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1 MATRICES Se denomina matriz de dimensión m n a todo conjunto cuyos elementos están dispuestos en m filas y n columnas A= A es de dimensión 2 3. a a a En general una matriz de dimensión 2 3 se expresa A= a a a El elemento a₂₃ se encuentra en la segunda fila, tercera columna. En general una matriz A de dimensión m n se escribe a11 a12 a1 n a21 a22 a 2n A = am 1 am2 a mn Abreviadamente se escribe A = (a ij) m n o simplemente A = (a ij).es decir (a ij ) designa la matriz completa, mientras que a ij representa un elemento cualquiera. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición son iguales. Tipos de matrices: Matriz fila. Es una matriz de dimensión 1 n. También se denomina vector fila A = ( ) Matriz columna. Es una matriz de dimensión m 1. También se denomina vector columna. 2 A= -1 3 Matriz cuadrada. Matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Es una matriz de dimensión n n. Se dice que es una matriz cuadrada de orden n A =

2 Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada a la formada por los elementos de la forma a ii Matriz triangular. Es una matriz cuadrada en la que los elementos situados a un mismo lado de la diagonal principal son nulos A = A = Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Matriz diagonal. Es una matriz cuadrada en la que los elementos que no están en la diagonal principal valen A = Matriz escalar. Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal son iguales A = Matriz unidad o identidad. Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.Se representa por I n I2 = I = Matriz nula. Es una matriz cuyos elementos son todos nulos 0= = Matriz opuesta. Dada una matriz A de dimensión m n, la matriz opuesta de A es otra cuyos elementos son los opuestos de los elementos de A. Se representa por -A 2

3 2 1-5 A = A = Matriz traspuesta. Dada una matriz A de dimension m n, se define su matriz traspuesta como aquella que se obtiene al intercambiar en la matriz A sus filas por sus columnas. Se representa por A t o A. En consecuencia la dimensión de A es n m t A = A = -5 8 Matriz simétrica. Es una matriz cuadrada que coincide con su traspuesta. Es decir, A es simétrica si A= A o lo que es lo mismo A= A' = Matriz antisimétrica o hemisimétrica. Es una matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su traspuesta. Es decir, A es antisimétrica si A= -A A= A' = Operaciones con matrices ADICIÓN DE MATRICES Sean A=(a ij ) y B=(b ij ) dos matrices de igual dimensión. se define su matriz suma como aquella matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de A y B situados en el mismo lugar A= B = A+ B = = Propiedades 1. Conmutativa: A+B=B+A 2. Asociativa: A+(B+C)=(A+B)+C 3. Elementos neutro: La matriz nula verifica que A+O=O+A 4. Elemento simétrico: Dada la matriz A, siempre existe su matriz opuesta -A, de modo que A+(-A)=0 3

4 MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL Dada la matriz A=(a ij ) de dimensión m n se define el producto de una matriz por un número real k como la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de la matriz A por k A= A= = Propiedades: 1. Distributiva respecto de la adición de matrices k (A+B)=k A+k B 2. Distributiva respecto de la adición de números reales (k+h) A=k A+h A 3. Asociativa entre números y matrices (k h) A=k (h A) 4. El 1 es el elemento unidad:1 A=A MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda matriz. Sea A=(a ij ) de dimensión m n y B=(b ij ) de dimensión n p se define la matriz producto A B=(p ij ) de dimensión m p de la siguiente manera: A = B = AB = = = Propiedades: 1. Asociativa: A (B C)=(A B) C 2. Distributiva respecto de la adición: A (B+C)=A B+A C 3. Asociativa respecto de la multiplicación por un número real k (A B)=(k A) B 4. Elemento neutro de la multiplicación: La multiplicación de matrices cuadradas de orden n posee elemento neutro I n,que recibe el nombre de matriz identidad o unidad y verifica que A I n =I n A=A Observaciones: 4

5 a)sea C una matriz de dim C=2 2, y D otra matriz de dim D=2 3. El producto C D existe, sin embargo D C no se puede realizar, ya que el número de columnas de D no coincide con el número de filas de C. b) El producto de matrices no es conmutativo = = Puesto que la multiplicación no es conmutativa, hay que indicar el orden en que se multiplican las matrices: En el producto A B se dice que la matriz A multiplica a la matriz B por la izquierda. POTENCIA A²=A A A³= (A A) A=A (A A)=A² A=A A² A⁴=A A A A=A³ A=A A³=A² A² MATRIZ INVERSA Una matriz cuadrada A tiene inversa, y se designa por A ¹ si A A ¹=A ¹ A=I n Si A tiene inversa se dice que A es inversible o regular. Las matrices que no tienen inversa se denominan no regulares o singulares A= A = Comprobar que A A ¹=A ¹ A=I n Teorema: Si una matriz tiene inversa, ésta es única Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss El método de Gauss para la obtención de la matriz inversa consiste en construir la matriz (A I) y a través de transformaciones elementales por filas obtener la matriz (I A ¹) (si es posible) Transformaciones elementales: 5

6 Cambiar de orden las filas Multiplicar una o más filas por un número real distinto de cero. Sumar una fila más otra multiplicada por un número real Cálculo de la matriz inversa Sea A = ~ ~ ~ ~ ~ ~ A = Si la matriz A puede transformarse en la matriz identidad, entonces tiene inversa, se dice que es regular Sea A = ~ ~ A ¹ (A es una matriz singular) Cálculo de matriz inversa mediante la definición Sea A= , si existe matriz inversa, ésta será A ¹= x y z t, y tiene que verificar que A A ¹=I x = 7 z = 3 A ¹= 7 2 y = t = 1 x z y t = 1 0 x + 2z y + 2t 0 1 3x + 7z 3y + 7t = x+ 2z = 1 3x+ 7z = 0 y + 2t = 0 3y+ 7t = 1 6

7 RANGO DE UNA MATRIZ Sea la matriz A= Esta matriz puede considerarse que está formada por tres vectores fila u=(1,0,-3), v=(5,1,2) y w=(7,1,-4). Observamos que el vector w verifica que: (7,1,-4)=2 (1,0,-3)+1 (5,1,2) Se dice que w se puede poner como combinación lineal de los vectores u y v. Se dice que w depende linealmente de u y v. O que u,v,w son linealmente dependientes. En cambio no existe ningún número real t tal que (5,1,2)=t(1,0,-3). Se dice que u y v son linealmente independientes. Se define rango de A y se representa por rango(a) al número de filas linealmente independientes de la matriz A. Siguiendo con el ejemplo rango(a)=2 Teorema: El número de filas linealmente independientes de una matriz coincide con el número de columnas linealmente independientes de esa matriz. Así pues, podemos decir que el rango de una matriz es igual al número de filas o de columnas linealmente independientes. Cálculo del rango por el método de Gauss Para calcular el rango de una matriz debemos triangularla (hacer ceros debajo de la diagonal recurriendo a las operaciones elementales entre filas. El rango coincide con el número de filas no nulas A= rango(a)=

8 Una matriz cuadrada de orden n tendrá inversa si su rango es n (porque si hay alguna fila de ceros ya no puedo conseguir la matriz I en el método de Gauss para el cálculo de la matriz inversa.) 8

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