x 2-4x+3 si -1 < x < 0 x 2 +a 2. [ANDA] [JUN-B] Se sabe que la función f:(-1,+ ), definida por f(x) = es continua en (-1,+ ). x+1

Transcripción

1 Selectividad CCNN 004. [ANDA] [JUN-A] Considerar la función f: definida por f() = (+)(-)(-). (a) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa =. (b) Determinar los intervalos de concavidad y de conveidad de f. Tiene puntos de infleión la gráfica de f?. [ANDA] [JUN-B] Se sabe que la función f:(-,+ ), definida por f() = (a) Hallar el valor de a. Es f derivable en = 0? (b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. +3 si - < < 0 +a es continua en (-,+ ). si [ANDA] [SEP-A] Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta euro/m y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo. 4. [ANDA] [SEP-B] De una función f:[0,4] se sabe que f() = 3 y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. (a) Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. (b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. En qué punto alcanza la función su máimo absoluto? c) Estudia la concavidad y conveidad de f [ARAG] [JUN-A] Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos distintos materiales. Los dos materiales tienen precios respectivamente de y 3 euros por centímetro cuadrado. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser un metro? 6. [ARAG] [JUN-B] Sea la función f() = e sen. Determinar: (a) El máimo de la función en el intervalo (0, ). (b) Ecuación de las tangentes a la gráfica en los etremos del intervalo anterior. 7. [ARAG] [SEP-A] Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máima. Calcular dicha suma. 8. [ARAG] [SEP-B] Sea el polinomio 3 +b +c+d. a) Determinar los coeficientes b, c y d sabiendo que tiene etremos en = - y en = y que pasa por el origen de coordenadas. b) Estudiar la naturaleza de ambos etremos. 9. [ASTU] [JUN] Dadas las funciones f() = (+), g() = (-) y h() = sen, calcula los siguientes límites: f()- a) lim 0 h() f()- b) lim 0 g()- f()+g()- c) lim 0 [h()] 0. [ASTU] [JUN] Dibuja aproimadamente la gráfica de la función f() = - calculando su dominio de definición, sus asíntotas, + sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máimos y mínimos, sus intervalos de concavidad y conveidad y sus puntos de infleión.. [ASTU] [SEP] Con 60 cm de alambre se construyen dos triángulos equiláteros cuyos lados miden e y. Qué valores de e y hacen que la suma de las áreas de los triángulos sea mínima? 5 de diciembre de 009 Página de 5

2 Selectividad CCNN 004. [C-LE] [JUN-B] Calcúlese lim 0 - sen. 3. [C-LE] [SEP-A] Sea f la función dada por f() = -3 +,. a) Estúdiese la derivabilidad de f en = 0 mediante la definición de derivada. b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus etremos relativos. c) Esbócese la gráfica de f. tg() 4. [C-LE] [SEP-A] Calcúlese el valor de lim / tg(6). 5. [C-MA] [JUN] Un alambre de 00 metros de largo se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Halla la longitud de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima. 6. [C-MA] [JUN] Dada la curva y = - se pide: + a) Dominio de definición de la función y puntos de corte con los ejes, si los hay. b) Asíntotas, si las hay. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos, si los hay. e) Una repesentación gráfica aproimada de la misma. 3 si 7. [C-MA] [JUN] Determina b y c para que la función f() = - +b+c si > a) Sea derivable en todos los puntos de R. b) Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa. 8. [C-MA] [SEP] Considera la función siguiente: f() = 3 - si a+b si > a) Determina los valores de a y b para que sea derivable en todos los puntos. b) Esboza la gráfica de la curva representativa de la función para los valores de a y b calculados. 9. [C-MA] [SEP] Epresa el número 60 como suma de tres números positivos de forma que el segundo sea doble del primero. Si el producto de los tres es máimo, determina el valor de dicho producto. 0. [CANA] [JUN-B] Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 50 m 3 de volumen, que tenga superficie mínima.. [CANA] [SEP-A] Discutir según los valores de m la continuidad y derivabilidad de la función f() = 3-m si si > m. [CANA] [SEP-B] La siguiente gráfica corresponde a la función f'(), derivada de la función f(). Estudiar la monotonía, concavidad-conveidad, etremos relativos y puntos de infleión de la función f() interpretando dicha gráfica de diciembre de 009 Página de 5

3 Selectividad CCNN [CATA] [JUN] Considere la función f() = a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa = 3. b) Eiste alguna otra recta tangente a la gráfica de f() que sea paralela a la que ha hallado? Razone la respuesta y, en caso afirmativo, halle su ecuación. 4. [CATA] [JUN] Considere la función f() = + a + 6 donde a es un parámetro. a) Calcule el valor del parámetro a sabiendo que f() presenta un etremo relativo en el punto de abscisa = 3. b) Este etremo relativo, se trata de un máimo o un mínimo? Razone la respuesta. 5. [CATA] [SEP] Considere la función polinómica de tercer grado f() = a 3 +b +c+d (a 0). a) Halle los valores de a, b, c y d para los cuales la función f() corta al eje O en los puntos = 0 y = y presenta un mínimo relativo en el punto = 0. b) Haga un esbozo de la gráfica de la función hallada y acabe de calcular los elementos necesarios para dibujarla. 6. [CATA] [SEP] La siguiente gráfica corresponde a una función f:[,6] derivable y con derivada continua. Haga un esbozo de la gráfica de f':(,6) y justifique el porqué. 7. [ETR] [JUN-A] Determinar el mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida metro. 8. [ETR] [JUN-B] Si la gráfica de la función f() es: Representar aproimadamente la gráfica de la derivada f'(). 9. [ETR] [SEP-A] Se desea construir un paralelepípedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el área total de sus 6 caras sea mínima. 30. [ETR] [SEP-B] Determinar los puntos de la curva plana y 3 = en que la recta tangente es perpendicular a la recta y+6 = [MADR] [JUN-A] Calcular la base y la altura del triángulo isosceles de perímetro 8 y área máima. 3. [MADR] [JUN-B] Dada la función f() = -, se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto a,f(a), donde 0 < a <. b) Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical y horizontal respectivcamente. c) Determiar el valor de a (0,) para el cual la distancia entre el punto A y el punto P a,f(a) es el doble de la distancia entre el punto B y P a,f(a). 33. [MADR] [SEP-A] Sabiendo que una función f() tiene como derivada f'() = () -8+7 : 5 de diciembre de 009 Página 3 de 5

4 Selectividad CCNN 004 a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Hallr los máimos y mínimos relativos de f. c) Es el punto = 4 un punto de infleión de f? Justificar razonadamente la respuesta. 34. [MURC] [JUN] De la curva de ecuación y = - se pide: + a) Dominio de definición y cortes a los ejes. b) Simetrías. c) Asíntotas. d) Posibles etremos de la función que define la curva. e) Con los anteriores datos obtener una representación gráfica aproimada de la curva. 35. [MURC] [JUN] Se dispone de un hilo matélico de longitud 40 m. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro y tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo. 36. [MURC] [SEP] a) Definición de derivada de una función en un punto. b) Encontrar, usando la definición, la derivada de la función f() = en el punto 0 =. + c) Encontrar la tangente a la curva y = en el punto, [MURC] [SEP] De entre todos los rectángulos cuya diagonal mide 0 m, encontrar las dimensiones del de área máima. 38. [RIOJ] [JUN] De una función f:(0, ), se sabe que f'() = cos(). Obtén los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así - como los etremos relativos de f. 39. [RIOJ] [JUN] Se considera la función f: definida por: f() = a) Representar gráficamente la función. b) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(). - si < + si <. Se pide: 8 si 40. [RIOJ] [JUN] Halla los etremos relativos de la función f() = Calcula también los etremos absolutos de dicha función en el intervalo [-,]. sen - 4. [RIOJ] [SEP] Calcula lim 0 tan. 4. [RIOJ] [SEP] Representa la gráfica de la función f() = Para ello calcula asíntotas, intervalos de crecimiento, etremos relativos y puntos de infleión. 43. [VALE] [JUN-A] Encontrar razonadamente el punto de la curva y = máima y calcular el valor de esa pendiente. en el que la recta tangente a la curva tiene pendiente [VALE] [JUN-B] Desde un punto N de la orilla del mar, un nadador debe alcanzar una boya que flota a 3 kilómetros de la costa y 5 de diciembre de 009 Página 4 de 5

5 Selectividad CCNN 004 dista 3 5 kilómetros del punto N. Si recorriendo la orilla (que se supone recta y plana), su velocidad media es de 5 kilómetros por hora y nadando, de 3 kilómetros por hora, cuánto tiempo deberá camionar hasta lanzarse al mar, para alcanzar la boya en el menor tiempo posible? 45. [VALE] [SEP-B] Determinar razonadamente la longitud del lado de un cuadrado de área mínima cuyos vértices están situados sobre los lados de otro cuadrado de lado 6 cm. Soluciones. (a) tangente, +y- = 0 normal, -y- = 0 (b) convea en 3, + cóncava en -, 3. (a) 3. No (b) creciente en (,+ ) 3. Base: 4 cm. Altura: 5 cm 4. a) y = + b) Creciente en 0,4. punto de infleión para = 3 Ma. abs: 4 c) Convea: 0, 3,4. P. infleión: y y 0 cm 6. (a) 3 4 (b) y = ; y = -e + e 7. e y e. Suma:-ln 8. a) 0, -3, 0 b) ma. min. 9. a) 3 b) - c) cm y 0 cm a) no b) Creciente: -3-3,0 3,+ ; ma: (0,); min: -3,- 4, 3,- c) m para el cuadrado. 6. a) Dominio:. Cortes: (-,0), (,0), (0,-) b) A. horizontal: y = c) Creciente en (0,+ ). d) Mínimo en (0,-) e) - a) 6, -0 b) y = a), - b) - 9.,, 60-3; base 3 50, altura 50. continua: m {,} derivable: m =. Creciente: - 7. (-,4). Cóncava:. Máimo: = 4. P. infle.: no 3. a) y = +5 b) y = a) b) mínimo 5. a) f() = a 3 -a (a<0) , 3 3, (,-), (4,) , a) a+y-a - = 0 b) A 0,a +, B a + a,0 c) 33. a) crec: (-,) (7,+ ) b) ma: ; min: 7 c) si 34. a) ; (-,0),(,0), 0, - b) O c) y= d) min: 0, - e) , 50, b) -3 5 c) 3+5y-6 = cuadrado de 5 m de lado 38. creciente en,3 ; min: 3 ; ma: 39. a) b) cont: -{4}; deriv: -{,} 40. min. rel. y abs: (-,), (,); ma. rel: (0,); ma.abs: (-,0), (,0) crec: (-,-) (,+ ); p.i: 0; ma: -; min: ; ,3 4 ; min de diciembre de 009 Página 5 de 5