Introducción al Diseño de Filtros Digitales

Transcripción

1 Introducción al Diseño de Filtros Digitales Diego Milone Muestreo y Procesamiento Digital Ingeniería Informática FICH-UNL 7 de mayo de 2009

2 Organización de la clase Introducción Concepto y clasicación de ltros Filtros ideales y ltros realizables Diseño de ltros IIR Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia Diseño de ltros FIR Propiedades de los ltros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR Modulación Conceptos básicos

3 Organización de la clase Introducción Concepto y clasicación de ltros Filtros ideales y ltros realizables Diseño de ltros IIR Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia Diseño de ltros FIR Propiedades de los ltros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR Modulación Conceptos básicos

4 Concepto ¾Qué es un ltro?

5 Concepto ¾Qué es un ltro? Filtros vs. Sistemas

6 Concepto ¾Qué es un ltro? Filtros vs. Sistemas Ejemplos...

7 Clasicación de los ltros Respuesta al impulso IIR (recursivos, AR/ARMA) FIR (no-recursivos, MA)

8 Clasicación de los ltros Respuesta al impulso IIR (recursivos, AR/ARMA) FIR (no-recursivos, MA) Banda de paso Pasa-Bajos Pasa-Altos Pasa-Banda Rechaza-Banda Multibanda

9 Clasicación de los ltros Adaptativos vs. estáticos Filtros de fase lineal Filtros para compensación de fase

10 Clasicación de las técnicas de diseño Filtros IIR Prototipos analógicos Butterworth Chebyshev I y II Elípticos Bessel Diseño digital directo (Yule-Walk)

11 Clasicación de las técnicas de diseño Filtros IIR Prototipos analógicos Butterworth Chebyshev I y II Elípticos Bessel Diseño digital directo (Yule-Walk) Filtros FIR Método de Fourier + Ventaneo Otros (mínimos cuadrados, minimax, etc)

12 Filtro pasa bajos ideal Magnitud Fase Frecuencia de corte (-3 db)

13 Filtros realizables Filtro pasa bajos Bandas de paso, rechazo y transición

14 Filtros realizables Filtro pasa bajos Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo

15 Filtros realizables Filtro pasa bajos Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo

16 Filtros realizables Filtro pasa bajos Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo Fase

17 Filtros realizables Filtro pasa altos Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo Fase

18 Filtros realizables Filtro pasa banda Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo Fase

19 Filtros realizables Filtro rechaza banda Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo Fase

20 Filtros digitales vs. analógicos ++ Estabilidad (componentes electrónicos) ++ Precisión Frecuencia limitada por la conversión A/D (=> costos)

21 Organización de la clase Introducción Concepto y clasicación de ltros Filtros ideales y ltros realizables Diseño de ltros IIR Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia Diseño de ltros FIR Propiedades de los ltros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR Modulación Conceptos básicos

22 Algoritmos de diseño IIR Método 1 Diseño analógico (ltro P-Bajos normalizado) Transformación en frecuencia (analógica, en s) Transformación conforme (bilineal)

23 Algoritmos de diseño IIR Método 1 Diseño analógico (ltro P-Bajos normalizado) Transformación en frecuencia (analógica, en s) Transformación conforme (bilineal) Método 2 Diseño analógico (ltro P-Bajos normalizado) Transformación conforme (bilineal) Transformación en frecuencia (digital, en z)

24 Diseño analógico: Butterworth Función de transferencia Tolerancias en la banda de paso y rechazo Forma de la respuesta en frecuencia Diseño: Especicaciones típicas (w p, A y K 0 ) Fórmula para la estimación del orden (N)

25 H(jω) 2 = ɛ 2 ( ω ω P ) 2N Filtro de Butterworth

26 H(jω) 2 = ɛ 2 ( ω ω P ) 2N Filtro de Butterworth

27 H(jω) 2 = ɛ 2 ( ω ω P ) 2N Filtro de Butterworth

28 H(jω) 2 = ɛ 2 ( ω ω P ) 2N Filtro de Butterworth si ω ω P H(jω) 2 > 1 1+ɛ 2 si ω ω R H(jω) 2 < 1 1+λ 2 si N ω R ω P ɛ 0 λ

29 Características del ltro de Butterworth Respuesta monotónicamente decreciente Respuesta máximamente plana cerca de ω = 0 Fase tendiendo a Nπ/2 para ω

30 Diseño Butterworth Dados ω p : frecuencia de corte A : relación de atenuación máxima K 0 : relación de ancho de transición Se requiere N : orden del ltro

31 Se debe cumplir: Ecuación de diseño Butterworth siendo: A = λ ɛ = 10 0,1A R ,1A P 1 K 0 = ω P ω R N > log ( A 1 log K 0 )

32 Diseño analógico: Chebyshev Función de transferencia tipo I y tipo II Forma de la respuesta en frecuencia Tolerancias en la banda de paso y rechazo Fórmula para la estimación del orden (N)

33 H(jω) 2 1 = 1+ɛ 2 VN 2 ω ω P Filtro de Chebyshev tipo I

34 H(jω) 2 1 = 1+ɛ 2 VN 2 ω ω P Polinomio de Chebyshev: Filtro de Chebyshev tipo I V N (x) = 2xV N 1 (x) V N 2 (x) V 0 = 1 V 1 = x

35 H(jω) 2 1 = 1+ɛ 2 VN 2 ω ω P Polinomio de Chebyshev: Filtro de Chebyshev tipo I V N (x) = 2xV N 1 (x) V N 2 (x) V 0 = 1 V 1 = x

36 H(jω) 2 1 = 1+ɛ 2 VN 2 ω ω P Polinomio de Chebyshev: Filtro de Chebyshev tipo I V N (x) = 2xV N 1 (x) V N 2 (x) V 0 = 1 V 1 = x

37 Caracte isticas de los ltros de Chebyshev Tipo I: ondulaciones en la banda de paso y monotónico decreciente en la banda de rechazo Tipo II: ondulaciones en la banda de rechazo y monotónico decreciente en la banda de paso Diferentes formas para orden par o impar

38 Ecuación de diseño Chebyshev (tipos I y II) Se debe cumplir: siendo: A = λ ɛ = 10 0,1A R ,1A P 1 K 0 = ω P ω R N > cosh 1 A ( cosh 1 1 K 0 )

39 Diseño analógico: ltros elípticos Función de transferencia Forma de la respuesta en frecuencia Tolerancias en la banda de paso y rechazo Fórmula para la estimación del orden (N)

40 Filtros elípticos H(jω) 2 = 1 ( 1 + ɛ 2 FN 2 ) ω ω P

41 Filtros elípticos H(jω) 2 = 1 ( 1 + ɛ 2 FN 2 ) ω ω P F N (x): función elíptica Jacobiana

42 Filtros elípticos H(jω) 2 = 1 ( 1 + ɛ 2 FN 2 ) ω ω P F N (x): función elíptica Jacobiana

43 Características de los ltros elípticos Ondulaciones en las bandas de paso y rechazo Corte más abrupto que los anteriores (para igual orden) Diferentes formas para orden par o impar

44 Ecuación de diseño para ltros elípticos Se debe cumplir: siendo: q = q 0 + 2q q q13 0 q 0 = 1 (1 K2 0) 0,25 2 h1+(1 K0) 2 0,25i N > log(16a) ( ) log 1 q

45 Algoritmos de diseño IIR Método 1 Diseño analógico (ltro P-Bajos normalizado) Transformación en frecuencia (analógica, en s) Transformación conforme (bilineal) Método 2 Diseño analógico (ltro P-Bajos normalizado) Transformación conforme (bilineal) Transformación en frecuencia (digital, en z)

46 Transformaciones en frecuencia analógica Pasa-bajos Pasa-bajos s s ω P

47 Transformaciones en frecuencia analógica Pasa-bajos Pasa-bajos s s ω P Pasa-bajos Pasa-altos s ω P s

48 Transformaciones en frecuencia analógica Pasa-bajos Pasa-bajos s s ω P Pasa-bajos Pasa-altos s ω P s Pasa-bajos Pasa-banda s s2 +ω P 1 ω P 2 s(ω P 2 ω P 1 )

49 Transformaciones en frecuencia analógica Pasa-bajos Pasa-bajos s s ω P Pasa-bajos Pasa-altos s ω P s Pasa-bajos Pasa-banda s s2 +ω P 1 ω P 2 s(ω P 2 ω P 1 ) Pasa-bajos Rechaza-banda s s(ω P 2 ω P 1 ) s 2 +ω P 1 ω P 2

50 Transformaciones en frecuencia digital Pasa-bajos Pasa-bajos z 1 z 1 α 1 αz 1 α = sin((ω N ω P )/2) sin((ω N +ω P )/2)

51 Transformaciones en frecuencia digital Pasa-bajos Pasa-bajos z 1 z 1 α 1 αz 1 Pasa-bajos Pasa-altos z 1 z 1 +α 1+αz 1 α = cos((ω N +ω P )/2) cos((ω N ω P )/2)

52 Transformaciones en frecuencia digital Pasa-bajos Pasa-bajos z 1 z 1 α 1 αz 1 Pasa-bajos Pasa-altos z 1 z 1 +α 1+αz 1 Pasa-bajos Pasa-banda z 1 z 2 2αk k+1 z 1 + k 1 k+1 k 1 k+1 z 2 2αk k+1 z 1 +1 α = cos ((ω P 2 + ω P 1 )/2) cos ((ω P 2 ω P 1 )/2) k = cos ((ω P 2 ω P 1 )/2) tan (ω N /2)

53 Transformaciones en frecuencia digital Pasa-bajos Pasa-bajos z 1 z 1 α 1 αz 1 Pasa-bajos Pasa-altos z 1 z 1 +α 1+αz 1 Pasa-bajos Pasa-banda z 1 z 2 2αk k+1 z 1 + k 1 k+1 k 1 k+1 z 2 2αk k+1 z 1 +1 Pasa-bajos Rechaza-banda z 1 z 2 2α 1+k z k 1+k 1 k 1+k z 2 2α k+1 z 1 +1 α = cos ((ω P 2 + ω P 1 )/2) cos ((ω P 2 ω P 1 )/2) k = tan ((ω P 2 ω P 1 )/2) tan (ω N /2)

54 Organización de la clase Introducción Concepto y clasicación de ltros Filtros ideales y ltros realizables Diseño de ltros IIR Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia Diseño de ltros FIR Propiedades de los ltros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR Modulación Conceptos básicos

55 Filtros FIR: ventajas y desventajas ++ Se puede lograr fase lineal ++ Presentan mayor estabilidad ++ Diseño hardware eciente ++ Frecuencias de corte abruptas ++ Cortos transitorios de inicialización Requieren más cálculos

56 Filtros FIR: relaciones importantes Coecientes FIR Respuesta al impulso Convolución Sistemas MA

57 Fase lineal: interpretación gráca Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes senoidales

58 Fase lineal: interpretación gráca Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes senoidales Aplicación de un ltro de fase constante a ambas componentes por superposición

59 Fase lineal: interpretación gráca Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes senoidales Aplicación de un ltro de fase constante a ambas componentes por superposición Aplicación de un ltro de fase lineal a ambas componentes por superposición

60 Fase lineal: interpretación gráca Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes senoidales Aplicación de un ltro de fase constante a ambas componentes por superposición Aplicación de un ltro de fase lineal a ambas componentes por superposición Filtro sin fase lineal (y con magnitud constante) deforma la onda en el tiempo

61 Fase lineal: deniciones Deniciones de módulo y fase Denición de retardo de fase: τ φ (ω) = φ(ω) ω Denición de retardo de grupo τ γ (ω) = dφ(ω) dω Fase lineal: φ(ω) = τω (... τ φ y τ γ constantes...)

62 Diseño FIR por Fourier y ventaneo 1. Especicación de los requerimientos (mód. y fase) 2. Muestreo de la respuesta en frecuencia 3. Aplicación de la TDF inversa 4. Truncado temporal (ventanas temporales) 5. Corrección de amplitud 6. Corrección para obtener la causalidad

63 Objetivos: Truncado y ventaneo temporal Reducción del orden del ltro resultante Reducción de los artefactos del truncado reducción de los lóbulos laterales reducción del ancho en el lóbulo central Interpretación gráca

64 Ventanas Ventana rectangular: ω R [n] = 1

65 Ventanas Ventana rectangular: ω R [n] = 1 Ventana de Hanning: ω h [n] = cos(2πn/n)

66 Ventanas Ventana rectangular: ω R [n] = 1 Ventana de Hanning: ω h [n] = cos(2πn/n) Ventana de Hamming: ω H [n] = cos(2πn/n)

67 Ventanas Ventana rectangular: ω R [n] = 1 Ventana de Hanning: ω h [n] = cos(2πn/n) Ventana de Hamming: ω H [n] = cos(2πn/n) Ventana de Bartlett: { 2n/N si 0 < n N/2 ω B [n] = 2 2n/N si N/2 < n N

68 Ventanas Ventana rectangular: ω R [n] = 1 Ventana de Hanning: ω h [n] = cos(2πn/n) Ventana de Hamming: ω H [n] = cos(2πn/n) Ventana de Bartlett: { 2n/N si 0 < n N/2 ω B [n] = 2 2n/N si N/2 < n N Ventana de Blackman: ω K [n] = cos(2πn/n) cos(4πn/n)

69 Ventanas Ventana cuadrada Ventana de Bartlett Ventana de Hamming Ventana de Blackman

70 Ventanas: ancho del lóbulo central Rectangular: 4π/N Bartlet: 8π/N Hanning: 8π/N Hamming: 8π/N Blackman: 12π/N

71 Ventanas: relación de energía entre lóbulos laterales y central Rectangular: -13 db Bartlet: -25 db Hanning: -31 db Hamming: -41 db Blackman: -57 db

72 Organización de la clase Introducción Concepto y clasicación de ltros Filtros ideales y ltros realizables Diseño de ltros IIR Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia Diseño de ltros FIR Propiedades de los ltros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR Modulación Conceptos básicos

73 Modulación: conceptos básicos Modulación en amplitud (sinusoidal) Demodulación sincrónica y asincrónica Multiplexado en frecuencia Modulación en frecuencia

74 Bibliografía básica D.J. DeFatta, J.J. Lucas, W.S. Hodgkiss, Digital Signal Processing: A System Design Approach (Capítulos 4 y 5), John Wiley, R. Kuc, Introduction to Digital Signal Processing (Capítulos 6, 7, 8 y 9), Mcgraw-Hill, A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, Signals and Systems (modulación en amplitud y en frecuencia, Secciones 7.1,7.2,7.3,7.5,7.6), Prentice-Hall, 1999.