Reloj de Sol de Cuadrante Analemático

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1 Extraído de.:. EIDiGn.:. Reloj de Sol de Cuadrante Analemático Reloj de Sol de Cuadrante Analemático - Teoría - Fecha de publicación en línea: Viernes 9 de enero de 2015 Descripción: Descripción Fases del proyecto: 1ª) Determinación de la dirección Norte-Sur 2ª) Fundamentos de reloj solar analemático 3ª) Trazado de la elipse y de los puntos correspondientes Copyright a.:. cada EIDiGn hora.:. - Todos derechos reservados 4ª) Posición del gnomon sobre la línea NS 5ª) Determinación de la hora oficial Copyright.:. EIDiGn.:. Page 1/15

2 Figura 1Funcionamiento del Cuadrante Analemático Descripción Se trata de un reloj de sol con un cuadrante horizontal elíptico asociado a un gnomon móvil vertical a lo largo del eje menor de la elipse, estando dicho eje menor en dirección NORTE-SUR. El cuadrante se construye directamente sobre el suelo y es el propio observador el que, haciendo de gnomon móvil, se desplaza por unas posiciones sobre el eje menor de la elipse dependientes de la fecha, desde las cuales proyecta su sombra sobre la elipse. Esta característica permite instalar el reloj en una zona de paso, sin construcciones que impidan usar el espacio para otras actividades. La hora oficial, es decir la hora de nuestros relojes mecánicos, se determina así: Hora oficial = hora solar + corrección gubernamental Hay que sumar: 1 h en horario de invierno y 2 h en horario de verano + ecuación del tiempo + corrección por longitud (en el caso de Santander, 3'804 O). 1ª fase: Determinación de la dirección Norte-Sur Introducción: consecuencias del movimiento de rotación de la Tierra en torno a su eje y de traslación en torno al Sol. Figura 2Consecuencias de los movimientos de rotación y traslación de la Tierra. Copyright.:. EIDiGn.:. Page 2/15

3 Aceptando que el movimiento de rotación de la Tierra es uniforme, con un período T = s, si la Tierra no se trasladase, entonces los días tendrían siempre dicho período, y de un mediodía en una localidad al mediodía siguiente en dicha localidad transcurrirían T segundos. Ahora bien, como la Tierra además de girar se traslada sobre la eclíptica, sucede que, cuando han trascurrido T segundos y la Tierra ha dado una vuelta completa sobre sí misma, el meridiano de referencia del mediodía en una localidad todavía no se ha situado frente al Sol, y aún debe transcurrir un tiempo adicional hasta hacerlo. Eso provoca que el día tenga una duración T' > T. Además cuanto más deprisa se traslade la Tierra por la eclíptica mayor será el tiempo que debemos esperar hasta completar el día solar verdadero del lugar. La velocidad de traslación de la Tierra por la eclíptica se ajusta a la 2ª Ley de Kepler y por tanto es una velocidad variable; así, la duración del día solar verdadero depende del día y del mes. Nociones de Astronomía La esfera celeste es la semiesfera aparente que se apoya en el horizonte del observador y de la que éste ocupa el centro. Un punto de observación es un lugar sobre la superficie de la Tierra en el que estará asentado el reloj de sol, y un observador es la persona que se encuentra en ese punto. La línea vertical que pasa por el punto de observación sobre la Tierra corta la esfera celeste en los puntos denominados Cenit y Nadir. El horizonte aparente es un plano ideal tangente a la esfera terrestre en el punto de observación. El meridiano celeste o vertical sur de un punto terrestre, es el círculo máximo de la esfera celeste que pasa por los polos celestes y por el cenit del punto terrestre. El plano meridiano de un observador terrestre es el plano que contiene al cenit y pasa por los polos celestes y contiene al punto de observación. Copyright.:. EIDiGn.:. Page 3/15

4 Figura 3 El Sol en su movimiento diurno aparente alcanza cada día la máxima altura sobre el horizonte cuando el centro del disco solar pasa por el plano meridiano del lugar de observación. La línea de intersección del plano meridiano con el plano horizontal, es la línea meridiana. Los dos extremos de la línea meridiana determinan en el horizonte los puntos cardinales Norte y Sur. Procedimientos para trazar la meridiana Copyright.:. EIDiGn.:. Page 4/15

5 1 - Sombra del gnomon sobre un plano horizontal Figura 4 En la figura 4, el punto b representa el lugar donde nos encontramos, ns es la línea Norte- Sur. El punto del firmamento donde se encuentra el Sol cuando es mediodía solar está representado por p y el plano del horizonte por emo. El plano vertical que contiene al triángulo bmp al proyectarlo sobre el plano del horizonte, determina la dirección N-S. Ya que no podemos trazar en el espacio ni son visibles las líneas del triángulo bmp que nos indicaría por donde va nuestra línea meridiana, trataremos de encontrarla gráficamente. Copyright.:. EIDiGn.:. Page 5/15

6 Figura 5 Observemos la fig 5. Cerca de donde coloquemos el cuadrante de nuestro reloj, elegimos una superficie lisa y bien nivelada, donde fijaremos una varilla de 1m de largo, de forma que quede vertical. Durante el intervalo de unas dos horas antes y dos horas después del mediodía, y aproximadamente cada quince minutos, se señalarán los puntos donde termina la sombra proyectada por la varilla. Transcurrido dicho tiempo, uniremos con una línea hecha a pulso todos los puntos dados por el extremo de la sombra, y de esta manera obtendremos la línea curva AB de nuestra figura. Hacia uno de los extremos de esta curva señalaremos el punto C, y tomaremos la distancia que le separa del punto X (pie de la varilla de 1 m). La misma distancia la trasladamos desde X al otro extremo de la curva y obtendremos el punto D. Con una punta de compás en C y con abertura convencional de compás marcaremos el arco F, luego repetimos la operación desde el punto D con la misma abertura y obtendremos el arco E. Desde el punto de intersección Z de ambos arcos, y pasando por X, trazamos la recta NS, la cual, marcada en Tierra y prolongada a conveniencia, nos indicará la orientación de nuestro meridiano celeste. Toda la labor anterior nos ha permitido encontrar la bisectriz del ángulo CXD; bisectriz que viene a ser el radio mas corto que desde X se puede trazar a la línea AB. Y como este radio más corto equivale a la longitud de sombra más corta producida por la varilla plantada en X, esto nos confirma que en aquel instante el Sol se encontraba en el punto más alto de su curso diurno, hecho que se produce para el observador cuando el Sol pasa por el meridiano Copyright.:. EIDiGn.:. Page 6/15

7 celeste del lugar: he aquí por qué la línea NS nos indica la dirección Norte-Sur. 2 - Procedimiento alternativo para determinar la meridiana Se coloca un gnomon perpendicular a la superficie horizontal sobre la cual se situará el cuadrante. Se trazan una serie de círculso que tienen como centro el pie del gnomon. En cada círculo se marca el punto correspondiente a la sombra del extremo del gnomon, tanto antes del mediodía verdadero como después. La sombra que aparece sobre el círculo de menor radio se une con el pie del gnomon y esa línea nos indica la dirección N-S. 3 - Determinación de la meridiana conociendo la hora del mediodía verdadero Si se conoce la hora del mediodía verdadero local la meridiana coincide con la sombra proyectada en el instante del mediodía verdadero por un gnomon colocado verticalmente sobre el plano horizontal d. 2ª fase: Fundamentos de reloj solar analemático Figura 6 Partimos del reloj de cuadrante ecuatorial. El cuadrante es paralelo al Ecuador y forma con el horizonte un ángulo igual a la colatitud del lugar, con el vértice en dirección Norte. El estilo es perpendicular al plano del cuadrante y por consiguiente paralelo al eje terrestre. El cuadrante ecuatorial se proyecta sobre la superficie horizontal. Sea C el círculo graduado de radio R de un cuadrante ecuatorial. Este círculo se encuentra sobre una superficie paralela al ecuador y su gnomon es perpendicular a esta superficie. Sobre este cuadrante, los horas están señaladas regularmente cada 15º y la sombra de un punto del gnomon describe en el curso del día un círculo de centro O por encima de la superficie en primavera y verano y por debajo en otoño e invierno. Durante los equinoccios, los rayos del Sol son paralelos al cuadrante. El ángulo de los rayos del Sol con relación a la superficie del cuadrante corresponde a la declinación D del Sol (su variación es muy pequeña en el curso de un día y se despreciará). Copyright.:. EIDiGn.:. Page 7/15

8 Figura 7 Sea E el punto de intersección del gnomon con el rayo de Sol que recorre el círculo C durante el día. E se encuentra a una altura R.tg D por encima del cuadrante ecuatorial. La longitud del gnomon está limitada a R.tg Copyright.:. EIDiGn.:. Page 8/15

9 (23'5º) por encima del cuadrante en el solsticio de verano y a R.tg (-23'5º) por debajo del cuadrante en el solsticio de invierno. Si se proyecta este círculo C y su gnomon sobre un plano horizontal, se obtiene una elipse C' de centro O' y de eje mayor 2R y de eje menor 2 R sen (») siendo» = latitud del lugar. El punto E se proyecta en E' sobre el semieje de la elipse a una distancia de O'=R.tg D. cos (»). Si se coloca un gnomon vertical en E', el rayo de Sol que pase por este gnomon en E'' y por la elipse en F' será paralelo a EF. El plano EFF'E'' es vertical. El punto F que indica la hora sobre el cuadrante ecuatoriales proyectado en F' sobre la elipse. La sombra E'F' del gnomon sobre la superficie horizontal indica la hora cortando a la elipse en F'. EFF'E'' forma un paralelogramo, F'E''será pues siempre igual a FE, longitud que no cambia a lo largo del día. La longitud del rayo de Sol F'E'' entre el gnomon y la elipse no varía durante el día y es igual a R/ cos D. 3ª fase: Trazado de la elipse y de los puntos correspondientes a cada hora Cuando se proyecta el círculo graduado de radio R de un cuadrante ecuatorial sobre el plano horizontal se obtiene una elipse de semieje mayor R y de semieje menor R.sen» siendo» la latitud del lugar. Sea O el centro de la elipse. Dibujamos un sistema de ejes perpendiculares que pasan por O, estando el eje mayor orientado hacia el Este ( eje X y de longitud 2R) y el eje menor orientado hacia el Norte (eje Y con una longitud de 2 R.sen»). Un punto de la elipse en coordenadas cartesianas viene dado por x = R. sen H y = R.sen». cos H donde H representa el ángulo horario del Sol, puesto que si las coordenadas del punto F en el plano ecuatorial son R.senH ( en la dirección perpendicular a NS) y R.cosH ( en la dirección NS), al realizar la proyección de dicho punto F al plano horizontal la coordenada R.senH no sufre ninguna alteración,en cambio la coordenada R.cosH se reduce a R.cosH.sen» y en consecuencia las coordenadas del punto F' serán: R.senH sobre el eje mayor de la elipse y por tanto en dirección perpendiculara NS) y R.cosH.sen» (sobre el eje menor de la elipse y por tanto en la dirección NS). Cuando sea mediodía solar H= 0º, cuando sean las 13 horas solares H = 15º y, cuando sean las 11 horas solares H = -15º, etc. Procedimiento Dibujar dos ejes perpendiculares en la zona elegida para la ubicación del cuadrante, de forma que uno de los ejes coincida con la dirección N-S. Estos ejes serán los ejes de una elipse de forma que el semieje menor tendrá una longitud de R.sen» y en dirección N-S, mientras el semieje mayor tendrá una longitud R, siendo R = 2 m y»=43'465º. Los focos de esta elipse, están en el eje mayor a unas distancias a izquierda y derecho del centro de c= ( R2 - R2 Copyright.:. EIDiGn.:. Page 9/15

10 sen2»)1/2 = R. cos»= 1'45 m Dibujamos la elipse por el método del jardinero. Finalizamos señalando los puntos de la elipse correspondientes a cada hora de acuerdo con los valores de la tabla adjunta. Semieje mayor: R = 2m Semieje menor: 1'38 m Hora Hº X(m) Y(m) Hora Hº X(m) Y(m) ª fase: Posición del gnomon sobre la línea Norte-Sur La posición del gnomon E'E'' sobre la línea NS viene dado por la distancia O'E' = OE.cos» =(RtgD).cos». Resumiendo la posición viene dada por la expresión: y = R. cos».tg D siendo D la declinación del Sol, la cual varía a lo largo del año (ver tabla de declinaciones solares). Ejemplo: Santander: Latitud Norte:43'465º; Longitud Oeste:-3'804º. Si tomamos como semieje mayor: R = 2m y por tanto como semieje menor: R.sen» =2.sen(43'465º) =1'38 m; Semieje r: R = 2m Semieje menor: 1'38 m Copyright.:. EIDiGn.:. Page 10/15

11 Día Declinación Pos. gnomon Día Declinación Pos. gnomon 1 Ene. -23'06º - 0'62 m 1 Julio 23'15º 0'62 m 1 Febr. -11'23º - 0'29 m 1 Agos. 18'17º 0,48 m 1 Mar. -7'82º - 0'20 m 1 Septi. 8'5º 0'22 m 1 Abr. 4'3º 0'11 m 1 Octu. -2'95º - 0'07 m 1 Mayo 14'9º 0'39 m 1 Novi. -14'24º m 1Jun. 21'96º 0'58 m 1 Dici. -21'72-0'58 m Si semieje mayor: R = 2'5m Semieje menor : 1'72 m Día Declinación Pos. gnomon Día Declinación Pos. gnomon 1 Ene. -23'06º - 0'77 m 1 Julio 23'15º 0.77 m 1 Febr. -11'23º - 0'36 m 1 Agos. 18'17º 0'59 m 1 Mar. -7'82º - 0'25 m 1 Septi. 8'5º 0'27 m 1 Abr. 4'3º 0.14 m 1 Octu. -2'95º -0'09 m 1 Mayo 14'9º 0.48 m 1 Novi. -14'24º m 1Jun. 21'96º 0.73 m 1 Dici. -21'72-0'72 m Si semieje mayor: R = 3m Semieje menor : 2'06 m Día Declinación Pos. gnomon Día Declinación Pos. gnomon 1 Ene. -23'06º -0'93 m 1 Julio 23'15º 0'93 m 1 Febr. -11'23º -0'44 m 1 Agos. 18'17º 0'71 m 1 Mar. -7'82º -0'30 m v1 Septi. 8'5º 0'32 m 1 Abr. 4'3º 0'16 m 1 Octu. -2'95º - 0'11 m 1 Mayo 14'9º 0'58 m 1 Novi. -14'24º - 0'55 m 1Jun. 21'96º 0'88 m 1 Dici. -21'72 0'86 m Copyright.:. EIDiGn.:. Page 11/15

12 5ª fase: Determinación de la hora oficial Los relojes de Sol nos proporcionan una hora que nunca coincide con la hora oficial o civil que es la que señalan los relojes mecánicos. Los relojes mecánicos marchan a un ritmo uniforme, en cambio, el movimiento aparente del Sol no se realiza con rapidez constante, lo cual hace que una veces marche por delante y otras veces por detrás en relación a la hora civil. Si queremos obtener la hora oficial a partir de la hora solar, debemos una vez conocida esta, realizar las siguientes correcciones: 1ª corrección: Corrección por la longitud 3'804º Oeste de la ciudad de Santander. Si nos imaginamos la esfera terrestre dividida en 24 husos horarios de 15º, con un meridiano central que divide cada huso horario en dos partes iguales de 7'5º hacia el Este y 7'5º hacia el Oeste, el horario por el que se rige cada huso es el del meridiano central de cada huso. Desde 1901, España se rige por el meridiano de Greenwich (precisamente el meridiano Universal 0º) de forma que cuando en éste es una determinada hora de tiempo civil, entonces es la misma hora en toda la península y en Baleares pues ambas están incluidas en el huso horario con meridiano central en Greenwich, no importando que el Sol haya ya pasado por todos los lugares situados al Este del meridiano central de nuestro huso horario o que aún le falte por llegar a los puntos situados al Oeste del meridiano central. Como el Sol tarda 1 hora en recorrer los 15º del huso horario, concluimos diciendo que cuando el Sol pasa por el meridiano central de nuestro huso horario y el reloj de pulsera marca las 12 h, en nuestro reloj de sol instalado en el patio este del IES "Las Llamas" todavía no son las 12 horas pues aún el Sol debe recorrer los 3'804º de longitud Oeste que separan al meridiano central de nuestro huso horario del meridiano que pasa por nuestra posición: La corrección: (24 h /360º) x (3'804º) x (60 min/ 1h) = 15'2 min 2ª corrección: debida a la ecuación del tiempo La velocidad aparente del Sol no es constante a lo largo del año. El fenómeno se debe 1º) a la excentricidad de la órbita terrestre, la cual origina que nuestro planeta tenga diferente velocidad a lo largo del año y 2º) a que el plano del ecuador terrestre está inclinado con respecto al plano de su órbita en torno al Sol. Para armonizar este desacuerdo, los astrónomos idearon un "Sol ficticio" el cual recorre la esfera celeste a velocidad constante. Para determinar esta corrección utilizar gráfica de ecuación del tiempo 3ª Corrección: la gubernamental Sumar 1 h en horario de invierno y 2 h en horario de verano. Copyright.:. EIDiGn.:. Page 12/15

13 Ejemplo 1º: Tomemos la fecha 31 de marzo; la 1ª corrección por longitud oeste de la posición del reloj nos indica que a la hora indicada por el reloj de sol debemos añadir cantidad aproximadamente de 15 min, que es el tiempo empleado por el Sol en trasladarse desde el meridiano de Greenwich hasta el meridiano del lugar del IES "Las Llamas"; la 2ª corrección procedente de la ecuación del tiempo nos indica + 4 min, cantidad que debemos sumar a la hora que indica el reloj solar; la 3ª corrección procedente del gobierno nos indica que debemos añadir 2 horas a la indicada por el reloj solar. Así, si el reloj solar indica 11 h, como consecuencia de las anteriores correcciones, la hora civil será 13h 19min. Ejemplo 2º: determinación de la hora del mediodía verdadero Cuándo pasará el Sol verdadero por el meridiano del lugar el 31 de Marzo, es decir cuando será mediodía solar verdadero en el lugar de asentamiento del reloj de sol? La ecuación del tiempo nos dice que el sol verdadero circula con retraso de 4 min, es decir que sería mediodía realmente a las 12h 4 min. Por otra parte nuestro meridiano ocupa una posición al Oeste del meridiano de Greenwich por lo cual el Sol tarda en llegar 15 min. Por lo tanto hasta las 12h 19min no será mediodía en nuestro meridiano. Si tenemos en cuenta la corrección gubernamental de dicho día debemos añadir 2h y por tanto será mediodía en nuestra posición a las 14h 19min. Día Tabla Enero de declinaciones Febrero Marzo solares Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre 1-23'05º -17'28º -7'83º 4'28º 14'87º 21'95º 23'13º 18'17º 8'52º -2'92º -14'20º -21'68º 10-22'05-14'55º -4'37º 7'68º 17'43º 22'95º 22'3º 15'75º 5'18º -6'38º-16'93º -22'83º 20-20'25-11'15º -0'42º 11'28º 19'83º 23'42 20'77º 12'65º 1'35º -10'08º -19'53º -23'4º Copyright.:. EIDiGn.:. Page 13/15

14 Figura 8 Copyright.:. EIDiGn.:. Page 14/15

15 Figura 9 Copyright.:. EIDiGn.:. Page 15/15