deoma dstrbucó de probabldad y a la fucó que toma los valores p e los putos fucó masa de probabldad o, smplemete, fucó de probabldad p 5 p p p 3 p

15 Ejemplo. Cosderemos el epermeto aleatoro de lazar dos dados dstgubles y defamos la v.a. X como la suma de los valores de las dos caras de los dados. Obteer la fucó de probabldad de la v.a. X, así como su fucó de dstrbucó. Solucó. El espaco muestral asocado a ese epermeto aleatoro está determado por E={(,),(,),(,3),(,4),(,5),(,6), (,),(,),(,3),(,4),(,5),(,6), (3,),(3,),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,),(4,),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,),(5,),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,),(6,),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} Valores que toma la varable X:, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, Fucó de probabldad: P[X=]=P[(,)]=/36 P[X=3]=P[(,),(,)]=/36 P[X=4]=P[(,3),(3,),(,)]=3/36 P[X=5]=P[(,4),(4,),(,3),(3,)]=4/36 P[X=6]=P[(,5),(5,),(,4),(4,),(3,3)]=5/36 P[X=7]=P[(,6),(6,),(,5),(5,),(3,4),(4,3)]=6/36 P[X=8]=P[(,6),(6,),(3,5),(5,3),(4,4)]=5/36 P[X=9]=P[(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)]=4/36 P[X=]=P[(4,6),(6,4),(5,5)]=3/36 P[X=]=P[(5,6),(6,5)]=/36 P[X=]=P[(6,6)]=/36 5

16 6 Fucó de dstrbucó: s s 35/36 s 33/36 9 s 3/ s 6/ s / s 5/ s / s 6/ s 3/36 3 s /36 s F()

17 Varables aleatoras cotuas: Ua v.a. es cotua s este ua fucó o egatva f() tal que para cualquer se verfca que F() " f(t)dt A la fucó f() se le deoma fucó de desdad F() " f(t)dt f() X= Propedades que caracterza a la fucó de desdad:. f(),. " f()d Ejemplo. Sea X la v.a. que represeta el tervalo de tempo etre dos llegadas cosecutvas de cletes a ua teda, co fucó de desdad f() e s # e otro caso a) Demostrar que, efectvamete, f() es fucó de desdad b) Obteer la fucó de dstrbucó de la v.a. X c) Calcular las probabldades P X 6! y P X 8! 7

18 Solucó a) Para que f() sea fucó de desdad debe verfcarse las sguetes codcoes:. f(),. " f()d Obvamete, la prmera codcó se verfca puesto que f() vale cero e el tervalo (-,] y ua catdad postva e el tervalo (,+ ) Para comprobar s se cumple la seguda codcó se debe calcular la tegral de la fucó de desdad " f() d d " " e - ) d '- e ( - & $ % b) La fucó de dstrbucó se defe como F() " f(t)dt Para calcularla vamos a dstgur dos casos s (-,] y s (,+ ) S (-,] F() " f(t)dt " dt t t S (,+ ) F() ) & f(t)dt dt " " e dt '- e $ e " ( % Por tato, la fucó de dstrbucó vedrá dada por F() e s s # c) Para calcular esas probabldades vamos a utlzar la fucó de dstrbucó 6! P X = F(6) - F() = (-e -3 ) - (-e - ) =.38 P X = F(8) = -e -4 =.987 8! 8

19 4. Característcas de ua varable aleatora Esperaza matemátca de ua fucó de ua v.a.: Sea g(x) ua fucó real de ua v.a. X defda para todo los valores de X. Se defe la esperaza matemátca de g(x), E[g(X)], como S X es ua v.a. dscreta co dstrbucó de probabldad {(,p ), =,, } E g(x)! g( )p sempre que g( ) p S X es ua v.a. cotua co fucó de desdad f() E g(x)! g()f() d " sempre que " g() f()d Caso partcular: Valor esperado o meda de ua v.a., E[X] S X es ua v.a. dscreta co dstrbucó de probabldad {(,p ), =,, } E X! p, sempre que p S X es ua v.a. cotua co fucó de desdad f() Mometos de ua v.a. E X! f() d, sempre que f()d " Se defe el mometo o cetral de orde r de ua v.a. X como * r = E[X r ] " 9

20 Se defe el mometo cetral de orde r de ua v.a. X como + r = E[(X-E[X]) r ] Caso partcular: Varaza de ua v.a., Var[X] Al mometo cetral de orde se le cooce co el ombre de varaza Var[X] = + = E[(X-E[X]) ] Descomposcó de la varaza de X como combacó leal de los mometos o cetrales de órdees y : Var[X] = E[X ] - (E[X]) A la raíz cuadrada postva de este mometo se le cooce co el ombre de desvacó típca. Tato la varaza como la desvacó típca so meddas de dspersó y mde la represetatvdad de la esperaza de la v.a. 5. Varables aleatoras bdmesoales E esta seccó os cetramos e las varables aleatoras bdmesoales. La etesó de las defcoes que se troducrá a ua dmesó superor a dos es medata Sea (E, A, P( )) u espaco de probabldad. Ua fucó (X,Y): E se deoma varable aleatora bdmesoal s se verfca que X - ((-,])Y - ((-,y])={ee: X(e), Y(e) y }A, (,y) Dada (X,Y) ua v.a. bdmesoal, se defe la fucó de dstrbucó cojuta de (X,Y) como ua fucó defda como F:[,] F(,y) = P[X,Y y] = P[eE: X(e), Y(e) y], (,y)

21 Varables aleatoras bdmesoales dscretas: X e Y so vv.aa. dscretas Fucó de dstrbucó: F(,y) = P[X,Y y] = P X, Y y! (,y) y jy Varables aleatoras bdmesoales cotuas: X e Y so vv.aa. cotuas Fucó de dstrbucó: j F(,y) = P[X,Y y] = ". " y f(r, s) ds dr (,y) Dstrbucoes margales: Dstrbucoes de las vv.aa. X e Y como vv.aa. udmesoales Fucó de dstrbucó margal de X: F X () = P[X,Y] = P[X,Y<+ ], Fucó de dstrbucó margal de Y: F Y (y) = P[X,Y y] = P[X<+,Y y], y Caso dscreto F () X F (y) Y y jr R y jy Caso cotuo P X P X, Y y, Y y j j!! F F X Y () (y) " ". " " ỵ f(r, y) dy dr f(, s) d ds Dstrbucoes codcoadas: Dstrbucoes de ua varable cuado la otra varable toma u valor o u cojuto de valores

22 Característcas de varables aleatoras bdmesoales Mometos Se defe el mometo o cetral de órdees r y s de ua v.a. bdmesoal (X,Y) como * rs = E[X r Y s ] Se defe el mometo cetral de órdees r y s de ua v.a. bdmesoal (X,Y) como + rs = E[(X-E[X]) r (Y-E[Y]) s ] Caso partcular: Covaraza, Cov[X,Y] Al mometo cetral de órdees y se le cooce co el ombre de covaraza Cov[X,Y] = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] está relacoada co los mometos o cetrados de acuerdo a la epresó Cov[X,Y] = E[XY] - E[X] E[Y] La covaraza es ua medda de la varabldad cojuta de X e Y Idepedeca de varables aleatoras: X e Y so vv.aa. depedetes s parra cualquer (,y) se verfca que P[X,Y y] = P[X ] P[Y y], epresado e térmos de fucoes de dstrbucó, F(,y) = F X () F Y (y) S X e Y so depedetes etoces Co[X,Y] =, pero el recíproco o es certo

23 TEMA 6. ALGUNAS DISTRIUCIONES DISCRETAS DE PROAILIDAD. Dstrbucó uforme dscreta Ua v.a. dscreta X se dce que tee ua dstrbucó uforme e putos,,...,, s su fucó masa de probabldad vee dada por P X!, para,...,.e., todos los valores de la v.a. tee la msma probabldad. Dstrbucó de eroull. Dstrbucó bomal Dstrbucó de eroull. Supogamos que se realza u epermeto aleatoro y que observamos s ocurre u determado suceso A (e cuyo caso se dce que ha habdo u éto e el epermeto aleatoro). Sea p la probabldad de que ocurra el suceso A, p=p(a), y -p la probabldad de que o ocurra A, -p=p() Cosderemos la v.a. defda de la sguete forma X s o ocurre A s ocurre A dode P[X=]=P()=-p y P[X=]=P(A)=p Se dce que la v.a. X tee ua dstrbucó de eroull de parámetro p y se deota por X (p) Propedades:. Fucó de dstrbucó: F() - p s s s 3

24 F() -p. E[X]=p Var[X]=p(-p) 3. Fucó geeratrz de mometos: M X (t) = p e t + (-p) t Dstrbucó bomal. Supogamos que se realza u epermeto aleatoro veces cosecutvas (obteédose realzacoes depedetes del epermeto aleatoro) y que observamos el úmero de veces que ocurre u determado suceso A. Sea p la probabldad de que ocurra el suceso A, p=p(a), y -p la probabldad de que o ocurra A, -p=p() Cosderemos la v.a. X defda como el úmero de veces que ocurre el suceso A e las realzacoes depedetes del epermeto aleatoro. La v.a. X toma los valores,,,..., y la fucó de probabldad vee dada por P X! p ( p) para =,,,..., dode!!( )! Se dce que la v.a. tee ua dstrbucó bomal de parámetros y p y se deota por X (,p) 4

25 Propedades:. Fucó de dstrbucó: F() ( p) s s s #. E[X]=p Var[X]=p(-p) 3. Fucó geeratrz de mometos: M X (t) = (p e t + (-p)) t 4. S X (,p) Y=-X (,-p) 5. S X, X,..., X so vv.aa. depedetes, co X (,p), =,...,, etoces X, p Ejemplo. Tres persoas laza al are ua moeda cada ua. Sea X el úmero de persoas que obtee ua cara e el lazameto de la moeda. Determar a) La dstrbucó de probabldad de la v.a. X b) Valor esperado y varaza de X Solucó. La v.a. X tee ua dstrbucó bomal de parámetros =3 y p=.5, Etoces, a) Fucó de probabldad: X(=3,p=.5) 3 3 P[X=] =.5 (.5) = P[X=] =.5 (.5) =.375 5

26 3 3 P[X=] =.5 (.5) = P[X=3] =.5 (.5) 3 =.5 b) Valor esperado: E[X] = p = 3.5 =.5 Varaza: Var[X] = p (-p) = 3.5 (-.5) = Dstrbucó de Posso Se dce que ua v.a. tee dstrbucó de Posso de parámetro, (co, > ), se deota por X P(,), s su fucó masa de probabldad vee dada por Propedades:. E[X]=, Var[X]=, k P X k! e, para k =,,,... k!. S X, X,..., X so vv.aa. depedetes, co X P(, ), =,...,, etoces X P 3. Fucó geeratrz de mometos:, (e ) M X (t) e t t 4. Dstrbucó de Posso como límte de la dstrbucó bomal S X(,p), etoces cuado p y P[ ] p ( p) e! sedo,= p 6

27 Ejemplo. S el úmero de llamadas telefócas a ua cetralta sgue ua dstrbucó de Posso de meda 3 llamadas cada 5 mutos, se pde calcular las probabldades de los sguetes sucesos: Solucó a) Ses llamadas e 5 mutos b) Tres e mutos c) Más de 5 e u cuarto de hora d) Dos e u muto a) Sea X la v.a. defda como el úmero de llamadas recbdas e 5 mutos, etoces X P(3) Se pde P[X=6] = e =.54 6! b) Sea Y la v.a. defda como el úmero de llamadas recbdas e mutos, etoces Y P(6) Se pde P[Y=3] = e =.89 3! c) Sea Z la v.a. defda como el úmero de llamadas recbdas e 5mutos, etoces Z P(9) Se pde P[Z>5] = P Z! e 6 6! e =! = =. d) Sea T la v.a. defda como el úmero de llamadas recbdas e muto, etoces T P(3/5=.6).6..6 Se pde P[T=] = e =.988! 7

28 TEMA 7. ALGUNAS DISTRIUCIONES CONTINUAS DE PROAILIDAD. Dstrbucó uforme Se dce que ua v.a. X tee dstrbucó uforme detro del tervalo (a,b), se deota por X U(a,b), s su fucó de desdad vee dada por Propedades: f() b a s a b e otrocaso. Fucó de dstrbucó: f() - a b - a s a s a b s # b a b. E X! Var X! (b - a). Dstrbucó epoecal Se dce que ua v.a. X tee dstrbucó epoecal co parámetro, se deota por X ep(), s su fucó de desdad vee dada por e f() s e otro caso 8

29 Propedades:. Fucó de dstrbucó: F() - e - s s. E X! - Var X! - Represetacó gráfca de la fucó de desdad de ua dstrbucó epoecal co parámetro =4 3. Dstrbucó ormal Se dce que ua v.a. X tee dstrbucó ormal co parámetros + y, se deota por X N(+, ), s su fucó de desdad vee dada por f() e, para - Represetacó gráfca de la fucó de desdad de la dstrbucó N(,) 9

30 Propedades:. La represetacó gráfca de la fucó de desdad de ua v.a. N(+, ) es smétrca respecto al eje vertcal =+ y alcaza su mámo e =+. S X N(+, ) etoces E[X]=+ Var[X]= 3. S X N(+, (X - ) ) etoces la varable tpfcada Z. N(,) 4. S X, X,..., X so vv.aa. depedetes, co X N(+, ), =,...,, etoces X N, 5. Apromacó de la dstrbucó bomal por la dstrbucó ormal S X(,p), co fucó de probabldad P[ ] etoces la dstrbucó de la v.a. Z p ( p) X p p( p) se aproma a la dstrbucó de ua N(,), cuado 3

31 Cálculo de probabldades. Los valores de la fucó de dstrbucó de la ormal Z N(,) se ecuetra tabulados, sedo posble a partr de dchos valores el cálculo de probabldades para cualquer v.a. X N(+, ) P a X b! ) a X b P' ( & ) a b $ P' Z % ( & $ % ) b P' Z ( & ) a $ P' Z % ( & b $ % a dode / represeta la fucó de dstrbucó de la ormal tpfcada Ejemplo. E ua determada regó española la estatura de los varoes, e metros, se dstrbuye segú ua dstrbucó ormal de meda +=.68 y desvacó típca =.. Se pde: a) Obteer la probabldad de que la estatura de los varoes esté compredda etre.6 y.75m. b) Y de que sea feror a.m.? c) Y superor a.5m.? Solucó. Sea X la v.a. que represeta la estatura, X N(+=.68, =. ), X etoces la v.a. tpfcada Z tee dstrbucó N(,) a) P.6 X.75! ).6 X.75 P' ( & $ % ) & P' Z.. $ ( % P.4 Z.35 b) P X. ) X. & )..68& ' $ '. $ ( % ( % Z c) P X #.5! P Z.35! P Z.4!.6554 (.6368).9! P P Z P.4! ) X.5 ' ( & $ % ).5.68& '. $ ( %! P # P Z # P Z #.85! P Z.85!

32 4. Dstrbucoes asocadas a la dstrbucó ormal Dstrbucó de Pearso. Sea Z, Z,..., Z vv.aa. depedetes e détcamete dstrbudas, co dstrbucó N(,) y cosderemos la v.a. defda como Z La dstrbucó de esa v.a. se deoma dstrbucó de Pearso co grados de lbertad y se deota por Z Dstrbucó t de Studet. Sea Y y Z vv.aa. depedetes tales que Z Y y Z N(,) y cosderemos la v.a. T Y/ La dstrbucó de esa v.a. se deoma dstrbucó t de Studet co grados de lbertad y se deota por T t Dstrbucó F de Sedecor. Sea X e Y vv.aa. depedetes tales que X e m Y y cosderemos la v.a. X/m F Y/ La dstrbucó de esa v.a. se deoma dstrbucó F de Sedecor co m y grados de lbertad y se deota por F F m, S F F m,, etoces F F, m 3