Probabilidades y Estadística (M) Práctica 8 1 cuatrimestre 2012 Convergencias - Ley de los Grandes Números

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1 robabilidades y Estadística (M) ráctica 8 cuatrimestre 22 Covergecias - Ley de los Grades Números. Ua máquia produce artículos de 3 clases: A, B y C e proporcioes 25 %, 25 % y 5 % respectivamete. Las logitudes de los artículos A y B sigue distribucioes U[, ] y U[, 2] respectivamete y las logitudes de los artículos C se distribuye segú la desidad f(x) = ( x 2 ) [,2] (x). Se elige artículos al azar de la producció total y se calcula el promedio de sus logitudes. a) Dar ua cota iferior para la probabilidad de que el promedio de las logitudes esté compredido etre 5 24 y 9 24 si el tamaño de la muestra es =. b) ¾Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que la probabilidad de que el promedio de las logitudes esté compredido etre 5 24 y 9 24 sea mayor o igual que.9? 2. Sea p la probabilidad de que ua persoa elegida al azar apoye la legalizació del cosumo de marihuaa (p es descoocida). Se toma ua muestra de 5 persoas elegidas al azar, se les preguta si apoya o o la legalizació y se estima p a partir de la frecuecia relativa f r que se dee por f r = No de persoas ecuestadas que está a favor de la legalizació 5 Observar que f r es ua variable aleatoria y p es simplemete u úmero. Cuato más cerca se ecuetre f r de p, mejor estimador será. Hallar ua cota superior para ( f r p >,) que o depeda de p. 3. Desigualdad de Tchebychev a u lado a) Sea ua variable aleatoria co E() = y Var() = σ 2 <. robar que para todo a > vale ( > a) σ2 σ 2 + a 2. Sugerecia: Observar que para todo b > vale la desigualdad ( > a) = ( + b > a + b) (( + b) 2 > (a + b) 2 ). () Aplicar la desigualdad de Markov e () y calcular el míimo e b de la cota hallada. b) U cojuto de 2 persoas (itegrado por mujeres y hombres) se divide aleatoriamete e pares de 2 persoas cada uo. Utilizar la desigualdad de Tchebychev a ua lado para hallar ua cota superior para la probabilidad de que meos de 3 de estos pares esté formados por ua mujer y u hombre. Comparar co la cota obteida a partir de la desigualdad de Tchebychev origial. 4. Sea ( ) N ua sucesió de variables aleatorias idepedietes tal que y para 2 ( = k) = 3 si k = ±, ±2,..., ± 2 2 si k = robar que si α > 2 etoces Sugerecia: k 2 = k= ( + )(2 + ). 6 i α.

2 5. Sea ( ) N ua sucesió de variables aleatorias tal que lím + Var( ) =. a) robar que si E( ) = para todo N etoces. b) robar que si lím + E( ) = µ R etoces µ. 6. Sea ( ) N ua sucesió de variables aleatorias y otra variable aleatoria, todas ellas deidas sobre el mismo espacio. a) Escribir el cojuto { } e térmios de evetos de la forma { α} co α > y vericar que es u eveto perteeciete a la σ-álgebra F. b) Escribir el cojuto { } e térmios de umerables evetos de la forma { > α} co α >. c) Vericar que { } = { }. d) Sea L + = lím sup +, i.e., para cada ω Ω se dee L + (ω) = lím sup + (ω). i. ara cada α > escribir el cojuto {L + α} e térmios de umerables evetos de la forma { > r para iitos valores de } co r R y vericar que es u eveto perteeciete a la σ-álgebra F. Deducir que L + es ua variable aleatoria. ii. ara cada α > escribir el cojuto {L + > α} e térmios de umerables evetos de la forma { > r para iitos valores de } co r R y vericar que es u eveto perteeciete a la σ-álgebra F. e) Demostrar armacioes aálogas a las del ítem d) para L = lím if Sea ( ) N ua sucesió de variables aleatorias idepedietes co distribució ε() y para cada N deamos la variable aleatoria log( + ). a) robar que Y. b) robar que (L + = ) =, dode L + := lím sup + Y. c) robar que (L = ) =, dode L := lím if + Y. d) Deducir de los items ateriores que la sucesió (Y ) N o tiee límite casi seguro. 8. Sea ( ) N ua sucesió de variables aleatorias idepedietes co distribució N(, ) y para cada N deamos la variable aleatoria. log a) robar que Y. b) robar que (L + = 2) =, dode L + := lím sup + Y. Sugerecia: robar primero que si N(, ) etoces para todo x > vale las desigualdades f (x) x + x ( > x) f (x) x. c) Deducir que (L = 2) =, dode L := lím if + Y. d) Cocluir a partir de los items ateriores que la sucesió (Y ) N o tiee límite casi seguro. e) robar que ( k= < 2 log para todo sucietemete grade ) =. Deducir a partir de este resultado la ley fuerte de los grades úmeros para variables aleatorias co distribució ormal. 2

3 9. Se elige al azar u úmero e el itervalo [, ]. a) Dados k N y ua secuecia ordeada de k dígitos (a,..., a k ) {,..., 9} k, calcular la probabilidad para cada N de que dicha secuecia coicida co la de los dígitos del desarrollo decimal de etre los lugares y + k. b) Dados k N y ua secuecia ordeada de k dígitos (a,..., a k ) {,..., 9} k, calcular la probabilidad de que dicha secuecia aparezca iitas veces e el desarrollo decimal de. c) Calcular (Ocurre iitos A ), dode para cada N se dee el eveto A como A = {El 9 aparece veces cosecutivas e los 2 primeros lugares del desarrollo decimal de }. d) ¾Cuál es la probabilidad de que sea racioal?. Se tira iitas veces ua moeda de maera idepediete y co probabilidad p de obteer cara e cada lazamieto. a) Dado k N calcular la probabilidad de obteer iitas rachas de k caras cosecutivas. b) Sea A el eveto de obteer ua racha de caras cosecutivas de logitud o meor que etre los lazamietos 2 y 2 +. robar que si p < 2 (Ocurre iitos A ) = si p 2. Sugerecia: Si p 2 etoces = ( ( p ) h 2 i) = +.. robar que ua sucesió de variables aleatorias ( ) N coverge e probabilidad a ua variable aleatoria si y sólo si toda subsucesió de ( ) N cotiee otra subsucesió que coverge casi seguramete a Ua colecció ( i ) i I de variables aleatorias se dice acotada e probabilidad o tight si dado ε > existe u compacto K ε tal que sup ( i / K ε ) < ε. i I a) robar que toda colecció ita de variables aleatorias es acotada e probabilidad. b) Mostrar que ua familia iita de variables aleatorias o es ecesariamete acotada e probabilidad. c) Sea ( ) N ua sucesió de variables aleatorias y ua variable aleatoria tal que. robar que la familia ( ) N está acotada e probabilidad. 3. Sea ( ) N e (Y ) N dos sucesioes de variables aleatorias. a) robar que si e (Y ) N está acotada e probabilidad etoces Y. b) robar que si e Y Y etoces + Y + Y y que Y Y. L c) robar que si ( ) N es ua sucesió acotada etoces para todo p vale p. d) Mostrar co u ejemplo que la equivalecia del ítem aterior puede o valer si la sucesió ( ) N o es acotada. ¾Es algua de las implicacioes cierta siempre? ¾Cuál? 4. Sea ( k ) k N ua sucesió de vectores aleatorios sobre R y otro vector aleatorio sobre R. Si u úmero admite dos desarrollos decimales se optará por el ito. or ejemplo, se tomará.745 y o

4 a) robar que si k y g : R R m es ua fució cotiua etoces g( k ) g( ). Sugerecia: Teer presete que ( k ) k N es ua sucesió acotada e probabilidad y que toda fució cotiua es uiformemete cotiua sobre compactos. cs b) robar que si k y g : R R m es ua fució cotiua etoces g( k ) cs g( ). c) robar que si k y g : R R es ua fució cotiua y acotada etoces g( k ) Lp g( ) para todo p. 5. Sea ( ) N ua sucesió de variables aleatorias. a) Supogamos que k para cierta costate k R o ula. Se dee la sucesió (Z ) N como si Z = si =. robar que Z es ua variable aleatoria para todo N y que Z k para referiros a este hecho. k. Adoptaremos la otació b) Supogamos que co ( = ) =. Se dee la sucesió (Z ) N como e el ítem aterior. robar que Z Z, dode Z está deida por la fórmula si Z = si =. Adoptaremos la otació Sugerecia: Observar que para referiros a este hecho. y aplicar el resultado establecido e el ítem aterior. 6. Sea f y g fucioes cotiuas deidas sobre el itervalo [, ] tales que < f(x) kg(x) para todo x [, ], dode k es ua cierta costate positiva. a) Sea = (,..., ) u puto elegido al azar e el cubo [, ]. Deimos las sucesioes de variables aleatorias (Y ) N y (Z ) N por las fórmulas robar que b) robar que lím Y f( i ) y Z = f(x) dx y Z g( i ). g(x) dx. f(x ) + + f(x ) g(x ) + + g(x ) dx dx = f(x) dx g(x) dx 7. Sea ( ) N ua sucesió de variables aleatorias idepedietes co distribució U[, ]. Hallar el límite casi seguro de la sucesió (Y ) N, dode para cada N la variable aleatoria Y se dee como i. 4

5 8. Sea ( ) N ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas tal que E() =, E( 2 ) = 2 y E( 4 ) < +. robar que i 2 i cs Sea ( ) N ua sucesió de variables aleatorias idepedietes co distribució N(, ). Dados a, b R deimos para cada N la variable aleatoria Z = e as b dode S = k= cs L k. robar que Z b > pero que para r se tiee Z r r < 2b. a 2 2. Sea ( ) N ua sucesió de variables aleatorias i.i.d. co E( ) = +. a) robar que para todo k N se verica N ( > k) = +. b) robar que lím sup + S c) Deducir que lím sup + = +. = +, dode S = i. d) Cocluir del ítem aterior que si ( ) N es ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas tal que cs i µ para cierto µ R etoces E( ) < +. 5