TEMA 5: LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.ASÍNTOTAS
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- Ricardo Carrizo Pinto
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1 Dpartamto d Matmáticas. IE.S. Ciudad d Arjoa º Bach Socials. LÍMITES Propidads: TEMA : LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.ASÍNTOTAS. LÍMITES. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO +. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO. ASÍNTOTAS g g g g a a g a g a a a g Para calcular u límit sólo hay qu sustituir por TABLA DE OPERACIONES + a + a ± B a+b + Id Id. b a b ± Id. ± Id. ± ± OJO: primro multiplicar los gos a a : a ± Id ± ± b a/b ± ± Id. OJO: primro multiplicar los gos a p p a a Id Id g a p p p p p p Al hacr los límits usamos las tablas atriors Pro l problma s cuado sal algua INDETERMINACIÓN, qu hay qu rsolvrla d algú modo. ; ; ; ; ; ;. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cab distiguir cuado hablamos d límit d ua ució u puto, podmos distiguir los límits latrals, por la izquirda toma valors mors qu l puto, y a por la drcha toma valors mayors qu l puto. a Cuado los límits latrals coicid istirá l límit l puto. A. CÁLCULO DE LÍMITES EN UN PUNTO Caso imdiato: Sustituir la por l valor dl puto. a a Ejmplo: 7 Idtrmiació dl tipo / co cocit d poliomios: Simpliicamos la racció algbraica y sustituimos. Ejmplo: Idtrmiació Idtrmiació dl tipo : Ralizamos la opració y mpliicamos. a
2 I.E.S. Ciudad d Arjoa Dpartamto d Matmáticas. º BAC MCS Ejmplo: Idtrmiació B. CÁLCULO DE LÍMITES EN FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Si l puto s dód s juta los trozos calculamos los límits latrals, y so iguals, l límit d la ució s s, o so iguals, o ist l límit. Si l puto o s d uió s calcula como ats. No ist l límit. LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES A POLINOMIOS Estratgia: Sacar actor comú la d mayor grado: INDETERMINACIÓN REGLA: P El go s l dl coicit pricipal dl poliomio B FRACCIONES ALGEBRÁICAS Estratgia: Dividir umrador y domiador por la d mayor grado: INDETERMINACIÓN REGLA DE LOS GRADOS Grado umrador > Grado domiador límit s ± Grado umrador < Grado domiador límit s Grado umrador Grado domiador límit s cocit coicits pricipals
3 I.E.S. Ciudad d Arjoa Dpartamto d Matmáticas. º BAC MCS C OTRAS INDETERMINACIONES INDETERMINACIÓN Ralizamos la opració INDETERMINACIÓN Multiplicamos por l cojugado / : : INDETERMINACIÓN Ralizamos la opració : INDETERMINACIÓN Opració Estas so dl tipo INDETERMINACIÓN S rsulv hacido ot bas p Importat: Comprobar qu so dl tipo
4 I.E.S. Ciudad d Arjoa Dpartamto d Matmáticas. º BAC MCS. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO + Cuado + la ució pud comportars d varias ormas: l Hay trs tipos d ucios coocidas qu ti límit iiito l más iiito; so poliómicas potcias, pocials co bas mayor qu y logaritmos. El ord d comparació d iiitos s l guit, d mayor a mor: EXPONENCIALES mayor la qu ti mayor bas POTENCIAS mayor la qu ti mayor pot LOGARITMOS mayor la qu ti mor bas Ejmplo: Ordar d mayor a mor ord los guits iiitos: ; l ; ; ; log ; ; Mayors Epocials, dspués Potcias por último logaritmos log l Para l cálculo d límits dbmos tr cuta l ord d los iiitos y los coicits d stos. Si tmos los iiitos ua racció, l iiito más grad stá l umrador l límit srá iiito hay studiar cocit d gos, stá l domiador l límit s cro, y so iguals l límit s l cocit d los coicits. 7 Iiito más grad l umrador y cocit d gos +/++. 7 Mismo grado, dividimos coicits. Iiito más grad l domiador. log Iiito más grad. los dos so d grados Ralizamos la opració: 7. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO Los casos pobls so los mismos qu para +, y l cálculo s muy parcido. Podmos aplicar las mismas rglas cambiamos por, y así cambiar l límit mor iiito por l límit más iiito. CUIDADO CON LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
5 I.E.S. Ciudad d Arjoa Dpartamto d Matmáticas. º BAC MCS 7 Iiito más grad l umrador y cocit d gos /+. Mismo grado, dividimos coicits. 7. log No ti stido, o s pud hacr la raíz cuadrada a u úmro gativo, i tampoco u logaritmo.. CONTINUIDAD A. CONTINUIDAD EN UN PUNTO S dic qu ua ució s cotiua u puto a cuado cumpl las guits codicios. i Eist la ució a a ii Eist l límit d la ució cuado tid a a iii Los dos valors atriors coicid. a a B. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO. Ua ució s cotiua u itrvalo s cotiua cada puto dl itrvalo. Gralmt todas las ucios so cotiuas su domiio, l problma s studiar stos putos y las ucios diidas a trozos hay qu studiar los putos d uió. Estudia la cotiuidad d la ució Domiio s {, } solucios d la cuació Es CONTINUA {, } Vamos a claicar las discotiuidads. Discotiuidad d salto iiito ASÍNTOTA VERTICAL Idt. Discotiua por alta d diició Estudia la cotiuidad d la ució Los trs trozos so cotiuos porqu so: ua ució pocial, ua rcta y ua parábola. Cotiuidad Cotiuidad So iguals Cotiua La Fució s cotiua {} a No so iguals No s 9 cotiua Discotiuidad d Salto Fiito
6 I.E.S. Ciudad d Arjoa Dpartamto d Matmáticas. º BAC MCS a y a b Calcula l valor d los parámtros a y b para qu sa cotiua: Cotiua cada trozo por sr rctas y parábola. Cotiuidad a b Cotiuidad a a a b a b Para sr cotiua Para sr cotiua a b a b db cumplir a b a a b db cumplir a b a b Rsolvido l stma d cuacios os sal d solució a ; y b 7. ASÍNTOTAS A. ASÍNTOTAS VERTICALES Ua ució ti ua asítota vrtical a : " " Hay qu calcular los límits aqullos putos qu o stá l domiio. Admás para hacr u sbozo d la ució hay qu calcular la poció d la asítota go d la ució a la izquirda y la drcha d la asítota B. ASÍNTOTAS HORIZONTALES Ua ució ti ua asítota horizotal yb : b. Hay qu calcular los límits ±. Normalmt calculamos l límit go, pro cuado tgamos algua ució pocial dbmos calcularlo + y por sparado. Admás para hacr u sbozo d la ució hay qu calcular la poció d la asítota valor d la ució u úmro grad y u úmro pquño C. ASÍNTOTAS OBLICUAS Ua ució a ti ua asítota horizotal ym+ : m m m Cálculo d asítotas oblicuas:.. Si m ó o hay asítota oblicua, tampoco hay. Admás para hacr u sbozo d la ució hay qu calcular la poció d la asítota valor d la ució y d la asítota oblicua u úmro grad y u úmro pquño Dom, Asítotas vrticals: Hay A.V. Id. No hay Asítotas horizotals: Hay A.H. y 99 ; ; 9 9
7 I.E.S. Ciudad d Arjoa Dpartamto d Matmáticas. º BAC MCS Dom Asítotas vrticals: Asítotas horizotals: Asítota oblicua: Hay A.V. No hay asítota horizotal m : m Hay ua asítota oblicua y Asítota Asítota 99 y ució por cima d la asítota y ució por dbajo d la asítota
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