1. L U G A R E S G E O M É T R I C O S E N E L P L A N O

Transcripción

1 L U G A R E S G E O M É T R I C O S. C Ó N I C A S 1. L U G A R E S G E O M É T R I C O S E N E L P L A N O Se define un lugar geométrico como el conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada propiedad. 1) Mediatriz de un segmento: Se define la mediatriz de un segmento que pasa por su punto medio. AB como la recta perpendicular al segmento La definición de mediatriz nos permite calcular su ecuación, pero también podremos calcularla a través de la propiedad que cumplen todos sus puntos, es decir, como lugar geométrico. Propiedad de la mediatriz: Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento. Esta propiedad nos permitirá escribir la ecuación de la mediatriz con solo traducirla a lenguaje geométrico del siguiente modo. Sea y ) un punto cualquiera de la mediatriz. Por tanto ha de cumplir que: d ( X, A )=d ( X, B ) Ejemplo: Escribir la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(-3,4) y B(1,0) Utilizando la definición: Punto medio de AB: M, ( 1,) Recta AB: AB=B A=(1,0 ) ( 3,4)=( 4, 4) Vector director de la mediatriz: (1,1) Ecuación de la mediatriz: x-y+3=0 - Mediante el lugar geométrico: Mediatriz d( X, A) d( X, B), traduciendo la expresión a coordenadas: (x+3) +( y 4) = ( x 1) + y ( x+3) +( y 4) =( x 1) + y x +6x+9+ y 8 y+16=x x+1+ y 8 x 8 y+4=0 x y+3=0 ) Bisectriz de un ángulo: Es la recta que divide a este en dos ángulos iguales. Matemáticas I Tema 9. Lugares geométricos. Cónicas - 1

2 Propiedad de la bisectriz: Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo. Al igual que antes, para calcular la ecuación de la bisectriz podremos utilizar su definición, o traducir su propiedad a lenguaje geométrico. En este caso, si X(x, es un punto cualquiera de la bisectriz, ha de cumplir que: d ( X, r)=d ( X, s), donde r y s son las rectas que determinan los lados del ángulo. Ejemplo: Calcular la ecuación de la bisectriz del ángulo formado por las rectas r 4x 3y 5 0 y s 3x 0. El cálculo de la bisectriz mediante la definición es mucho más largo que mediante el lugar geométrico, por lo que sólo la calcularemos de este última manera: Bisectriz d( X, r) d( X, s), traduciendo la expresión a coordenadas: 4 x+3 y 5 3 x+4 y = x+3 y 5 3 x+4 y = 4 x +3 y 5 = 3 x+4 y 5 5 Para eliminar el valor absoluto debemos considerar dos posibilidades: 4x 3y 5 3x x y 3 0 4x 3y 5 (3x ) 4x 3y 5 3x 7x 7 y 7 0 x y 1 0 que corresponden a las bisectrices de los dos ángulos distintos que determinan las rectas.. L A S C Ó N I C A S C O M O L U G A R E S G E O M É T R I C O S Un conjunto importante de curvas que tienen una gran importancia en la vida cotidiana son las denominadas cónicas. Estas curvas tienen en común que surgen de la intersección de un plano con una superficie cónica. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Matemáticas I Tema 9. Lugares geométricos. Cónicas -

3 La importancia de estas curvas reside en que tienen propiedades de muy útil aplicación en la vida diaria, por ejemplo las trayectorias de los planetas siguen una trayectoria elíptica o las antenas parabólicas cogen la forma de la parábola para diseñar su estructura. Estudiaremos estas curvas, no como secciones de una superficie cónica, sino como lugares geométricos..1. C I R C U N F E R E N C I A D E C E N T R O C Y R A D I O r Encontrar la ecuación de una circunferencia de centro C y radio r es muy sencillo si conocemos la propiedad que cumplen sus puntos: La circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro C una longitud r. Esto es: Si es un punto cualquiera de la circunferencia, ha de cumplir que: d( X,C )=r Ejemplo: Calcular la ecuación de la circunferencia de centro C ( 3,) y radio r 5. X ( x, y ) Circunferencia d ( X,C )=r. Es decir: (x+3) +( y ) =5 ( x+3) +( y ) =5 x +6 x+9+ y 4 y+4=5 x + y +6 x 4 y 1=0 Ecuación de la circunferencia de centro ( 3,) y radio 5 Este procedimiento nos va a permitir escribir la ecuación general de una circunferencia de centro C=(a,b ) y radio r: Circunferencia d( X, C) r, con lo cual: (x a) +( y b ) =r ( x a) +( y b ) =r Ecuación reducida de la circunferencia Desarrollando: x ax a y by b r x y ax by a b r 0 Que la escribiremos de la forma: x + y + Ax+By+C=0 Ecuación general de la circunferencia de centro (a,b) y radio r Observaciones: 1) La ecuación de la circunferencia es una expresión algebraica de grado dos en dos variables, x e y, donde los coeficientes de x e y son siempre 1(o iguales para poder simplificar la expresión), y además carece siempre de término xy. ) A partir de la ecuación general de la circunferencia podremos obtener el radio y las coordenadas del centro procediendo de la siguiente manera: Coordenadas del centro: (a,b)= A B, Es evidente que habrá circunferencia si a b C 0. Matemáticas I Tema 9. Lugares geométricos. Cónicas - 3

4 .. E L I P S E. E C U A C I Ó N Y E L E M E N T O S Se define la elipse como el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la suma de distancias a dos puntos fijos denominados focos, es una cantidad constante (a). Veremos el caso en el que los focos son dos puntos ubicados sobre el eje X y simétricos respecto del origen. Tomaremos estos puntos con coordenadas F=(c,0) y F '=( c,0). - Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes. - Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es c. En la elipse podemos distinguir los siguientes elementos: - Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría. - Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría. - Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatriz del segmento que une los focos. - Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c. - Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a. - Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b. Elipse d( F, X ) d( F', X ) a Teniendo esto en cuenta, la Ecuación canónica o reducida de la elipse es Se cumple que b a c y c<a La elipse tiene un parámetro denominado excentricidad, e, que designa el achatamiento c de la elipse. Se define por e. El valor de este parámetro varía entre 0 y 1 (pues c a ) a y cuando la excentricidad toma el valor 0 indica que la elipse es una circunferencia. Por lo tanto, la circunferencia no es más que un caso particular de la elipse donde los ejes son iguales. Ejemplo: Calcular la ecuación de la elipse de focos F (3,0) y F ' ( 3,0) la constante a 10 : Si a=10 a=5 A=(5,0) A '=( 5,0)} b =a c b= 5 3 = 16=4 B=(0,4) B'=(0, 4) x y x y Entonces, la ecuación reducida de la elipse es x a + y b =1, sabiendo que 3 e 1 5 Si la elipse no está centrada en el origen, o los focos están sobre el eje de ordenadas, la ecuación reducida será: Matemáticas I Tema 9. Lugares geométricos. Cónicas - 4

5 .3. H I P É R B O L A. E C U A C I Ó N Y E L E M E N T O S Se define la hipérbola como el lugar geométrico de los puntos del plano, en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, es una cantidad constante (a). Veremos el caso en el que los focos son dos puntos ubicados sobre el eje X y simétricos respecto del origen. Tomaremos estos puntos como de coordenadas F (c,0) y F' ( c,0). Hipérbola d( F, X ) d( F', X ) a, que operando quedaría: x y a b =1, con b c a y a c Ecuación canónica o reducida de la hipérbola En las hipérbolas podemos distinguir ciertos elementos comunes: B(0,b) Focos (F y F'): Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma. Eje focal, principal o real: Recta que pasa por los focos. Eje secundario o imaginario: Mediatriz del segmento que une los dos focos. Centro (O): Punto de intersección de los ejes B'(0,-b) focal y secundario. Semidistancia focal (c): La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Distancia focal (c): Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Los vértices (A y A'): Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal. Semieje real (a): Segmento que va desde el origen O hasta cualquiera de los vertices A o A'. Semieje imaginario (b). Matemáticas I Tema 9. Lugares geométricos. Cónicas - 5

6 El valor de la excentricidad en el caso de la hipérbola es siempre mayor que 1, pues c a Ejemplo: Calcular la ecuación de la hipérbola de focos F (,0) y F ' (,0), sabiendo que la constante a : Si a= a=1 A=(1,0) A '=( 1,0)} b =c a b= 1 = 3 B'=(0, B=(0, 3) 3) Asíntotas: y 3x x y x y Entonces, la ecuación reducida de la hipérbola es ( 3) 1 3 e 1 1 Si la hipérbola no está centrada en el origen, o los focos están sobre el eje de ordenadas, la ecuación reducida será: Hipérbola de eje focal vertical centrada en el origen Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P(x 0,y 0 ).4. P A R Á B O L A. E C U A C I Ó N Y E L E M E N T O S Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos del plano, que equidistan de un punto fijo denominado foco, y de una recta d denominada directriz de la parábola. Los elementos de la parábola son: Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz. Directriz: es la recta fija d. Los puntos de la parábola equidistan de la directriz y el foco. Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de los puntos de la parábola. Eje: es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Matemáticas I Tema 9. Lugares geométricos. Cónicas - 6

7 Parámetro (p): Es la distancia desde el foco al punto más próximo de la directriz. (p=c) Vértice: es el punto V de la intersección del eje y la parábola. Semidistancia focal: c Las parábolas siempre tienen excentricidad 1. Veremos el caso en el que el foco está situado sobre el eje X y la directriz es una recta paralela al eje de ordenadas. Tomaremos el foco F=(c,0) y la directriz x= c. Veamos la ecuación canónica o reducida de la parábola: Parábola d( X, F) d( X, r), que traduciendo a coordenadas y operando: y = px Ejemplo: Calcular la ecuación de la parábola de foco F (,0) y vértice V (0,0) : Si F=(,0) y V =(0,0) c= directriz x= El parámetro p c p 4 Entonces, la ecuación reducida de la parábola es Otros casos particulares: y 8x. En general, una parábola de eje vertical puede expresarse de la forma y= ax²+bx+c. Su vértice es el punto cuya abscisa es x= b a. Si a>0, las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba. Si a<0, las ramas de la parábola están dirigidas hacia abajo. Matemáticas I Tema 9. Lugares geométricos. Cónicas - 7

8 E J E R C I C I O S 1. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro O y radio r en los siguientes casos: a) O(3,1), r = 4 b) O(-4,), r = 1 c) O(0,0), r = 3. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro O(-1,-5) y que pasa por el punto P siendo: a) P(-3,0) b) P(0,0) c) P(0,) 3. Escribe la ecuación de la circunferencia en la que AB es uno de sus diámetros: a) A(3,1), B(-5,7) b) A(4,0), B(0,-6) 4. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro O(-4,3) y tangente a la recta s x y Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: P(-1,-3), Q(1,5) y C (0,-). 6. Indica cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a una circunferencia e indica en ellas el centro y el radio. a) x y 16x 8y 60 0 d) x y 1x 16y 60 0 b) x y 4x 7 0 e) x y y 4 0 c) x y 6x 0 0 f) 4x Escribe la ecuación de la elipse y halla sus elementos característicos en los siguientes casos: a) Focos (,0) y (-,0) y constante k=1. b) Semieje mayor a =8, semieje menor b=5, focos en el eje X. c) Eje mayor a =0, excentricidad e=0,4; focos en el eje X. d) Focos (0,4) y (0,-4) y constante k=10. e) Semieje mayor a =4, semieje menor b=3, focos en el eje Y. f) Eje mayor a =10, excentricidad e =0,6; focos en el eje Y. 8. Escribe la ecuación de la hipérbola y halla sus elementos característicos en los siguientes casos: a) Focos (5,0) y (-5,0) y a =6. b) a =1, c=15, focos en el eje X. c) Uno de sus focos es (4,0), excentricidad e =; focos en el eje X. d) Focos (0,4) y (0,-4) y constante k=6. e) a =, excentricidad e=,5; focos en el eje Y. 9. Escribe la ecuación de la parábola y halla sus elementos característicos en los siguientes casos: a) Foco (3,0) y directriz x= - 3. b) Foco (,0) y vértice (0,0). Matemáticas I Tema 9. Lugares geométricos. Cónicas - 8

9 c) Foco (-4,0) y directriz x 4. d) Foco (0,3) y directriz y= 3. e) Foco (0,-) y directriz y. f) Directriz y 5 y vértice (0,0). 10.Clasifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y represéntalas: a) y x e) 3x y 0 b) x y 4 f) x 3y 3 c) 4 x 3y 0 g) 4y 16x 64 d) 4x 1 h) x 3y 0 11.Hallar el lugar geométrico de los puntos P del plano, tales que A(-1,-1) y B (,0) verifican la relación 3PA PB Dados los puntos A(0,) y B (4,0), hallar el lugar geométrico de los puntos C del plano, tales que el ángulo ACB sea recto. 13.Dados los puntos A(1,1) y B (5,), hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que PA la razón de las distancias a A y a B sea 3, es decir 3. PB Matemáticas I Tema 9. Lugares geométricos. Cónicas - 9