FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD

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1 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. II Alfonso González I.E.S. Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics

2 I) CONCEPTO DE FUNCIÓN: Un función es un plicción que hce corresponder cd elemento llmdo, o vrible independiente- de un conjunto un único elemento lo sumo llmdo imgen de, o f()- de otro conjunto Por ejemplo, l función f()=+3 se puede representr, utilizndo digrms de conjuntos, sí: /3 7 /3 + 3 Ahor bien, en l práctic, lo nterior se suele indicr más bien medinte tbl de vlores: /3 f() /3 + 3 (NOTA: más delnte veremos que pr est función, por trtrse de un rect, bst con dr dos vlores ) Por ejemplo, se dice que l imgen de trvés de l función nterior es 7, y se design como f()=7 Muy importnte!: Pr que un función esté bien definid, un no puede tener más de un imgen. L imgen f() tmbién se denot como y, y se llm vrible dependiente; en el ejemplo nterior, se dirí y=+3 El conjunto formdo por todos los posibles, es decir, pr los que eiste imgen, se llm Dominio de definición, y se design como Dom(f); en el ejemplo nterior, serí lógicmente Dom(f)=IR L gráfic de un función f() está formd por todos los puntos (,y) que stisfcen l epresión y=f() Ejemplo : Construir l gráfic de l función f()= tbl de vlores propid medinte f()=

3 II) GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES MÁS HABITUALES: II.) FUNCIÓN CONSTANTE (y=k) Su gráfic, lógicmente, es un rect horizontl, que cort l eje verticl l ltur de k uniddes; ejemplos: y y y=3 0 y=- =-4 = De form precid, =K represent un rect verticl, l cul cort l eje l ltur de k uniddes; en el gráfico nterior puede verse un pr de ejemplos de este cso. Qué ecución tendrán entonces los ejes de coordends? II.) FUNCIÓN AFÍN (y=m+n) L gráfic de un función de er grdo es siempre un rect. Y vimos en el tem de Progrmción Linel que l form más rápid de representrl es dr dos vlores: =0 e y=0, correspondientes los cortes con los ejes. II.3) FUNCIÓN CUADRÁTICA (y= +b+c) L gráfic de un función de o grdo es siempre un prábol. Recordr de cursos nteriores que l form rápid de representrl es hllr los siguientes elementos: b º) Vértice: Su bscis viene dd por v = ; l ordend y v se obtiene sustituyendo v en l ecución de l prábol. º) Cortes con los ejes: El corte con el eje se obtiene hciendo y=0, e decir, resolviendo l ecución de º grdo socid l prábol; nótese que l prábol no tiene por qué cortr necesrimente dicho eje. El corte con el eje y se obtiene simplemente sustituyendo =0 en l ecución de l prábol. Siempre se v cortr dicho eje. Finlmente, recordr que ls rms de l prábol son simétrics respecto un eje verticl que pse por su vértice. Ejemplo : Representr l prábol y= -4+3 Ejercicios finl tem: 5

4 II.4) FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Se representn sencillmente dibujndo cd rm en su intervlo de definición: Ejemplo 3: Representr f() = si si si - < > Ejercicio: 6 II.5) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO En primer lugr, tenemos que recordr l definición de vlor bsoluto de un número: = 0 > 0 Por lo tnto, su representción gráfic será: y=- y= En generl, pr representr f(), seguiremos los siguientes psos: º) Representmos l función que figur dentro del vlor bsoluto, es decir, f() º) Ls prtes positivs (es decir, por encim del eje ) de f() se dejn igul, mientrs que ls negtivs se reflejn respecto l eje. De est form, nótese que f() siempre estrá por encim del eje, es decir, será siempre positiv. Por lo tnto, todo gir en torno en qué puntos se nul l función que figur dentro del vlor bsoluto, esto es, f(). Vése el siguiente ejemplo: 3

5 Ejemplo 4: Representr l función f()= -4 y obtener su epresión nlític como función definid por rms. NOTA: En el neo finl de este tem se puede ver un serie de ejemplos de gráfics representtivs. Ejercicio: 7 III) IDEA INTUITIVA DE lim f() = Ejemplo 5: Estudir el comportmiento de l función L (Ver pág. 38 del libro de teto) + f() = > en ls proimiddes de =, completndo ls siguientes tbls (medinte clculdor), y eplicr gráficmente l situción: - 0,9 0,99 0,999 f() +,,0,00 f() lim f() = lim + f() = lim f() = En l práctic, los límites no se suelen clculr de est form, sino operndo: lim f() = lim - lim f() = lim + ( + ) = lim f() = = En definitiv, vemos que cundo ls se cercn - (ª tbl), ls imágenes correspondientes tienden -, mientrs que cundo ls se cercn + (ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden +. Y todo ello es independiente de que, ectmente en =, l función vle. 4

6 Observciones: º Pr que eist límite hn de coincidir los límites lterles (o, dicho l revés, si no coinciden los límites lterles, entonces el límite no eiste). º A efectos de lim f(), no hy que tener en cuent lo que ocurre ectmente en =, sino en ls proimiddes; de hecho, hy csos en los que en un punto no eiste imgen pero sí límite (como en el ejemplo que veremos continución), y est es precismente l utilidd del concepto de límite. 3º De todos modos, normlmente eisten límite e imgen, y mbos coinciden, como en el ejemplo que cbmos de ver. < Ejemplo 6: Dd f() = ) Obtener numéricmente, + > lim f() completndo (medinte clculdor) ls tbls que figurn continución. b) Obtener nlíticmente dicho límite. c) Eplicr gráficmente l situción. -,9,99 f(),999 lim f() = + f(),,0,00 lim + f() = lim f() = Es decir, cundo ls se cercn - (ª tbl), ls imágenes correspondientes tienden 3 -, mientrs que cundo ls se cercn + (ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden 3 +. En este cso, l función no está definid justo en =, pero ello no impide que eist límite. Recordr: efectos del límite, no hy que fijrse en lo que hce l función ectmente en el punto, sino en sus proimiddes. Ejemplo 7: Dd f() = < 0 = 0 > 0 ) Obtener nlíticmente lim f() 0 b) Eplicr gráficmente l situción. 5

7 Vemos que eiste límite en =0, pues los límites lterles coinciden en dicho punto, y dicho límite vle 0. Ahor bien, l imgen en =0 es distint del límite, es decir, en este cso el límite no coincide con l imgen, pero ello no impide que eist límite. Recordr: efectos del límite, no hy que fijrse en lo que l función hce ectmente en el punto, sino en sus proimiddes. Vemos por último un sencillo ejemplo de función en el que no hy límite: - < 0 Ejemplo 8: Dd f( ) = se pide: ) Representrl. b) Hllr lim f() 0 0 lim f() = lim (-) = 0 0 lim f() = lim = / lim f() 0 En este cso, l cercrnos =0 - por l rm izquierd (flech verde), ls imágenes tienden ectmente - (unque precismente en =0 no tengn el vlor esperdo, sino ; de nuevo, téngse en cuent que efectos del límite no hy que tener en cuent lo que hce l función ectmente en el punto sino en sus proimiddes ), mientrs que l cercrnos =0 + por l rm derech (flech roj), ls imágenes tienden ectmente. Por lo tnto, como no coinciden los límites lterles, el límite globl no eiste. Podrímos ver más ejemplos, pero todos ellos se resumirín en lguno de los 4 csos del siguiente esquem (que corresponden, respectivmente, los cutro ejemplos nteriores); v eistir límite cundo sólo en los tres primeros supuestos: f() f() L f() f() L f() f() f() lim f() = f() lim f() = L [ unque / f() ] lim f() = L f() / lim f() [ unque f() ] (Ejemplo 5) (Ejemplo 6) (Ejemplo 7) (Ejemplo 8) Ejercicios: 8, 9 y 0 6

8 IV) CONTINUIDAD (Ver pág. 4 del libro de teto) Intuitivmente, un función es continu cundo se puede dibujr sin levntr el lápiz del ppel. Más formlmente, se define función continu en un punto de l siguiente form: f() continu en = f() f() lim = Es decir: Un función es continu en un punto si el límite coincide con l imgen en dicho punto. A efectos prácticos, pr estudir si un función es continu en un punto, hy que comprobr: ) que eist imgen ) que eist límite 3) y que mbos coincidn (En cso de no ser continu en un punto, se dice que es discontinu). Por etensión, diremos que un función es continu en un intervlo cundo lo es en todos los puntos de dicho intervlo. Vmos recordr de nuevo el esquem-resumen visto en el prtdo nterior, e investigr en cd uno de los cutro csos si l función es continu en =, pr lo cul plicremos los tres requisitos de l continuidd rrib menciondos; observmos que l función es continu en = sólo en el primer supuesto: f() f() L f() lim f() = f() f() CONTINUA en = / f() lim f() = L f() DISCONTINUA en = f() L f() f() f() lim f() = L f() f() DISCONTINUA en = / lim f() f() DISCONTINUA en = Nótese que en el último cso l función es discontinu, independientemente de que eist o no imgen. 7

9 Ejemplo 9: Dd f() = si si - > - ) Estudir su continuidd. b) Representrl gráficmente. Ejemplo 0: Dd f() = si si (-,] (, ) ) Estudir su continuidd. b) Representrl gráficmente. Ejercicios PAU: Culquier de los 3A Ejercicios finl tem: y ss. Ejercicios libro: pág. 48 y ss.:, b,, 3, 6 (estudir continuidd de funciones trozos) 8, 0 (continuidd con prámetro), 4 (rms con vlor bsoluto) EJERCICIOS. Cuáles de ests representciones corresponden l gráfic de un función? (Rzonr l respuest): ) b) c) d) 8

10 . En cd prtdo, representr ls rects sobre los mismos ejes: ) y=3 b) y=-3 c) y = d) y=0 y=3+ y=-3+ 3 y= y=3-7 y=-3-7 y=- y = Representr sobre los mismos ejes ls siguientes prábols. Qué conclusiones podemos etrer?: ) y= b) y= c) y= / d) y=- e) y=-4 y = Dds ls siguientes prábols, hllr: i) Vértice ii) Puntos de corte con los ejes iii) Representción gráfic ) y= -6+8 b) y= --3 c) y= d) y= -4+7 e) y= -6 f) y= ++ g) y= h) y=- -- i) y= +- j) y= -4 k) y= +4 l) y= +4+5 m) y= +4+3 n) y= o) y= +4+6 p) y=- - q) y=(+5) -8 r) y=(-) -8 s) y=(-5) +8 t) y=-(-) +8 u) y = ( + ) -5 v) y= -+ w) y= -4+ ) y= -8+6 y) y=-3-6+ z) y= -+3 α) y= -6+5 β) y = γ) y= -0+8 δ) 3 y = - - ε) y= En cd prtdo, representr ls prábols sobre los mismos ejes: ) y= b) y= c) A l vist de lo nterior, cómo serí l prábol y=(-4) y= +4 y=(-4) +5? Cuál es su vértice? y=(+5) y= Representr ls siguientes funciones definids trozos: ) f() = b) 3 f() = 3 c) f() = d) f() = - / - 3 e) f() = + (-,) [, ) < - si- < (-,) [,4] (4, ) si - 5 si 0 = > < 0 < / f) f() = g) f() = ( -,] (, ) < 0 = 0 > 0 h) - ( -,] f() = - si - 4 (, ) 5 i) - 5 f() = si 0 < 3 > 3 j) f() = si 0 si 3 < 0 < 3 < 6 > 6 9

11 7. Dds ls siguientes funciones vlor bsoluto se pide: i) Representción gráfic ii) Definición nlític por rms.. ) f() = b) f() = c) f() = + d) f() = e) f() = 4 5 f) f() = g) f() = 4 RECORDAR: Pr que eist límite de un f() en un punto hn de coincidir los límites lterles en dicho punto. A efectos del lim f() no tenemos en cuent lo que ocurre ectmente en =, sino en ls proimiddes. De hecho, hy csos en los que no eiste f() pero sí el lím (de hí l utilidd de l noción de límite) 8. Dd l gráfic de l figur, indicr si eiste lim f() en los siguientes csos: ) Cundo b) Cundo c) Cundo 4 d) Cundo 5 9. Representr l función f() = 4 < si < 3 3 y clculr lim f() cundo, 3, 5 0. Dd l función + f() = b - si < > clculr los vlores de los prámetros y b pr que eistn los límites en = y = (Soluc: =-, b=3/8) RECORDAR: f() continu en = f() lim = f() Es decir: Un función es continu en un punto si el límite coincide con l imgen en dicho punto. A efectos prácticos, pr estudir si un función es continu en un punto, hy que comprobr: ) que eist imgen ) que eist límite 3) y que coincidn

12 . Estudir l continuidd de ls siguientes funciones: ) < 0 f() = b) c) < 0 f() = = 0 > 0 + f() = < > d) - = e) f() f() = 6 > + < (Soluc: ) discont. en =0; b) discont. en =0; c) discont. en =; d) continu R; e) discont. en =0 y =). Dd 0 f() = se pide: ) Representción gráfic. = 0 b) Estudir nlíticmente l continuidd lterl en =0 si c) A l vist del prtdo nterior, es continu en =0? 3. Representr l siguiente función e indicr si tiene lgún punto de discontinuidd: (Soluc: discontinu en =3 y =4) f() = + 0 si 3 < 3 < Representr l siguiente función e indicr si tiene lgún punto de discontinuidd: (Soluc: discontinu en =) f() = - - si < > 5. Clculr cuánto debe vler pr que l siguiente función se continu R: (Soluc: =0) + f() = 3 - > 6. Dd l función f() = b < 0 si 0 < hllr y b pr que l función se continu y dibujr l gráfic de l función. (Soluc: =3 y b=-) 7. Dd l función f() = m + n si < 3 > 3 hllr los vlores de m y n pr que f() se continu (puede ser útil dibujr l gráfic). (Soluc: m=3, n=)

13 8. Ídem: (Soluc: =-/, b=-3) f() = b si - 9. Ídem: (Soluc: =-5, b=54, c=) + b f() = c 0 si 3 < si - < 3 < 5 5 ANEXO: GRÁFICAS MÁS REPRESENTATIVAS GRÁFICAS MÁS REPRESENTATIVAS En generl, ls curvs y= n, siendo n y= y= 4 positivo pr, tienen est form. (cunto myor es n, más cusd es l curvtur) PARÁBOLA En generl, ls curvs y= n, siendo n y= 3 y= 5 positivo impr ( ), tienen est form. (cunto myor es n, más cusd es CÚBICA l curvtur)

14 y= BISECTRIZ DEL er CUADRANTE y= En generl, l gráfic de y= f() se obtiene reflejndo l de f() respecto l eje OY en el semiplno superior. VALOR ABSOLUTO y=/ HIPÉRBOLA + y = HIPÉRBOLA DESPLAZADA En generl, + b y = c + d donde c 0, es un hipérbol. y = 3 y = CÚBICA GIRADA 90º y = 3 SEMIPARÁBOLA GIRADA 90º y=e y=ln LOGARITMO NEPERIANO y=/ EXPONENCIAL y = - y = y + = CURVA DE AGNESI SEMICIRCUNFERENCIA 3

15 y=sen y= y=- π/ π 3π/ π y=cos π/ π 3π/ π y=tg π/ 3π/ π SENO COSENO TANGENTE 4

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