Objetivos. Cálculo de primitivas. La integral definida. Funciones integrables. Aplicaciones geométricas de la integral.
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- Concepción del Río Montero
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1 TEMA
2 Ojetivos. álulo de rimitivs. L integrl deinid. Funiones integrles. Integrles imrois. Aliiones geométris de l integrl.
3 Plnter y lulr integrles de uniones de un vrile y lirls l resoluión de rolems reltivos l ingenierí.
4 Se die que un unión F es un unión rimitiv de l unión F' Dom L unión reie el nomre de integrndo y sumndo F un onstnte ritrri se otiene otr unión rimitiv. Al onjunto de rimitivs de l unión se le llm l integrl indeinid de. Se esrie de l siguiente orm: Ls siguientes roieddes son inmedits: d d g d d g d d F
5 Integrles Inmedits I d n n d R d n n log d n n d n n log ' ' > sen d d sen e d e d os os log > sen d d sen e d e d ' os os ' ' log ' tg d tg d tg d d ' os se os
6 Integrles Inmedits II rsen d tg d sen rsen d tg d sen ' ' rtg d rsen d rtg d rsen d ' ' sen d sen d tg d sen d tg log os logos os
7 Métodos generles de integrión: mio de vrile Se un unión que dmite rimitiv si hemos el mio de vrile siendo g un unión derivle on derivd ontinu result: g t d [ g t ] g ' t dt Ejemlo: 3 3 t 3 3 d t dt Se h heho el mio t t > es deir d tdt d tdt
8 Métodos generles de integrión: Integrión or Prtes Si y g son dos uniones derivles en el unto semos que ges derivle en : g' g' ' g Por tnto: g ' d g ' d ' g d g g Si llmmos u v g entones du ' d y dv g' d l órmul se uede esriir sí: udv ' g d ' g d uv vdu
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10 Integrión de uniones rionles: P d Q siendo P y Q olinomios Es suiiente estudir el so en que el grdo de P es menor que el grdo de Q deido que en so ontrrio se reliz l división y eisten olinomios y R oiente y resto resetivmente tles que: P Q R on grdo de R < grdo de Q y or tnto: P Q R d d d Q
11 Integrión de uniones rionles: Suongmos que el grdo de P es inerior l grdo de Q. Pr hllr l integrl se luln ls ríes de l euión Q y se desomone l rión originl en sum de riones simles. Veremos dos sos: Ríes reles simles...: Ríz rel de multiliidd m:... B A Q P m m A A A Q P
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13 Integrión de lguns uniones irrionles: Eisten dos tios distintos: d siendo R un unión rionl R Se soluionn on el mio de vrile: sen t d siendo R un unión rionl R Se soluionn on el mio de vrile: tg t
14 Integrión de lguns uniones irrionles: Al resolver iertos ejeriios de este rtdo es neesrio lulr l integrl del seno udrdo o oseno udrdo. Pr ello nos servimos de ls siguientes identiddes trigonométris: sen ost t os t ost
15 Se un unión otd en [] e integrle entones l integrl deinid de en [] se denot: d Los números y se llmn límites de integrión y deerín ser tles que es menor que Si y < l integrl de en el intervlo [] mide el áre de l región delimitd or ls rets y el eje de siss y l grái de l unión
16 Proieddes de ls uniones integrles Linelidd: Si y g son integrles en [] tmién lo es l unión gy se verii: d g d g d Si es integrle en [] y k ϵr entones l unión k tmién lo es: k d k d
17 Proieddes de ls uniones integrles Monotoní: Si y g son integrles en [] y g [ ] entones: Aditividd: Se :[]Rotd y se ϵ. Se verii que es integrle en [] si y solo si es integrle en [] y en []. Además: d d d d g d
18 Teorems Fundmentles del lulo Integrl Se un unión integrle en []. Podemos deinir un nuev unión F sore [] de l siguiente mner: [ ] F t dt Est unión está ien deinid uesto que or ser integrle en [] tmién lo es en [] [ ]. L unión F sí deinid se denomin unión integrl de l unión. Se verii que F es ontinu en []
19 Teorems Fundmentles del lulo Integrl Primer Teorem Fundmentl Si l unión :[] R es ontinu en [] l unión F:[] R tl que F t dt es un rimitiv de en [] es deir: F' [ ]
20 Teorems Fundmentles del lulo Integrl Segundo Teorem Fundmentl Regl de Brrow Si es un unión ontinu en [] y G es un unión ontinu en [] y rimitiv de en entones: d G G Ejemlo π sen d osπ os
21 mio de vrile en l integrl deinid Se ontinu en []; si hemos el mio de vrile g t t [ α siendo g un unión derivle on derivd ontinu que dmite unión invers y tl que g α y g β entones: Ejemlo: d β α g t g' t dt β ] I I π d sen π sen t t [ ] t os t dt π π sen π sen π ost π os t dt dt t sent] π 4
22 Integrión or rtes en l integrl deinid Sen g: [] R dos uniones derivles on derivd ontinu Por tnto: g' g' ' g g' d g' d ' g g g ' g d Si llmmos u v g entones du d y dv g d; odemos esriir l órmul de l siguiente orm: u dv [ u v] v du
23 Integrles en intervlos no otdos Ls integrles en intervlos no otdos o integrles imrois de rimer eseie son integrles del tio: d d d R Si l union es otd e integrle se deine: d lim d Si este limite eiste y es inito diremos que l integrl del rimer miemro es onvergente. Si el límite es ininito se die que es divergente
24 Integrles en intervlos no otds Si l unión es otd e integrle se deine: d lim d Si este limite eiste y es inito diremos que l integrl del rimer miemro es onvergente. Si el límite es ininito se die que es divergente Si l unión es otd e integrle en el intervlo [] R d d d Siendo ϵr ritrrio Si los dos límites nteriores son initos entones l integrl es onvergente
25 Integrles de uniones no otds Si no es otd en y es otd e integrle en todo intervlo de l orm [ ε ] siendo ɛ ulquier numero rel ositivo tl que ɛ< d lim d ε Si no es otd en y es otd e integrle en todo el intervlo de l orm [ ε ] siendo ɛ ulquier número rel ositivo tl que -ɛ > d lim ε Si este limite eiste y es inito diremos que l integrl del rimer miemro es onvergente. Si el límite es ininito se die que l integrl es divergente ε ε d
26 Integrles de uniones no otds Si no es otd en el unto ϵ y es otd e integrle en todo intervlo de l orm [ ε] y [ ε ] siendo ε y ε ulesquier números reles ositivos tles que ε > ε < se deine: d ε d d lim d lim ε ε ε d Si los dos límites nteriores son initos entones l integrl es onvergente
27 Integrles Eulerins Funión Gmm de Euler Proieddes > Γ d e Si > el álulo de Г se redue l álulo de Гq on q ϵ Pr estos vlores entre y eisten tls de vlores de l unión sin > Γ Γ Γ Γ Γ π π π
28 Integrles Eulerins Funión Bet de Euler > q d q q β Proieddes os sin > Γ Γ Γ > > q q q q q d q q q q q β β β β π
29 álulo de áres de regiones lns En el lulo de áres hemos de tener resente el signo de l unión integrndo en el intervlo de integrión Si el áre de l región ln delimitd or l urv y ls rets vertiles y el eje de siss: Sen tles que < d. Si or ejemlo y entones el áre de l región ln delimitd or l urv y ls rets vertiles y el eje de siss: ] [ d A d d d d d d d d d d d A ] [ ] [ d ] [ d
30 álulo de áres de regiones lns Si entones el áre de l región ln delimitd or ls urvs y y g y ls rets vertiles : ] [ g [ ] d g A Sen tles que < d. Por ejemlo y entones el áre de l región ln delimitd or ls urvs y y g y ls rets vertiles : [ ] d g A d [ ] [ ] [ ] d d d g d g d g A ] [ ] [ d g ] [ d g
31 Longitud de un ro de urv Si se onsider l urv y donde es un unión de lse uno en [] se verii que l longitud del ro de urv de etremos los untos y viene ddo or: L [ ' ] d
32 Volúmenes de ueros de revoluión onsideremos l región ln delimitd or l urv y ls rets y el eje de siss. Si se he girr est región lrededor del eje de siss se gener un uero denomindo uero de revoluión uyo volumen viene ddo: V π [ ] d
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