TEMA 6. SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA

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1 TEMA 6. SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA 6.1 FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras que tienen la misma forma se llaman semejantes, aunque pueden tener distintas dimensiones. Los elementos (puntos, lados, ángulos ) que se corresponden en una semejanza se dice que son los elementos homólogos. Dos figuras semejantes tienen los lados correspondientes proporcionales los ángulos correspondientes iguales. En dos figuras semejantes el cociente entre las medidas de dos lados homólogos se llama razón de semejanza (r ó k). Dadas las siguientes figuras que son semejantes: a 1 c a c b b Distinguimos la figura 1 la. En el numerador se ponen los elementos de la misma figura en el denominador se ponen los elementos de la otra figura. Formamos la proporción: a b c k a' b' c' Comprueba que las siguientes figuras son semejantes e indica la razón de proporcionalidad. b = 8 1 b = 4 a=10 a =5 Para ser semejantes sus lados tienen que ser proporcionales.

2 Sabiendo que son semejantes, con k=3, calcula las dimensiones que faltan. a 1 a =4 b=1 b 6. MEDIDA DE FIGURAS SEMEJANTES Dadas dos figuras semejantes no sólo podemos hacer proporciones con los lados, sino que sus perímetros correspondientes serán proporcionales el área volumen también estarán relacionados de la siguiente manera: P1 k P A1 V 1 3 k k A V Dado el triángulo de la figura, calcula las dimensiones de otro semejante a él cuo perímetro sea de 6 cm. a=10 b=18 1 c=4 a c b

3 IMPORTANTE: En un mismo ejercicio no cambiar el orden de las operaciones, es decir, si Datos dela primera figura empezamos TODAS las proporciones tienen que hacerse de la Datos dela segunda figura misma forma. Sabiendo que la razón entre los volúmenes de dos ortoedros es 7, calcula las dimensiones de la segunda figura sabiendo que la figura maor es: 1 a=9 c = 3 b = 6 a b c 6.3 TEOREMA DE THALES Dadas dos rectas secantes, si son cortadas por dos o más rectas paralelas, los segmentos correspondientes que determinan sobre las rectas secantes son proporcionales. Para relacionarlo con proporcionalidad lo ponemos: r : r' AB A' B' BC B' C' AC A' C' También puede ponerse: A' B' B' C' AB BC A' B' A' C' AB AC Calcula los segmentos que faltan r r

4 Calcula los segmentos que faltan r r z TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES Una aplicación del Teorema de Thales la encontramos en los triángulos. Dado un triángulo, si trazamos una línea paralela a uno de los lados, obtenemos un triángulo semejante al primero de menor tamaño. (En esta figura se puede aplicar Thales o bien proporcionalidad)

5 En el siguiente triángulo se ha trazado un segmento MN paralelo al lado maor, de modo que NB mide 6 cm. Cuánto miden los lados del triángulo MN? A 1 M N 6 9 B C TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos b a a = b + c c 6.7 TEOREMA DE LA ALTURA En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura es igual al producto de las proecciones de los catetos h = m n b h c a: hipotenusa b, c: catetos h: altura m, n: proecciones m n a

6 Dado el siguiente triángulo rectángulo, calcula el valor de los catetos b c m = 6 4 n= TEOREMA DEL CATETO En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa del triángulo por la proección de dicho cateto sobre la hipotenusa b = a m c = a n b h c a: hipotenusa b, c: catetos h: altura m, n: proecciones m n a En un triángulo rectángulo, las proecciones m n de los catetos sobre la hipotenusa miden cm respectivamente. Calcula la medida de los lados del triángulo b c m = 1 8 a n = 7

7 En un triángulo rectángulo de 7 cm de altura sobre la hipotenusa se cumple que m = 4 n, con m n proecciones de los catetos. Calcula las proecciones b h = 7 c m = 4 n n MEDIDA DE ÁNGULOS. RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES Dada una circunferencia, el ángulo central tiene su vértice en el centro de la misma sus lados son dos radios. Para medir ese ángulo podemos utilizar: El grado seagesimal es la medida de cada uno de los ángulos que resultan al dividir el ángulo recto en 90 partes iguales. Su símbolo es º. El sistema de medida se llama sistema seagesimal, a parte del grado se utilizan las unidades minutos ( ) segundos ( ) 1º=60 1 =60 1º=3600 El radián es la medida del ángulo central de una circunferencia cuo arco tiene la misma longitud que el radio. Su símbolo es rad. Eiste una relación entre grados radianes: 360º radianes Ejemplo: Epresa las siguientes medidas de ángulos en radianes a) 180º

8 b) 90º Ejemplo: Epresa las siguientes medidas de ángulos en grados a) rad 5 3 b) rad 4 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son: longitud del cateto opuesto a seno de longitud dela hipotenusa longitud del cateto contiguoa cos enode longitud dela hipotenusa longitud del cateto opuesto a tan gente de longitud del cateto contiguoa longitud dela hipotenusa cosecante de longituddelcatetoopuestoa longituddela hipotenusa cosenode longitud del cateto contiguoa tan gente de longitud del cateto contiguoa longitud del cateto opuesto a α h

9 sen cos h cos en h sec h h tg cot g En las calculadoras, el seno suele aparecer como sin, a la tangente la podemos escribir tan, tag o tg. Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de los siguientes triángulos rectángulos (ES MUY IMPORTANTE QUE SEA TRIÁNGULO RECTÁNGULO) a) α b) 15 β 17 8 α

10 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS 0, 30, 45, 60 Y seno coseno tangente RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS En este curso vamos a estudiar tres relaciones entre las razones trigonométricas. Dado un ángulo cualquiera se verifica: sen cos 1 Ecuación fundamental de la trigonometría sen 1 tg 1 tg =sec α 1+cotg 1 α = = cosec α cos cos sen Sabiendo estas relaciones, dada una razón trigonométrica de un ángulo es posible calcular las otras dos razones. Ejemplo: Sea un ángulo agudo, sabiendo que razones. sen =0 35, calcula las otras dos

11 De la relación fundamental de la trigonometría podemos deducir que: 1 sen 1 1 cos 1 La tangente puede tomar cualquier valor real. Ejemplo: Si tan 1' 9, calcula las otras dos razones sabiendo que es agudo. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera vamos a utilizar un sistema de coordenadas cartesianas una circunferencia de centro el origen de coordenadas radio la unidad. De esta manera el plano quedad dividido en cuatro cuadrantes. A esta circunferencia se le llama circunferencia goniométrica. 90 Eje Y Segundo cuadrante Primer cuadrante π=180 0 = 360 = π Eje X Tercer cuadrante Cuarto cuadrante 70 Al dibujar un ángulo α en cualquiera de los cuadrantes, se determina un punto A(, ) se puede construir un triángulo rectángulo cua hipotenusa vale siempre 1, igual que el radio. Los catetos e serán las coordenadas cartesianas, positivas o negativas dependiendo del cuadrante en el que esté el ángulo.

12 Los ángulos se miden desde el semieje X positivo en el sentido contrario a las agujas del reloj Las razones trigonométricas no dependen del radio de la circunferencia sen h 1 cos h 1 tan Por lo que sen cos tan De esta manera sabemos los signos que van a tener las razones trigonométricas sabiendo el cuadrante en el que está el ángulo α. Primer cuadrante sen 0 cos 0 tan 0 Segundo cuadrante sen 0 cos 0 tan 0 Tercer cuadrante sen 0 cos 0 tan 0 Cuarto cuadrante sen 0 cos 0 tan 0 Ejemplo: Dado sen 0' 46 con 90º 180º, calcula las otras dos razones trigonométricas.

13 Ejemplo: Dada tan 3' 5 con 70º 360º, calcula las otras dos razones trigonométricas. 3 Ejemplo: Sea cos 0' 8 con, calcula sen tan RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CIERTOS ÁNGULOS En algunos ejercicios se va a pedir calcular las razones trigonométricas de ángulos relacionados con un ángulo agudo, como por ejemplo 90, 180, 70,, etc. Para calcular estas razones trigonométricas dibujamos ambos ángulos, tanto como el ángulo del que nos piden las razones, comparamos los elementos de dichos ángulos. Para estos ejercicios utilizamos la circunferencia goniométrica.

14 Ejemplo: Sabiendo que sen 0' 75, calcula las razones trigonométricas siguientes con 0 90º : a) cos( 90 ) Dibujamos el ángulo con sus elementos (, ). Lo hacemos de manera que se distingan bien la de la por el tamaño. Luego, mejor a otro color, dibujamos el ángulo ( 90 ) teniendo en cuenta el tamaño de, dibujamos sus elementos. b) sen ( 70 ) Hacemos los mismos pasos: - Dibujamos los dos ángulos con sus elementos. - Calculamos la razón trigonométrica pedida con sus elementos. - Comparamos ese resultado con los elementos de. - Ajustamos el signo. c) tan( 180 )

15 d) cos( 180 ) Ejemplo: Sabiendo que cos 0' 43, siendo un ángulo agudo, calcula: a) sen ( 70 ) b) sen ( )

16 c) cos( 70 ) 7.5 CÁLCULO DEL ÁNGULO CONOCIDA LA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA Para calcular el ángulo se utilizan funciones inversas a las razones trigonométricas. Dichas funciones son arcoseno, arcocoseno arcotangente, a que los ángulos son la medida de los arcos en una circunferencia. sen 0' 4 es el arco cuo seno vale 0 4 cos 0' 79 es el arco cuo coseno vale Para calcular se escribe: arcsen 0'4 arccos( 0'79) En las calculadoras son las mismas teclas de sin, cos, tan pero en su segunda función, así que ha que darle primero a SHIFT, INV o nd Función Ejemplo: Calcula los ángulos de las siguientes razones:

17 TEOREMA DEL SENO En un triángulo de lados a, b c de ángulos Aˆ, B ˆ Ĉ se verifica: a b c senaˆ senbˆ sencˆ Calcula el lado c el lado a de un triángulo si Bˆ mide 45º, Ĉ mide 60º b = 5 cm TEOREMA DEL COSENO En un triángulo de lados a, b c de ángulos a = b + c bc cos  b = a + c ac cos Bˆ c = a + b ab cosĉ Aˆ, B ˆ Ĉ se verifica: Calcula el ángulo  en el triángulo con a = 7 cm, b = 4 cm, c = 6cm 7.6 PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del siguiente triángulo rectángulo.

18 Ejemplo: Desde la ventana de su casa Juan ve un gato que está a 30m de su edificio. Si lo ve con un ángulo de 30º, a cuántos metros está la ventana del suelo? Ejemplo: En lo alto de un árbol ha un nido con un pájaro. Marta está a 40m del árbol ve el nido con un ángulo de 45º, qué altura tiene el árbol? Ejemplo: Una escalera está apoada en la pared con un ángulo de 60º. Si la altura a la que se apoa la escalera es de 3 m, qué longitud tiene la escalera? Ejemplo: Luis abre un compás formando un ángulo de 10º. Si la distancia entre las ramas es de 9 cm, cuánto mide cada rama? (Suponemos las ramas iguales)

19 Ejemplo: En un castillo, al bajar el puente, éste se queda atascado a una altura de 5m formando un ángulo con la horizontal de 30º cuánto mide el puente? Ejemplo: Isabel está mirando un cartel en un edificio con un ángulo de 45º. Decide acercarse 18 metros ahora lo ve con un ángulo de 60º. A qué altura está el cartel? A qué distancia inicial estaba Isabel del edificio del cartel?