Vectores en el espacio

Transcripción

1 1. El concepto, características y operaciones de los vectores en el espacio son una generalización de los vectores del plano, que ya se conocen de cursos pasados. Es conveniente por tanto repasar conceptos como módulo, dirección y sentido de un vector plano, la suma y la resta de vectores y el producto de un número por un vector. A partir de ahora para designar un vector utilizaremos letras minúsculas con una flechita encima:,, w, Expresión analítica de un vector Antes de continuar debemos recordar varios aspectos relativos a vectores. Definición 1.1 Dados los vectores,,..., w y los números reales a,b,...,c, la expresión a+b +...+c w recibe el nombre de combinación lineal de los vectores,,..., w. Y a partir de esta noción surge el concepto de dependencia e independencia lineal. Definición 1. Varios vectores son linealmente dependientes cuando uno de ellos se puede expresar como una combinación lineal de los otros. Y en caso contrario los vectores son linealmente dependientes. No debemos olvidar el resultado que nos permite estudiar cuando varios vectores son o no linealmente dependientes. Teorema 1.1 Los vectores,,..., w son linealmente independientes si la única solución posible de la ecuación a+b +...+c w = 0 es a = b =... = c = 0. A partir de ahora nos vamos a centrar en el espacio vectorial tridimensional. w En este espacio si tenemos tres vectores no nulos y que no están en un mismo plano, entonces son linealmente independientes. Además cualquier otro vector se puede poner siempre como una combinación lineal de estos tres vectores. Por eso decimos que forman una base: B = (,, w) 1

2 Si los tres vectores son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal y si además tienen la misma longitud (que se toma como unidad) se dice que la base es ortonormal 1. w w Base ortogonal Base ortonormal Definición 1.3 Dada una base B = (,, w), cualquier vector x se puede expresar de forma única como combinación lineal de los elementos de dicha base: x = x 1 + x + x 3 w A los números x 1,x,x 3 se les llama coordenadas del vector x respecto de B y se expresa como x = (x 1,x,x 3 ) o bien x(x 1,x,x 3 ). Así si consideramos los vectores de la base, sus coordenadas serían: = (1,0,0), = (0,1,0), w = (0,0,1) y las coordenadas del vector 0 en cualquier base son siempre (0,0,0). Además las coordenadas del vector suma se obtienen sumando las coordenadas de cada uno de los sumandos y las coordenadas de un número por un vector se obtienen multiplicando el número por las coordenadas del vector:si x = (x 1,x,x 3 ) e y = (y 1,y,y 3 ), entonces x + y = (x 1 + y 1,x + y,x 3 + y 3 ) y k x = (kx 1,kx,kx 3 ). 1.. Operaciones con vectores Ya conocemos de cursos anteriores que dos vectores pueden sumarse o restarse y obtenemos otro vector, y también podemos multiplicar un número por un vector y obtener otro vector. x x + y y Un ejemplo de suma de dos vectores. Recordemos que para la resta había que sumar al primer vector el opuesto del segundo vector. Las propiedades de estas operaciones eran las siguientes: 1 A la base ortonormal se la nota como B = ( i, j, k)

3 Propiedades de la suma de vectores Conmutativa: x + y = y + x Asociativa: ( x + y) + z = x + ( y + z) Elemento neutro: x + 0 = x Elemento opuesto: x + ( x) = 0 Propiedades del producto de un número por un vector Asociativa: a (b x) = (a b) x Distributiva I: a ( x + y) = a x + a x Distributiva II: (a + b) x = a x + b x Producto por 1: 1 x = x. Producto escalar Vamos a comenzar el primero de los producto que podemos definir entre vectores. Definición.1 Dados los vectores x e y se define su producto escalar como x y = x y cos( x, y) Así pues el producto escalar de dos vectores es un número real, cuyo signo dependerá del ángulo que formen ambos vectores: Si ( x, y) es agudo, su coseno es positivo, y por tanto x y > 0 Si ( x, y) es obtuso, su coseno es negativo, y por tanto x y < 0 Si ( x, y) es recto, su coseno vale cero, con lo que x y = 0 Así pues tenemos que el producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y sólo si son perpendiculares. Este resultado lo utilizaremos mucho en este y los siguientes temas. Teorema.1 El producto escalar de vectores cumple las siguientes propiedades: a) Conmutativa: = b) Asociativa: λ( ) = (λ) = (λ) c) Distributiva: ( + w) = + w Es muy importante conocer cómo se comporta el producto escalar con respecto a las coordenadas de un vector en una base ortonormal. Para ello vamos primero a ver una resultado que determina cómo es el producto escalar de los elementos de una base ortonormal. Teorema. Si B( i, j, k) es una base ortonormal, se cumple: i i = 1 i j = 0 j j = 1 i k = 0 k k = 1 j k = 0 3

4 A partir de este resultado y utilizando las propiedades anteriores del producto escalar, tenemos la siguiente propiedad que nos determina el resultado del producto escalar de dos vectores a partir de sus coordenadas respecto de una base ortonormal. Teorema.3 Sean (x 1,y 1,z 1 ) y (x,y,z ) las coordenadas de los vectores y respecto de una base ortonormal B( i, j, k). Entonces = x 1 x +y 1 y +z 1 z. Por ejemplo si (,4,0) y (3,, 4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una base ortonormal se cumple que = ( 4) = =.1. Aplicaciones del producto escalar Podemos utilizar el producto escalar para determinar algunos elementos geométricos relacionados con los vectores. En todo lo que sigue supondremos que las coordenadas de los vectores vendrán dadas respecto de una base ortonormal: (x 1,y 1,z 1 ) y (x,y,z ). Módulo de un vector. Se definía el módulo de un vector como la longitud del mismo. El módulo del vector se escribe como y se calcula como = = x 1 + y 1 + z 1 Ángulo de dos vectores. El ángulo que forman dos vectores se define como el menor de los ángulos que determinan. Si los vectores son y el ángulo que determinan viene dado por : cos(,) = = x 1 x + y 1 y + z 1 z x 1 + y1 + z 1 x + y + z Proyección de un vector sobre otro. A B La proyección del vector sobre el vector es la longitud del segmento AB. El segmento proyección del vector sobre el vector se calcula como = x 1x + y 1 y + z 1 z x 1 + y1 + z 1 Y el vector proyección se obtiene multiplicando el vector unitario 1 por esa distancia: = x 1x + y 1 y + z 1 z x 1 + y 1 + (x,y,z ) z 1 Criterio de perpendicularidad Los vectores no nulos y son perpendiculares cuando se cumple que x 1 x + y 1 y + z 1 z = 0 4

5 3. Producto vectorial Definición 3.1 El producto vectorial de dos vectores y es un vector que notaremos y viene dado por: a) Si y son linealmente dependientes, = 0 b) Si y son linealmente independientes, el módulo de es sen(,), su dirección es perpendicular a y y su sentido es hacia arriba o hacia abajo según si (,) < 180 o o (,) > 180 o. Es necesario indicar que el ángulo que forman los vectores y se toma en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. A partir de la definición anterior, si queremos obtener un vector perpendicular a dos vectores y, hallamos el vector Propiedades del producto vectorial Algunas de las propiedades del producto escalar son las siguientes. 1. El módulo del producto vectorial coincide con el área del paralelogramo determinado por los vectores y.. = ( ) 3. = 0 4. i j = k, j k = i, k i = j 5. (a) = (a) = a( ) 6. El producto vectorial no es en general asociativo 7. ( + w) = + w 8. Si (x 1,y 1,z 1 ) y (x,y,z ), el producto vectorial tiene como coordenadas ( ) y = 1 z 1 y z, z 1 x 1 z x, x 1 y 1 x y Alguno de ellos es cero o tienen la misma dirección 5

6 4. Producto mixto de tres vectores Definición 4.1 Se llama producto mixto de los vectores, y w, y lo notamos como [,, w], al número ( w). A partir de las coordenadas de los vectores (x 1,y 1,z 1 ), (x,y,z ), w(x 3,y 3,z 3 ) podemos hallar de una forma muy sencilla su producto mixto: x 1 y 1 z 1 [,, w] = x y z x 3 y 3 z 3 El producto mixto de tres vectores tiene una interpretación geométrica muy útil: [,, w] coincide con el volumen del paralelepípedo determinado por estos tres vectores. 6