SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN A EJERCICIO (1 5 putos) Dada la matriz A 0 1 7, calcule (I 3 A) (1 5 putos) Dadas las matrices B 1 a, C -1, D 5, determie a y b de maera que b B.C - D O, siedo O la matriz ula Dada la matriz A 0 1 7, calcule (I 3 A) I 3 A (I 3 A) 3 (I 3 A).(I 3 A).(I 3 A) De dode (I 3 A) Dadas las matrices B 1 a, C -1, D 5, determie a y b de maera que B.C - D O, siedo O b la matriz ula. 1 a a-1 5 3a-6 B.C D Igualado miembro a miembro teemos: b b b-1 3a 6 0, de dode a. -b 1 0, de dode b - 1. EJERCICIO U baco laza al mercado u pla de iversió cuya retabilidad R(x), e miles de euros, viee dada e fució de la catidad, x, que se ivierte, tambié e miles de euros, por la siguiete expresió: R(x) x + 0 4x + 3 5, co x 10. (0 5 putos) Calcule la retabilidad para ua iversió de euros. (1 5 putos) Deduzca y razoe qué catidad habría que ivertir para obteer la máxima retabilidad. c) (0 5 putos) Qué retabilidad máxima se obtedría? Retabilidad R(x) x + 0 4x + 3 5, co x 10. Observamos que su gráfica es ua parábola co las ramas hacia abajo ( ), pues el úmero que multiplica a x es egativo. Calcule la retabilidad para ua iversió de euros. Como la fució está dada e miles de euros 1

2 teemos que x 100. IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua Retabilidad R(100) (100) + 0 4(100) , es decir ( y (c) Deduzca y razoe qué catidad habría que ivertir para obteer la máxima retabilidad. Sabemos que la máxima retabilidad se obtiee e el extremo x 10, ó e el vértice de la parábola, cuya abscisa es la solució de R (x) 0 R(x) x + 0 4x R (x) x + 0 4, de R (x) 0 obteemos x , de dode x 0 4/ Sustituimos e 10 y 00. R(10) (10) + 0 4(10) , es decir 7400 R(00) (00) + 0 4(00) , es decir La máxima retabilidad es de 43500, y se obtiee co ua iversió de EJERCICIO 3 U jugador laza a la vez u dado y ua moeda. (1 puto) Costruya el espacio muestral de este experimeto aleatorio. (1 puto) Determie la probabilidad del suceso A: El jugador obtiee u úmero par e el dado y cruz e la moeda. c) (0 5 putos) Si sabemos que e la moeda ha salido cara, cuál es la probabilidad de que e el dado haya salido más de 3 putos? Llamamos C, X e i a los sucesos salir cara al lazar la moeda, salir cruz al lazar la maeda y salir el úmero i al lazar el dado Costruya el espacio muestral de este experimeto aleatorio. El espacio muestral es E {1C,C,3C,4C,5C,6C,1X,X,3X,4X,5X,6X} Determie la probabilidad del suceso A: El jugador obtiee u úmero par e el dado y cruz e la moeda. P(A) 3/1 1/4. (º de casos favorables partido º de casos posibles) c) Si sabemos que e la moeda ha salido cara, cuál es la probabilidad de que e el dado haya salido más de 3 putos? P(>3/car 3/6 1/. (º de casos favorables partido º de casos posibles, pero sólo de las caras) EJERCICIO 4 E u distrito uiversitario, la calificació de los alumos sigue ua distribució Normal de media 6 putos y desviació típica de 1 puto. Se seleccioó, aleatoriamete, ua muestra de tamaño 5. (1 puto) Idique la distribució de la media de las muestras de tamaño 5. (1 5 putos) Cuál es la probabilidad de que la media de las calificacioes de los alumos de ua de esas muestras esté compredida etre 6 y 6 6 putos? σ Sabemos que para la media poblacioal μ el estimador media muestral X, sigue ua N(μ, ), σ geeralmete se suele escribir X N(µ, ) Datos media poblacioal μ 6, desviació típica σ 1, tamaño muestra 5 Idique la distribució de la media de las muestras de tamaño 5. A distribució de la media de las muestras es N(µ, σ 1 ) N(6, ) N(6, 1/5) 5

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua Cuál es la probabilidad de que la media de las calificacioes de los alumos de ua de esas muestras esté compredida etre 6 y 6 6 putos? 6-6' 6'6-6' Me está pidiedo p(6 < X < 6 6) {tipificamos} p < Z < 1/5 1/5 p(-1 < Z < ) p(z < ) - p( Z < -1) p(z < ) [ 1 - p( Z < 1)] {mirado e la tabla de la ormal N(0,1) } [ ] OPCIÓN B EJERCICIO 1 (1 5 putos) Dibuje el recito del plao defiido por el siguiete sistema de iecuacioes y determie sus vértices: y 00 x, x 100 3y, x + y 600, x 0. (1 puto) Sabiedo que A(0,), B(1,4), C(3,4), D(4,) y E(,1) so los vértices de ua regió factible, determie e ella el míimo y el máximo de la fució F(x,y) 10x + 5y + 1, e idique los putos dode se alcaza. Dibuje el recito del plao defiido por el siguiete sistema de iecuacioes y determie sus vértices: y 00 x, x 100 3y, x + y 600, x 0. Para dibujar la regió factible o recito, de cada iecuació despejamos la icógita y para dibujar la recta correspodiete, y después observado las iecuacioes tedremos la regió factible. Iecuacioes : y 00 x, x 100 3y, x + y 600, x 0 Rectas: y 00 x, x/3 100/3 y, y -x/ + 300, x 0; x 0 (eje OY) Dibujamos las rectas Si os fijamos e las desigualdades y 00 x, y x/3 100/3, y -x/+300; x 0, vemos que el recito factible, y los vértices A, B, C y D de dicha regió so: 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua De y -x+00 e yx/3-100/3, teemos -x+00 x/3-100/3, es decir -6x+600 x-100, luego 7x 700, por tato x 100 e y -(100)+00 0, y el puto de corte A(00,0) De y -x+00 y x 0, teemos y 00, y el puto de corte B(0,00) De y -x/+300 y x 0, teemos y 300, y el puto de corte C(0,300) De y -x/+300 e y x/3-100/3, teemos -x/+300 x/3-100/3, de dode -3x+1800 x-00, es decir 5x000, luego x 400 e y -(400)/ , y el puto de corte D(400,100) El recito tiee por vértices A(00,0), B(0,00), C(0,300) y D(400,100). Sabiedo que A(0,), B(1,4), C(3,4), D(4,) y E(,1) so los vértices de ua regió factible, determie e ella el míimo y el máximo de la fució F(x,y) 10x + 5y + 1, e idique los putos dode se alcaza. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que la fució F alcaza su máximo y míimo absoluto e la regió acotada, y que este extremo debe estar situado e algú vértice del recito ( o e u segmeto, si coicide e dos vértices cosecutivos), por lo que evaluamos F e los putos ateriores: F(0,) 10(0) + 5() , F(1,4) 10(1) + 5(4) , F(3,4) 10(3) + 5(4) F(4,) 10(4) + 5() , F(,1) 10() + 5(1) Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 71 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e los putos (3,4) y (4,), luego todo el segmeto que ue dichos vértices es solució. El míimo absoluto es 31 y se alcaza e el puto (0,). EJERCICIO 1 - x si x 1 Sea la fució f(x) x - ax + 3 si 1 < x 3. -x + 8x - 15 si x > 3 (0 75 putos) Calcule el valor de a para que f sea cotiua e x 1. (1 75 putos) Para a estudie la cotiuidad y la derivabilidad de f. 1 - x si x 1 Sea la fució f(x) x - ax + 3 si 1 < x 3. -x + 8x - 15 si x > 3 Calcule el valor de a para que f sea cotiua e x 1. Como f es cotiua e x 1 teemos que: f(1) lim x 1- [f(x)] lim x 1+ [f(x)] f(1) lim x 1- [f(x)] lim x 1- [ 1 x ] 1-1 lim x 1+ [f(x)] lim x 1+ [ x - ax + 3] 1 a a. Como es cotiua, igualado teemos -1 4 a, de dode a 5/. 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua Para a estudie la cotiuidad y la derivabilidad de f. 1 - x si x 1 Sea la fució f(x) x - 4x + 3 si 1 < x 3. -x + 8x - 15 si x > 3 1 x es u fució poliómica por tato cotiua y derivable e R, e particular e x < 1. x 4x + 3 es u fució poliómica por tato cotiua y derivable e R, e particular e 1 < x < 3. -x + 8x - 15 es u fució poliómica por tato cotiua y derivable e R, e particular e x > 3.. Veamos primero la cotiuidad. Ya hemos visto que f es cotiua e x 1, si a 5/, luego para a la fució o es cotiua i derivable e x 1. f es cotiua e x 3 si se verifica que: f(3) lim x 3- [f(x)] lim x 3+ [f(x)] f(3) lim x 3- [f(x)] lim x 3- [x 4x + 3] lim x 3+ [f(x)] lim x 3+ [-x + 8x - 15] , por tato f es cotiua e x 3. Luego f es cotiua e R, por tato f es cotiua e R - {1} Sólo os falta ver la derivabilidad x x si x 1-4x si x < 1 f(x) x - 4x + 3 si 1 < x 3. f (x) x - 4 si 1 < x < 3. -x + 8x - 15 si x > 3 -x + 8 si x > 3 Para que f sea derivable e x 3 teemos que: f (3 - ) f (3 + ) Vamos a utilizar la cotiuidad de la derivada que es más rápido f (3 - ) lim x 3- [f (x)] lim x 3- [ - 4x] f (3 + ) lim x 3+ [f (x)] lim x 3+ [-x + 8] Como f (3 - ) f (3 + ), f o es derivable e x 3, luego f es derivable e R {1,3}. EJERCICIO 3 Ua bolsa cotiee 5 bolas blacas, 3 rojas y 4 egras. Aa y Maolo practica el siguiete juego: Aa saca ua bola, aota su color y la devuelve a la bolsa, a cotiuació Maolo extrae ua bola y aota su color. Si las dos bolas extraídas tiee el mismo color gaa Aa, si sólo hay ua bola blaca gaa Maolo, y e otro caso hay empate. (1 5 putos) Calcule la probabilidad de que gae Aa. (1 puto) Calcule la probabilidad de que gae Maolo. c) (0 5 putos) Calcule la probabilidad de que haya empate. Ua bolsa cotiee 5 bolas blacas, 3 rojas y 4 egras. Aa y Maolo practica el siguiete juego: Aa saca ua bola, aota su color y la devuelve a la bolsa, a cotiuació Maolo extrae ua bola y aota su color. Si las dos bolas extraídas tiee el mismo color gaa Aa, si sólo hay ua bola blaca gaa Maolo, y e otro caso hay empate. Llamemos B 1, R 1, N 1, B, R y N, "Aa saca bola blaca, Aa saca bola roja, Aa saca bola egra, Maolo saca bola blaca, Maolo saca bola roja y Maolo saca bola egra Del euciado vemos que p(b 1 ) 5/1, p(r 1 ) 3/1, p(n 1 ) 4/1, p(b ) 5/1, p(r ) 3/1 y p(n ) 4/1. Todo esto se observa mejor e el siguiete diagrama de árbol. Teemos e cueta que como se devuelve la bola, cuado extrae Maolo la bola la composició de la bolsa o ha variado, de ahí que las probabilidades sea las mismas. 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua Calcule la probabilidad de que gae Aa. Aplicado el teorema de la probabilidad total, teemos: p(gaa A p(mismo color) p(b 1 y B ) + p(r 1 y R ) + p(n 1 y N ) (5/1)(5/1) + (3/1)(3/1) + (4/1)(4/1) 5/7. Calcule la probabilidad de que gae Maolo. p(gaa Maolo) p(solo ua blac p(b 1 y R ) + p(b 1 y N ) + p(r 1 y B ) + p(n 1 y B ) (5/1)(3/1) + (5/1)(4/1) + (3/1)(5/1) + (4/1)(5/1) 35/7. c) Calcule la probabilidad de que haya empate. p(empate) p(cualquier otro caso) p(r 1 y N ) + p (N 1 y R ) (3/1)(4/1) + (4/1)(3/1) 1/6. EJERCICIO 4 ( 5 putos) U estudio sociológico afirma que el 70% de las familias cea viedo la televisió. Se desea cotrastar la veracidad de esta afirmació y, para ello, se toma ua muestra de 500 familias, e la que se observa que 340 ve la televisió mietras cea. Decida, mediate u cotraste de hipótesis, si la afirmació es cierta co u ivel de sigificació de (, ( y (c) Datos del problema: p 0 70% 0 7; 500; p 340/ ; α 0 01 Etapa 1: Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : p (el 70% cea viedo la TV) y H 1 : p 0 0 7, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir es u cotraste de hipótesis bilateral por tato la regió crítica tambié es bilateral. 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua Etapa : El ivel de sigificació es α 0 01, de dode α/ 0 005, luego teemos 1 - α/ 0,995. De p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o aparece e las tablas. El valor más próximo es , que correspode a z 1-α/ 58, co lo cual teemos dos valores críticos, el valor crítico z 1-α/ 58 y el valor es z α/ -z 1-α/ - 58; por tato la regió crítica está formada por los úmeros mayores de 58 y tambié por los úmeros meores a - 58, que separa las zoas de aceptació y rechazo. ˆp - p0 Etapa 3 y 4: E este caso el estadístico de prueba es Z, que sigue ua ormal tipificada p 0.(1-p 0) ˆp - p0 0'68-0'7 N(0,1), y el valor observado del estadístico de prueba será el úmero z 0 p 0.(1-p 0) 0'7.0' Etapa 5: Como el valor observado del estadístico de prueba z es mayor que el valor crítico z α/ -,58, vemos que se ecuetra e la zoa de aceptació. Por tato, tomamos la decisió de aceptar hipótesis ula H 0 : p Co lo cual co ua probabilidad de equivocaros del 1% afirmamos que el 70% de las familias cea viedo la TV. 7