( ) ( ) RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN SEMANA 9 RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA RPTA.: C

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1 SEMANA 9 RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 1. En un circunferenci de centro O se ubicn los puntos A y B; luego se ubic M en AB tl que: AB = 9 m, AM = MO = 4m; clcule BO: A) 4m B) 5 m C) 6 m D) 7 m E) 8 m BM = 99; AM = 1 Piden: BC = * Se observ: CQ = BM = 99 QD = AM = 1 Teorem de l tngente: ( AN) = ( ND) = ( 100) ( 1) AN = ND = 10 BC = = 0 3. Ddo un cudrnte AOB; se ubic el punto M en l prolongción de OB tl que AM intercept l rco AB en N ; clcule MN si: OB = 3 m y MB = 1 m. A) 1 m B) m C) 3 m D),8 m E) 1, 4 m AM = MO = 4 AB = 9 MB = 5 Piden: BO = r MO MN = r 4 * Prolongmos: 4 5 = r + 4 r 4 Resolviendo: r = 6. Por lo vértices B y C de un rectángulo ABCD se trz un circunferenci tngente AD que intersect BA en M ; clcule BC, si BM = 99 m y AM = 1m A) 10 m B) 15 m C) 0 m D) 5 m E) 100 m Q 3 A 3 O OB = 3 OA =3 BN = 1 OM = 4 AM = 5 Piden: MN = * Prolongmos el rco AB y BO Teorem de ls Secntes: 5 = N 5 B 1 M 4. En un trpecio isósceles ABCD; clcule AC si: AB = CD = 4m; BC= 5 m y AD = 4 5m. A) 4 m B) 8m C) 3 5m D) 6 m E) 5 m

2 AB = CD = 4; BC = 5; AD = 4 5 Piden: AC = * Por isósceles AC = BD = Por ABCD es inscriptible = 6 Teorem de Ptolomeo: = ( 4 5) RPTA.: D 5. Dds circunferencis tngentes eteriores en E ; se trz un rect tngente un de ells en D que intercept l otr circunferenci en B y A ; B AD; l rect tngente común interior intercept BD en C ; Clcule DC si: = DB DA 5 A),5 B) 5 C) 10 D) 15 E) = b Reemplzndo: = ( b ) ( ) Ordenndo: = b Del dto: = 5 6. En un prlelogrmo ABCD, l circunferenci circunscrit l triángulo ACD intercept en E l prolongción de DB; clcule EB si: AC = 1 m y BD = 8m. A) 6 B) 4 C) 3 D) E) 5 AC = 1; BD = 8 Piden: EB = * ABCD: prlelogrmo AO = OC = 6 BO = OD = 4 Teorem de ls Cuerds: = 6 6 = 5 7. En un triángulo ABC; se trz l ltur BH ( H AC );BC = AC; BC AH = 8m. Clcule AB. A) 4 m B) m C) 6 m D) 8 m E) m Piden: DC = * Teorem de Tngente: ( CE) = ( AC) ( BC)

3 BC = AC = ; m = 8 9. Se tienen dos circunferencis eteriores, se trzn ls rects tngentes comunes eteriores AB y CD, A y C en un mism circunferenci; clcule l rzón entre ls longitudes de ls cuerds determinds en ls circunferencis por: AD. A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Piden: AB = * Trzmos: L ltur CN BN = NA = NHCB Inscriptible Teorem de ls Secntes: = m = 8 = 4 RPTA.: A 8. Ddo un heágono regulr ABCDEF inscrito en un circunferenci; se ubic el punto P en el rco AB; clcule: PE si PC = 5 m y PA = 1 m. A) 1 m B) m C) 4 m D) 6 m E) 3 m AB y CD: Rects tngentes Piden: y * Propiedd: AB = CD * Teorem de l Tngente ( AB) = AD ( + m) ( CD) = AD ( y + m) Igulndo: = y = 1 y RPTA.: A 10. En un cudrdo ABCD (AB = 0 m), con centro en A y rdio AB se trz el rco BD que intercept l circunferenci inscrit en el cudrdo en: M y N; clcule MP si P es el punto de intersección de l circunferenci inscrit con AM. A) 5 m B) 10 m C) 15 m D) 0 m E) 5 m ABCDEF: Heágono regulr PC = 5; PA = 1 Piden: PE = * Se observ: AC = CE = AE = APCE (Inscrito) Teorem Ptolomeo: PE () = PC () + PA () PE = =6 RPTA.: D

4 AF = 3 Teorem de ls Cuerds: = ( 3) = 3 1. Eterior A un cudrdo ABCD de centro O se construye el triángulo rectángulo AEB (recto en E );clcule EO si:ae + EB = 6m. AB = 0 Piden: MP * Se observ: AQ = QD = 10 AB = AM = AD = 0 Teorem de l Tngente: ( AQ) = ( AM) ( AP) 10 = 0 AP AP = 5 Luego: PM = 15 m 11. En un cudrnte BOD se inscribe el cudrdo OFCE; ("C" BD) ; en l prolongción de DO se ubic el punto A tl que AO = OD ; AF intercept l rco BD en M; si: FM= ; clcule CE. A) B) 3 C) D) 5 E) 7 A) 4 m B) 3 m C) 6 m D) 6 m E) 3 m B C E O ABCD: Cudrdo de centro O m BEA = 90º AE + EB = 6m Piden: EO * Propiedd: AO = OC = OB = OD = AB = * BE AO Inscriptible. A D 3 AO = OD FM = Teorem Ptolomeo EO ( ) = AE ( ) + ( EB) ( ) EO = AE + EB = 6 EO = 3 m Piden: CE = * Se observ: FC = FN = OC = OA = * : (Teorem de Pitágors)

5 13. Se tienen dos circunferencis eteriores, se trzn ls rects tngentes comunes interiores AB y CD; A y C en un mism circunferenci; BC intercept ls circunferencis en M y N ( B MC) ; clcule MB si: CN= m. A) 1 m B) m C) 4 m D) 0,5 m E) 1,5 m B, D, G, F y E: puntos cíclicos. AD = 6;DB = EC = 4; AG=FC = Piden: BE =? * Teorem de ls secntes: + b = 10 6 (I) ( + b) = ( + 4) 4 (II) (I) = (II) 10 ( 6) = ( + 4) 4 15 = ( + 4) = En un semicircunferenci de diámetro AB se ubicn los puntos D AC AC DB = E. D y C, ; { } Clcule EC, DE = 6 m, EB = 9m y AB = 17 m. AB y CD son rects tngentes. CN = m A) 6 m B) 9 m C) 4,8 m D) 5,4 m E) 3, 6 m Piden: MB = * Propiedd: AB = CD ( AB) = ( + ) ( CD) = ( + ) Igulndo: = 14. En el triángulo ABC, se ubicn los puntos D, E, F y G en AB,BC,AC y AF respectivmente; clcule BE; AD = 6 m, DB = EC = 4 m y AG = FC (B, D, G, F y E son puntos cíclicos) A) 4 m B) 6 m C) 10 m D) 14 m E) 11 m AB: Diámetro; DE = 6; EB = 9 AB = 17 Piden: EC = * ADB AD = 8 * ADE AE = 10 Teorem de ls Cuerds: 10 = 6 9 = 5,4 RPTA.: D 16. Desde un punto eterior E un circunferenci se trzn ls rects secntes EAB y ECD; CD es l cuerd tngente en M AB; clcule MB, si: EC = 8 m, CD = 10 m y EA = AM. A) 8 m B) 9 m C) 10 m D) 11 m E) 1 m

6 Teorem de l Tngente: = ( + ) = 15 EC = 8; CD = 10, EA = AM = Piden: MB = ( ) = ( 18) ( 8) = 6 * Teorem de l Secnte: + = 18 8 ( 1 + ) 6 = 18 ( 8) = En un triángulo ABC se trz un circunferenci tngente AB y BC en M y N respectivmente, dich circunferenci intercect AC y AP en P y Q respectivmente; clcule AM si: NC = 4 m, PC = 1m y AQ = 5 m. Teorem de l Tngente: = = = ( 10) 18. Desde un punto eterior E un circunferenci se trzn l rect tngente EA y l rect secnte EBC; el punto medio M de BC determin en un cuerd de dich circunferenci segmentos de longitudes 3 m y 4 m. Clcule EA si B y M trisecn EC. A) 4 m B) 5 m C) 6 m D) 7 m E) 8 m A) 5 m B) 6 m C) 8 m D) 9 m E) 10 m NQ = 3; MP = 4 EB = BM = MC = Piden: EA = = 3 4 = 6 = 3 ( ) 1 NC = 4, PC = 1 y AQ = 5 Piden: AM =

7 19. Desde un punto A eterior un circunferenci, se trzn ls rects tngentes AB y AC, tmbién se trz l rect secnte ADE; BC DE = M. Clcule: AD; DM { } = m y ME = 3 m A) 10 m B) 5 m C) 1 m D) 8 E) 16 m θ θ θ m DM = ; ME = 3 Piden: AD = =? mn = 3 = 6...(I) = + 5..(II) * Teorem de Stewrt: ABC(Isósceles) + = mn (III) Reemplzndo: (I y II) en (III) + = Resolviendo: = 10 RPTA.: A I: Incentro O: Circuncentro R = ; R = 6 Piden: IO = =? + R R = mn (I) * Propiedd: IP = AP = m * BIQN APS n r mn Rr R = m =..(II) Reemplzndo (II) en (I) = R ( R r ) = 3 0. Clcule l distnci entre el incentro y el circuncentro de un triángulo, si ls longitudes del inrdio y circunrdio son: m y 6 m respectivmente. A) m B) 3m C) 3 m D) 4 m E) 3 m