PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción A

2 + Considera la función f : R R definida por f ( ) = e a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Asíntota vertical: No tiene. Asíntota horizontal: + y e lim = = lim = = =. Asíntota oblicua: No tiene b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: + + ( + ) + y ' = e = e = = ; = ( + ) ( + ) (, ) (,) (, ) Signo y ' + Función D C D mínimo ( ),e Máimo (, e )

3 9 Sea f la función definida por f ( ) = para y. a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Con los datos obtenidos, esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Asíntota vertical: = y =. 9 9 Asíntota horizontal: lim = = lim = y=. Asíntota oblicua: No tiene b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 9 ( ) ( ) (9 ) y ' = = = No ( ) ( ) (,) (, ) (, ) Signo y ' Función D D D La función es decreciente en su dominio. c)

4 Determina el valor de las constantes c y d sabiendo que la gráfica de la función f : R R definida por f ( ) = + + c + d tiene como recta tangente en su punto de infleión a la recta y = + 4. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Calculamos el punto de infleión de la función. f c f '( ) = ; ''( ) = 6 + 6= = A continuación, aplicamos las condiciones del problema. f c c '( ) = ( ) + 6 ( ) + = = 6 Pasa por P f d d (,) () = = ( ) + ( ) + 6 ( ) + = 5 Luego, la función será: f ( ) =

5 Sea :[,4] f R R una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura. (,) (, ) (4, ) a) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de f y determina los valores donde alcanza sus etremos relativos. b) Estudia la concavidad y conveidad de f. Tiene puntos de infleión la gráfica de f?. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos la ecuación de la recta que pasa por (,) y (, ). y 4 = y=, el punto de corte con el eje X es: Calculamos la ecuación de la recta que pasa por (,) y (4, ). y + = y=, el punto de corte con el eje X es: 4,,,,,4 Signo y ' + Función D C D Máimo en = ; mínimo en = 4 4 si si b) f '( ) = f ''( ) = + si < 4 si < 4 (, ) (, 4 ) Signo y ' + Función C Cn Luego, tiene un punto de infleión en =

6 Considera el recinto limitado por la curva y = y la recta y= 9 y=9 De entre los rectángulos situados como el de la figura, determina el que tiene área máima. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La función que queremos que sea máima es: S ma = (9 y) b) Relación entre las variables: y= c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. S ma 54 = (9 ) = d) Derivamos e igualamos a cero 54 6 S ' = = = Luego, las dimensiones son: = ; y=. S ma = (9 y) = 6u

7 De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas, determina las que son tangentes a la curva de ecuación y = Calcula los puntos de tangencia 4 correspondientes. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. La ecuación de todas las rectas tangentes será: queremos que pasen por el punto (,), tenemos: a 4 4= + 4 ( a) ; y como 4 y a a a a= 4 a 4a 4= + 4 ( a) a 6a 6=a 6a a 6= 4 a= 4 4 a y = = + y= Punto ( 4) 6 ; (4, 4) 4 a= y = + + y= Punto 4 4 ( 4) 4 ( 4) 4 4 ( 4) ; ( 4, 8)

8 sen si > Estudia la derivabilidad de la función f : R R definida por: f ( ) =. si MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B Si la función es derivable en=, primero tiene que ser continua en dicho punto, luego: sen cos lim = = lim = lim lim = + = lim = + Continua cossen si > Calculamos la función derivada: f '( ) = si < f f '( ) = + cos cos cos f '( ) f '( ) + sen sen sen = = '( ) = = = = = = Luego, la función es derivable.

9 Considera la función f : R R definida por: a) Calcula: lim f ( ) y lim f ( ) + f ( ) = e. b) Calcula los intervalos de monotonía y los etremos locales de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) lim e = = lim = = lim = = lim = e e e 4 lim + e = b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y e e e ' = + = + = = ; = 4 (, 4) ( 4,) (, ) Signo y ' + + Función C D C 4,6e Máimo ( ) mínimo (, )

10 Sea f : R R la función definida por: f ( ) = y sea r la recta de ecuación + y = 6. a) Determina, si es posible, un punto de la gráfica de f en el que la recta tangente sea r. b) Hay algún punto de la gráfica de f en el que la recta normal a la gráfica sea r?. Justifica la respuesta. MATEMÁTICAS II.. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Si r es tangente se tiene que cumplir que: f '( ) = + 5= + 7= = ; = Sólo el punto (, 4), pertenece a la recta y a la curva. 8 b) La recta + y= 6 corta a la función en el punto (,), pero en ese punto la recta tangente tiene de pendiente y no, luego, no eiste ese punto.

11 a + b si Considera la función f : R R definida por: f ( ) =. Determina a y b ( a+ b) e si > sabiendo que f es derivable. MATEMÁTICAS II.. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. Si la función es derivable en=, primero tiene que ser continua en dicho punto, luego: lim a+ b= b b = e = lim ( a+ b) + a si Calculamos la función derivada: f '( ) = ( a+ b) ( a+ b) e si > Como es derivable en =, se cumple que: f f '( ) = a a a + = = '( ) = b

12 + Considera la curva de ecuación y=. a) Determina sus asíntotas. b) Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto?. Justifica la respuesta. MATEMÁTICAS II.. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. Calculamos el dominio de la función: a) Asíntota vertical: = ; =. = = D { } ; = = R, Asíntota horizontal: lim = = lim = = lim = No tiene. Asíntota oblicua: y= m= lim = lim = n= lim = lim = lim = b) Calculamos el punto de corte de la asíntota oblicua con la función. + y= 4 + = =, y= +

13 Estudia la derivabilidad de la función f : (, + ) R definida por: + si < f ( ) = + si > 4 Calcula la función derivada. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Vamos a estudiar primero la continuidad en = + = 5 lim + = 4 4 lim + b) Calculamos la función derivada: No es continua en =, por lo tanto, no es derivable en = si < < f '( ) + = si + >

14 + Considera la función f definida por f ( ) = para. a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Estudia la posición de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Asíntota vertical es=. Asíntota horizontal: lim + = = lim = No tiene. Asíntota oblicua: y= + lim + m= = lim = ; n= lim = lim = lim = b) Calculamos la posición de la gráfica respecto de las asíntotas: lim ( ) = lim = lim = encima de la asíntota oblicua. + luego, f ( ) está por lim ( ) = lim = lim = debajo de la asíntota oblicua. luego, f ( ) está por

15 t Considera la matriza= t. Calcula los valores de t para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. Calculamos el determinante t A = t = + + t t 4 Vemos que es una función cuadrática. Calculamos los puntos de corte con el eje X. A t t t t = + + 4= = ; = 4 Luego, para todos los valores de t (, 4) A es positivo. Calculamos la derivada y la igualamos a cero. t+ = t= Luego, el máimo se alcanza para t= y vale A = 5 4