Integral indefinida. 1. Primitiva de una función. 1.1 Propiedades de la integral indefinida

Transcripción

1 º achillrato ntgral indfinida. Primitiva d una función Dfinición: Sa f() una función dfinida n l intrvalo (a,b), llamarmos primitiva d la función f() a toda función ral d variabl ral, F(), tal qu: Hallar primitivas s l procso invrso d hallar drivadas. Es dcir, si F() s una primitiva d f(), ntoncs F ()=f(). Es vidnt qu primitivas d una función hay infinitas, pusto qu si considramos la función G()=F()+ con =ct. también s una primitiva d f(), G ()=(F()+) =F ()=f(), y bastará con cambiar la constant para ir obtnindo más primitivas. l conjunto formado por todas las funcions primitivas d una función s l dnomina intgral indfinida d f() y s l dnota por f a b F ', f d( s l intgral indfinida d f() difrncial d ) f d F con R f() s dnomina intgrando. Ejmplo : omprobar qu F 6 s una primitiva d f F' f Ejmplo : Una función F() tomo n = l valor, s sab qu su drivada s f()= +6. alcular la función. F() s una primitiva d f() F()= +6+. Toma l valor para = F()= +6+= =- Lugo F()= Propidads d la intgral indfinida k f d k f d con k R f gd f d g d - /-.G.Onandía

2 º achillrato. ntgrals inmdiatas D la propia dfinición d intgral indfinida y d la tabla d drivadas s dduc: FORMS SMPLES n n d n d ln FORMS OMPUESTS n n f f. f ' d n f f ' d ln f a a d ln a d a f f. f ' f a d ln a f. f ' d sn d cos f '. snf d cos f cos d sn f '. cos f d tgd ln cos f '. tg f d ln cos f cos d sc d tg d tg f ' cos f f ' d cos c d ctg d ctg sn sn f f ' d arcsn f f ' d arctg f d tgf d ctgf d arcsnf d arctgf - /-.G.Onandía

3 º achillrato. Métodos lmntals d intgración.. Dscomposición S basa n las propidads d las intgrals qu acabamos d vr. onsist n dscomponr la función f() n suma d otras funcions qu spamos intgrar. Ejmplo : d d d d.. Ejmplo : d d d d d d d ln Ejmplo : tg ( ) d tg ( ) d tg ( ) d d tg. ambio d variabl En ocasions, una intgral d aparincia difícil s rduc a otra conocida si s cambia adcuadamnt la variabl d intgración. l final db dars l rsultado n términos d la variabl inicial. t t Ejmplo 6: d dt t dt t t dtdddt / ( ) t t Ejmplo : d dt t ddtddt / Rsolvr las siguints intgrals:. d. d. cos. d. sn d 6. d. d d. d 9. d 0. d. d. d. sn cos d - /-.G.Onandía

4 º achillrato. d ln. d ln arctg 6. d. sn cos d. sn cos d sc 9. d tg 0. d. snd. d. cos. sc d d. snd 6. cos. d. d ln d. ntgración por parts(no para SS) San dos funcions n, u() y v() por la drivada d un producto d u v u dv v du u dv d u v v du u v u dv d v d dond:, qu intgrando obtnmos: dus dcir: u dv u v v du Ejmplo : snd (función trigonométrica o ponncial + polinomio---u=p()) u du d dv snd v snd cos así snd cos cos d cos sn Ejmplo 9: ln d (función logarítmica---u=ln(f())) u ln dv d d du v Ejmplo 0: d du d v u dv d así así ln d ln d ln d d - /-.G.Onandía

5 º achillrato Ejmplo : u ln dv d du v ln d d así ln d ln d ln Ejmplo : En ocasions tnmos qu aplicar uno o varios métodos d intgración para consguir la prsión final. d u dv d du d v así = d d d hora volvmos a intgrar por parts du d v u dv d Sustituyndo d d d d d Ejmplo : lgunas intgrals al ritrar la intgración por parts s vulv a obtnr la intgral d partida, n cuyo caso s dspja. Habitualmnt ocurr n las intgrals qu continn funcions trigonométricas y ponncials. cos d dv cos d u = du d v sn Hacmos cos d sn sn d dv sn d u cos cos cos d du d v cos Sustituyndo sn sn cos cos sn sn cos cos d sn cos cos - /-.G.Onandía

6 Rsolvr las siguints intgrals: 9. d 0.. cos d d ( ) sn cos d.. ln ln ln d. ln d ln ln 6 ln 6 ln. arccos d arccos º achillrato 6. arcsnd arcsn. arctgd ln arctg. arctgd 9. arcsn d 0. snd arctg arcsn sn cos. lgunas intgrals racionals Dnominamos intgral racional a las intgrals d funcions racionals dl tipo P() y Q() son polinomios. Para l nivl d nustro curso solo considrarmos los casos n qu l dnominador sa un polinomio d grado mnor o igual a dos. Los casos inmdiatos son: n n f f. f ' d n P Q d ln d arctg ddond Todos los dmás casos s rducn n la práctica a stos, s dcir la primitiva srá con pquñas variants una suma d polinomios, logaritmos y arcotangnts. Partimos qu l grado dl numrador s mnor qu l dl dnominador, n caso contrario s raliza la división. Ejmplo: d d d.. Dnominador d grado Si grad(q())= y l numrador s un númro, todas sus primitivas corrspondn a logaritmos. Ejmplo : d d ln Si l grado dl dnominador s mnor o igual qu l grado dl numrador, s divid: Ejmplo : d Hacmos lugo d d d ln - 6/-.G.Onandía

7 º achillrato.. Dnominador d grado m n sí nos qudan intgrals d la forma d a b c Para ralizar stas intgrals s convirt la función racional n suma d otros cocints cuyas intgrals spamos hacr. Para llo s raliza la dscomposición factorial dl dnominador y s calculan sus raícs. Ralizamos la dscomposición n fraccions simpls.... Si tin dos raícs rals Si las raícs dl dnominador son y, l dnominador s a(- )(- ), y la dscomposición n P( ) fraccions simpls s: oprando y dando valors a la variabl obtnmos y. Q( ) a a Dan simpr dos logaritmos nprianos. Ejmplo 6: d uscamos las raícs dl dnominador: 0 dscomposición n fraccions simpls s tin qu cumplir la idntidad: Para = Para =- on lo qu sustituyndo obtnmos: d d Ejmplo : d lugo hacmos la para cualquir nº ral, n particular: d ln ln ( ) ( ) Para = 6 Para =- 6 Sustituyndo d d d ln ln Por cambio d variabl d t ddt dt ln t cln t c - /-.G.Onandía

8 º achillrato - /-.G.Onandía Ejmplo : d 6 ) ( ) ( 6 Para = Para = Sustituyndo d d d ln ln 6 Ejmplo 9: d omo l grado dl numrador s mayor qu l grado dl dnominador, hacmos la división obtnindo: así d d d ahora calculamos Hacmos la dscomposición n fraccions simpls Para =- 6 6 Para = 6 Sustituyndo obtnmos d d d d d d d d d ln ln... Si tin una raíz dobl Si l dnominador tin una raíz dobl su factorización s a(- ), y la dscomposición n fraccions simpls s: ) ( ) ( a a Q P oprando y dando valors a las variabls obtnmos y. Dan simpr un logaritmo npriano y una potncial.

9 º achillrato - 9/-.G.Onandía Ejmplo 0: d El dnominador s por tanto la dscomposición n fraccions simpls s: Para = Para =0 Sustituyndo d d d d ln ln Ejmplo : d =-/ s una raíz dobl dl dnominador así la dscomposición n fraccions simpls s: Para =-/ Para =0 Sustituyndo d d d d d ln ln En stos casos hay otra forma más simpl d hacrlos qu s ponr l dnominador como un cuadrado prfcto así d d Dscomponmos d la siguint manra:

10 º achillrato Para =-/ Para =0 Sustituyndo d d d d ln... Si no tin raícs rals (raícs compljas)(no para SS) Si l dnominador no tin raícs rals ntoncs no s pud ralizar la dscomposición n fraccions simpls. En st caso va a dar simpr al mnos un arcotangnt, qu hay qu construir, y n ocasions también un logaritmo npriano Ejmplo : d d d / / d d d / arctg arctg d d Ejmplo : d 0 no tin solucions rals 9 d d d ln 9 d d d d arctg dividimos dnominador y numrador por 9 ln arctg Ralizar las siguints intgrals:.- d.- 6 d.-.- d d - 0/-.G.Onandía

11 º achillrato. EJEMPLOS DE ÁLULO DE NTEGRLES.-La función f()=+ tin infinitas primitivas qu difirn n una constant. uál d stas funcions toma l valor para =? ( ) d omo toma l valor para = rsulta:.. La función buscada s: F ( ).-Halla una función cuya drivada sa f y qu s anul para =. uscamos la intgral indfinida d f() qu s: ( ). d omo s anula para = tnmos: y s obtin qu = - /6.. 0 La función buscada s F ( ) 6.-Halla la función G tal qu G"()=6+; G(0)= y G()=0 Nos dan la sgunda drivada por lo qu tnmos qu intgrar dos vcs: G' ( ) (6 ) d G( ) ( ) d D D G(0)= rsulta: D=, (dspués d sustituir la por 0.) D G()=0 obtnmos: +/++=0,(dspués d sustituir la por ) por lo qu = -/. La función qu buscamos s la siguint: G ( ) - /-.G.Onandía

12 º achillrato.-dada la función f()=6 halla la primitiva qu pasa por l punto (,). Hallamos la intgral indfinida: hora buscamos la qu pasa por l punto (,): 6d qu s l conjunto d todas sus primitivas.. lo qu indica qu =, por tanto, la primitiva buscada s F ( ).-ntgra las siguints funcions racionals: (NMEDTS O MO DE VRLE) a) d; b) 6 d;c) 6 d ; d) d a) La primra s inmdiata ya qu l numrador s actamnt la drivada dl dnominador, por tanto, d L 6 6 b) La sgunda s rsulv buscando la drivada dl dnominador: 6 6 d d. L 6 c) La trcra la dscomponmos n dos intgrals: d d d arctg L( ) d) La cuarta s rsulv ralizando prviamnt la división. Y podmos ralizarla por Ruffini Hcha la división s obtin d cocint + y d rsto d ( ) d L 6.-álcula las siguints intgrals: (POR PRTES)No SS a) d ; b) sn d ; c) Ld ; Todas llas s rsulvn por parts y la fórmula dl método su. dv u. v v. du a) d. u dv. d du d v d + - /-.G.Onandía

13 º achillrato b) = sn. d u dv sn d du d v cos c) Ld cos cos d cos sn u L dv d d du v. L.. d. L d =. L.-alcula las siguints intgrals: (POR PRTES RETERDMENTE)No SS a) d ; b) cos d Las dos s rsulvn aplicando l método d intgración por parts dos vcs: a) d du d v u dv d d ; (*) dond d Hacmos nuvamnt u dv d du d v d Y volvindo nuvamnt a la prsión (*) obtnmos l rsultado final: b) cos d du d v sn u dv cos d. sn snd sn plicamos nuvamnt l método d intgración por parts para - /-.G.Onandía

14 º achillrato u dv sn d du d v cos sn d cos cosd cos cosd cos sn 9 sn cos sn 9.-Rsulv la siguint intgral por parts: u cos dv cos d du sn v sn cos d (LÍ)No SS cos d cos cos d sn cos sn d ( sn cos cos ) d sn cos d cos d sn cos sn cos sn cos 9.-alcula por l método más adcuado las siguints intgrals: a) ; ( ) d b) d 6 Solución a) La primra la rsolvmos por un sncillo cambio d variabl: t d dt d dt t ( ) t t dt t b) La sgunda s una intgral n la qu l numrador pud transformars n la drivada dl dnominador: 6 6 d d L /-.G.Onandía

15 º achillrato 0.-ntgra la siguint función racional: = d (RES SMPLES) 6 omo no pud obtnrs n l numrador la drivada dl dnominador, utilizarmos l método d dscomposición n fraccions simpls, ya qu l dnominador tin raícs rals ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) omo los numradors son iguals los dnominadors también lo srán: ( ) ( ) Para =, = ; Para =, = ( s l han dado los valors d las raícs dl dnominador.). hora procdmos d la siguint manra: L--L- 6 = d d d d.-rsulv la siguint intgral: ( ) (RES DOLES) Estamos n l caso n qu l dnominador tin raícs múltipls. La dscomposición tnmos qu hacrla d la siguint forma: ( ) ( ) D (Si la raíz múltipl fus d ordn, llgaríamos con las fraccions hasta ) ( ) ( ) ( ) ( ) (dond hmos ralizado la suma indicada) ( ) Si los numradors son iguals, los numradors también lo srán, por tanto, ( ) ( ). Para calcular los valors d, y damos a los valors d 0, y otro valor cualquira, por jmplo,. D s modo obtnmos =, = y =. Entoncs: d d d d L L ( ) d ( ) ( ) ( ) L L L L - /-.G.Onandía

16 º achillrato.-rsulv la intgral siguint: d (RES OMPLEJS)No SS 9 La dscomponmos n dos intgrals. En la primra podmos buscar n l numrador la drivada dl dnominador y n la sgunda buscamos l arco tangnt 9 9 d d ( 9) d d L 9 9 d 9 d d Hacindo l cambio /=t rsulta =t y por tanto d=dt por lo qu 9 t.dt 9 t dt arctg t arctg.-alcula por l método más adcuado la intgral siguint: Solución El método más adcuado s l d sustitución o cambio d variabl: L t d dt ( L) d ( L) t ( L) d L d t dt ( )..-Rsulva la intgral ( ) d No SS S rsulv por parts: u dv d du d v ( ) d ( ) d ( ) - 6/-.G.Onandía

17 º achillrato.-rsulv la siguint intgral: L ( ) dno SS Solución u L dv d du v L. d L( ) d Dividindo ntr + s obtin - d cocint y d rsto, por tanto, L ( ) d. Finalmnt s obtin L L 6.-Rsulv la siguint intgral trigonométrica: sn tg cos sn cos sn cos d d sn tg d cos La primra la ponmos d forma qu l numrador sa la drivada dl dnominador: sn cos sn cos d d Lcos Para la sgunda hacmos un cambio d variabl: sn d cos cos t sn d dt dt t t dt t t cos - /-.G.Onandía