, se denomina primitiva de esta función a otra F(x)

Transcripción

1 1. CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA Definición: Dada una función f (x), se denomina primitiva de esta función a otra F(x) tal que F '( x) = f ( x) Esta definición indica que el cálculo de primitivas constituye el proceso inverso al cálculo de derivadas. Es decir, hallar la primitiva de una función es buscar otra función que, al ser derivada, resulte la original. Si F (x) es una primitiva de f (x), entonces cualquier otra primitiva de f (x) es de la forma F ( x) + C Definición: Se llama integral indefinida de f (x) al conjunto de todas las primitivas de f (x) y se expresa así: f x) dx Se debe cumplir que f ( x) dx = F( x) F '( x) = f ( x) Ejercicio 1: Calcula la primitiva de estas funciones (. 2. TABLA DE INTEGRALES INDEFINIDAS 1

2 3. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES [ ( x) g( x) ] dx = f ( x) dx f ± ± g( x) dx k f ( x) dx = k f ( x) dx Obviamente [ f ( x) g( x) ] dx f ( x) dx g( x) dx Ejercicio 2: Resuelve las siguientes integrales inmediatas: 4. CÁLCULO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN Cuando se trate de determinar la primitiva de una función que pase por un determinado punto ( a, b), sólo existirá un valor de la constante de integración, C, para la que esa condición se cumple. Una vez hallada la integral indefinida, F (x), debemos calcular C imponiendo que F ( a) = b Ejercicio 4: Halla las funciones que se piden. 2

3 5. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE Se trata de integrar una función f(x) compuesta, en la que se sustituye la variable x por otra variable, t, de tal manera que el integrando pase a ser otra integral, g(t) que ahora es mucho más sencilla. Finalmente, una vez integrada la función, hay que deshacer el cambio. En ocasiones, derivaremos con respecto de t y otras veces con respecto de x, dependiendo lo que nos resulte más sencillo. El cambio de variable nos lo suelen dar. Veamos un ejemplo de lo que significa el cambio de variable en funciones trigonométricas. Hacemos senx = t, y al derivar, cos xdx = dt. Despejando dx = dt cos x Cuando una integral presenta radicales en su integrando, el método de cambio de variable es muy eficaz si se propone un cambio que permita simplificar los radicales. El cambio adecuado es: que se quiere simplificar. Veamos un ejemplo. Hacemos radicando = t n, donde n es el índice de la raíz x = t Despejamos x: x = t Derivamos en función de x 2 3t 2 dt 2 dx = y sustituimos. A veces es más cómodo derivar al principio: 2 dx = 3t dt 2 El resultado es Cambios de variables usuales: 3

4 Ejercicio 5: Realiza estas integrales (de manera inmediata) o por medio del cambio de variable. 4

5 6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Para resolver estas integrales se aplica el método de integración racional o descomposición en fracciones simples. Este método permite resolver cualquier integral racional, siempre que en numerador y denominador sólo haya polinomios. Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, dividimos e integramos el polinomio resultante de manera inmediata. El resto será de grado menor que el denominador. Tenemos varios casos. Caso 1: Todas las raíces son reales simples. 14x + 6 dx 2 x x 2 Las raíces del denominador son -1 y 2 Resolviendo, Y tenemos una integral inmediata cuyo resultado es Caso 2: Raíces reales múltiples. Las raíces del denominador son -1 (simple) y 1 (doble). Las soluciones son Ejercicio 9: Calcula las siguientes integrales racionales. 5

6 7. INTEGRACIÓN POR PARTES El método de integración por partes permite resolver integrales cuyo integrando es un producto en el que al menos uno de los factores resulta fácil de integrar. A los factores del integrando se les asignan las expresiones u y dv. La expresión dv le corresponderá a la función que sea fácil de integrar, pues aplicaremos la siguiente fórmula: u dv = u v v du Ejemplo: x senxdx = x cos x + cos xdx = x cos x + senx + C u = x du = dx senxdx = dv cos x = v A veces tendremos que integrar por partes dos veces. Ejercicio 10: Resuelve las siguientes integrales por partes. a) b) c) ln xdx d) e) f) g) h) i) 9. ÁREA BAJO UNA CURVA. Dada una función f (x) CONTINUA en [ a b] entre el eje X y la gráfica de la función en el intervalo [ a, b] del siguiente modo: a) Se divide el intervalo [ a b] b) La función (x), y POSITIVA, se puede hacer una aproximación del área comprendida, en n partes iguales: a = x0 < x1 < x2 <... < xn 1 < xn = b f es continua en los intervalos [ x i, x i +1], ya que lo es en [ a b] m, en cada intervalo [ ] alcanza un valor máximo, M i, y un valor mínimo, i c) Se dibujan los rectángulos inferiores de base xi+1 xi y de altura m i. d) Se dibujan los rectángulos superiores de base xi+1 xi y de altura M i.,. Se puede garantizar que la función x. i, x i +1 6

7 e) Se suma el área de los rectángulos inferiores y se obtiene una aproximación del área por defecto. x x m + x x m + x x m + + x x 1 Área por defecto= ( 1 0 ) 1 ( 2 1) 2 ( 3 2 ) 3... ( n n ) n f) Se suma el área de los rectángulos superiores y se obtiene una aproximación del área por exceso. x x M + x x M + x x M + + x x 1 Área por exceso= ( 1 0 ) 1 ( 2 1) 2 ( 3 2 ) 3... ( n n ) n Las sumas inferiores y superiores dependen de n, es decir, del número de intervalos que se tomen en [ a b] entonces que: M m,, y se tiene g) Las sumas inferiores son una sucesión s s, s,..., s..., que corresponderán a las distintas divisiones que se hagan del intervalo [ a, b]. 1, 2 3 n h) Las sumas superiores son una sucesión S S, S,..., S..., que corresponderán a las distintas divisiones que se hagan del intervalo [ a, b]. 1, 2 3 n Se puede asegurar que el área del recinto está comprendida entre estas dos aproximaciones. Si se hacen cada vez más intervalos en [ a b] 10. INTEGRAL DEFINIDA.,, es decir, que n, entonces Área = lím sn = lím Sn n n 7

8 La integral definida se calcula mediante la Regla de Barrow. Se trata de hallar una primitiva con las técnicas que hemos estudiado, y calcularla y valorarla en los extremos a y b: En las integrales definidas no aparece la constante de integración. IMPORTANTE: En las integrales logarítmicas, utilizaremos valores absolutos para evitar logaritmos inexistentes. En la integración por cambio de variable, se resuelve la integral con respecto a la variable cambiada y habrá que deshacer el cambio o bien recalcular los límites de integración. Ejercicio 11: Calcula las integrales definidas 2 a) 1 2 ( 3 + 2x 5) dx 1 x b) 1 dx x c) x 1dx TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: Si (x) t ( t) = f ( x dx es derivable en [ b] F ) a 11. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA a, y cumple que '( t) f ( t) 1 f es continua en [ b] F =, t [ a, b] a,, entonces la función integral, 12. CÁLCULO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA Dependerá de dónde esté situada la curva con respecto al eje horizontal. En general, el procedimiento será calcular los puntos de corte y esbozar la gráfica. 8

9 Una integral definida puede resultar positiva, negativa o nula, pero el área nunca puede ser negativa ni nula. Siempre debe ser un número positivo, de ahí que utilicemos con frecuencia valores absolutos. Ejercicio 12: Calcula el área limitada por la curva 13. ÁREA LIMITADA POR DOS CURVAS Existen varias posibilidades: y 1 1+ x =, las rectas x=2 y x=5 y el eje OX. 2 9

10 En general, tendremos que resolver el sistema originado por ambas funciones para localizar sus puntos de corte. Una vez dibujemos ambas gráficas, decidiremos en cada caso qué hacer. Ejercicio 13: Resuelve estos ejercicios a) b) c) d) EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD 2015 Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 4 Ejercicio 5 10

11 Ejercicio 6 Ejercicio 7 Ejercicio 8 Ejercicio 9 Ejercicio 10 Ejercicio 11 Ejercicio Ejercicio 13 11

12 Ejercicio 14 Ejercicio 15 Ejercicio 16 Ejercicio 17 Ejercicio 18 Ejercicio 19 Ejercicio 20 Ejercicio 21 12

13 Ejercicio 22 Ejercicio 23 Ejercicio Ejercicio 25 Ejercicio 26 Ejercicio 27 Ejercicio 28 Ejercicio 29 13

14 Ejercicio 30 Ejercicio 31 Ejercicio 32 Ejercicio 33 Ejercicio 34 Ejercicio 35 Ejercicio Ejercicio 37 Ejercicio 38 14

15 Ejercicio 39 Ejercicio 40 Ejercicio 41 Ejercicio 42 Ejercicio 43 Ejercicio 44 Ejercicio 45 15

16 Ejercicio 46 Ejercicio 47 Ejercicio Ejercicio 49 Ejercicio 50 Ejercicio 51 Ejercicio 52 16

17 Ejercicio 53 Ejercicio 54 Ejercicio 55 Ejercicio 56 Ejercicio 57 Ejercicio 58 Ejercicio 59 Ejercicio 60 17