LA SORPRENDENTE SUCESIÓN DE FIBONACCI

Transcripción

1 La sorpredete sucesió de Fiboacci LA SORPRENDENTE SUCESIÓN DE FIBONACCI La sorpredete sucesió de Fiboacci debe su ombre a Leoardo de Pisa ( ), más coocido por Fiboacci (hijo de Boaccio). A pesar de ser u matemático brillate co ua importate obra e su haber, es coocido pricipalmete por ua cuestió aparetemete trivial, ua sucesió de úmeros eteros e la que cada térmio es igual a la suma de los dos ateriores Fiboacci tuvo u preceptor árabe y viajó por el Norte de Árica. Gracias a ello apredió el sistema de umeració árabe, que a su vez Al-Khwarizmi apredió de los hidúes, y lo itrodujo e Europa co su obra Liber abaci. Desterró para siempre el viejo y complicado sistema de umeració basado e las letras del alabeto. Sólo sobrevive el arcaico sistema latio e las iscripcioes solemes. De todas ormas, Fiboacci ha pasado a la historia por su amosa sucesió, la cual represeta u bue úmero de situacioes prácticas, pero la más aecdótica es la relacioada co ua teórica cría de coejos e ua graja. Supogamos ua pareja de coejos, los cuales puede teer descedecia ua vez al mes a partir del segudo mes de vida. Supoemos asimismo que los coejos o muere y que cada hembra produce ua ueva pareja (coejo, coeja) cada mes. La preguta es, cuátas parejas de coejos existe e la graja al cabo de meses?. Vicete Viaa Martíez Pág

2 La sorpredete sucesió de Fiboacci Como puede ácilmete comprobarse, el úmero de parejas coicide co los térmios de la sucesió de Fiboacci. La sucesió de Fiboacci es uo de los temas más sorpredetes de la Matemática, existe multitud de aplicacioes e los que aparece esa sucesió, existiedo ua amplísima bibliograía dedicada exclusivamete al estudio de sus propiedades y aplicacioes. A título de ejemplo citaremos. Propiedades de la sucesió de Fiboacci ª) Usado los térmios de la sucesió de Fiboacci podemos dibujar rectágulos de dimesioes iguales a los térmios de la sucesió, expresadas, por ejemplo, e cetímetros. Tal como se observa e la igura adjuta, los rectágulos co estas dimesioes ecaja perectamete etre sí, como piezas de u puzzle ormado cuadrados, de tamaños progresivamete mayores. La explicació es secilla. Sumado los productos de los térmios cosecutivos de la sucesió e la orma. Vicete Viaa Martíez Pág

3 = etc La sorpredete sucesió de Fiboacci ( ) + ( ) + ( 3) = 3, obteemos el cuadrado del último térmio. ( ) + ( ) + ( 3) + (3 ) + ( 8) + (8 3) + (3 ) = ( ) + ( ) + ( 3) + (3 ) + ( 8) + (8 3) + (3 ) + ( 34) + (34 ) + ( 89) + (89 44) ª) Uiedo rectágulos de dimesioes igual a los térmios correlativos de la sucesió de Fiboacci, ormamos la llamada espiral de Fiboacci. 3ª) La suma de diez elemetos cosecutivos cualesquiera de la sucesió de Fiboacci es igual a veces, el 7º elemeto de ese grupo. OJO!. No hay que comezar ecesariamete por el primer térmio de la sucesió = 43 = 3 4ª) El cuadrado de u térmio de la sucesió de Fiboacci es igual al producto de los térmios que queda a su derecha e izquierda respectivamete, aumetado o dismiuido e ua uidad. Esta dierecia va haciédose alterativamete positiva y egativa. - + = ( ) = = Vicete Viaa Martíez Pág 3

4 La sorpredete sucesió de Fiboacci ª) La suma de los cuadrados de dos úmeros de Fiboacci cosecutivos y + es igual al térmio de Fiboacci de orde +. 3 = + 3 = 3 4 = 3 3+ = 7 = 3 (véase la sucesió de Fiboacci) 6º) Cualesquiera cuatro térmios de Fiboacci cosecutivos A, B, C y D, veriica que: C B = A D 89 = Es decir, la dierecia etre los cuadrados de los térmios medios es igual al producto de los térmios de los extremos. 7ª) A excepció del 3, todo úmero de Fiboacci que sea primo tiee tambié subídice primo. 89 = el 89 es primo y el tambié Si embargo al revés o es cierto, los térmios de Fiboacci de orde primo NO tiee que ser ecesariamete primos. Por ejemplo: 9 = es primo, pero 4.8 es compuesto; 4.8 = ª) No se sabe si e la sucesió de Fiboacci existe u úmero iiito de térmios que sea primos. El mayor úmero de Fiboacci primo coocido es 3 que tiee 9 ciras. Se igora si existe alguo mayor. 9ª) Dos úmeros de Fiboacci cosecutivos cualesquiera so siempre primos etre sí. Vicete Viaa Martíez Pág 4

5 La sorpredete sucesió de Fiboacci 0ª) Etre los térmios de Fiboacci existe u solo cuadrado perecto (dejado aparte el caso trivial del ), el = 44. Curiosamete su valor es el cuadrado de su subídice. Está demostrado que o existe igú otro cuadrado e la sucesió de Fiboacci. ª) De igual orma, sólo existe u cubo (dejado aparte el caso trivial del ) etre los térmios de Fiboacci, el 6 = 8 ª) E el triágulo de Tartaglia (Pascal) sumado los térmios de las diagoales secudarias, obteemos los térmios de la sucesió de Fiboacci, tal como se observa e la igura. 3ª) E u paal de abejas umerado como e el de la igura, que se prologa ideiidamete. La abeja parte de la posició iicial idicada. El úmero de posibles trayectos desde la posició iicial hasta la celdilla, so térmios de la sucesió de Fiboacci. Partiedo de la posició iicial de la abeja, (señalada e el dibujo adjuto). Hay ruta posible hasta la casilla 0, rutas hasta la casilla úmero, 3 rutas hasta la casilla úmero, posibles itierarios hasta la casilla úmero 3, etc. 4ª) El úmero de atepasados de los zágaos so térmios de Fiboacci (ótese que los zágaos so producidos a partir de los huevos iertilizados de la abeja reia, es decir, tiee ua madre pero o tiee padre). Cada zágao tiee madre, abuelos (los padres de la madre), 3 bisabuelos, tatarabuelos, etc. Vicete Viaa Martíez Pág

6 La sorpredete sucesió de Fiboacci ª) E los girasoles, las semillas se distribuye e orma de espirales logarítmicas, uas e setido horario y otras e setido atihorario, si cotamos el úmero de espirales que hay e u setido y las que hay e el otro aparece térmios de Fiboacci cosecutivos. E el ejemplo de la igura se cueta espirales e setido atihorario y 89 espirales e setido horario. Igual sucede e las piñas de los pios. 6ª) Pero la relació más sorpredete de todas, es su correlació co el úmero de oro, la llamada razó áurea φ., Si tomamos los térmios de la sucesió de Fiboacci.,,, 3,, 8, 3,, 34,, 89, 44,... Y dividimos cada térmio por el aterior vamos obteiedo los siguietes valores. 3,, ,6 3,6 8, ,69..., ,68... Represetado estos cocietes e orma gráica. Vicete Viaa Martíez Pág 6

7 La sorpredete sucesió de Fiboacci Los cocietes sucesivos coverge hacia el valor, E otras palabras. lim El térmio geeral de la sucesió de Fiboacci es. De uevo, y sorpredetemete el úmero de oro aparece relacioado co los eómeos aturales que hemos descrito. Y es que el úmero de oro posee uas sorpredetes propiedades matemáticas. Si comparamos., , Observamos que posee la misma parte decimal. E otras palabras. El úico úmero que cumple esa propiedad es uestro viejo coocido, el úmero de oro. Esa relació implica la curiosa sucesió de igualdades. Vicete Viaa Martíez Pág 7

8 La sorpredete sucesió de Fiboacci... Vicete Viaa Martíez Pág 8