UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO DIVISIÓN DE CIENCIAS FORESTALES

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1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO DIVISIÓN DE CIENCIAS ORESTALES USO DE CALC DE OPENOICE EN EL ANÁLISIS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES TESIS PROESIONAL QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE: LICENCIADO EN ESTADÍSTICA P R E S E N T A: CARLOS VERDUZCO RÍOS Chapngo, Texcoco, Estado de Méxco, Novembre de 009 1

2 Esta tess fue realzada por Carlos Verduzco Ríos, bajo la dreccón del Dr. José Artemo Cadena Meneses. ue revsada y aprobada por el sguente Comté Revsor y Jurado Examnador, para obtener el título de Lcencado en Estadístca. PRESIDENTE Nombre y frma SECRETARIO Nombre y frma VOCAL Nombre y frma SUPLENTE Nombre y frma SUPLENTE Nombre y frma Chapngo, Texcoco, Edo. de Méxco, Novembre de 009

3 DEDICATORIA A MIS PADRES... Lorenzo y María Concepcón Quenes con su apoyo, carño, consejos y confanza me han otorgado las habldades y capacdades que me permtrán, el día de mañana, enfrentar la vda con éxto. Eternamente agradecdo, pues de ustedes recbí lo más valoso: El Don de la Vda y la mejor herenca: M Carrera Profesonal. A MIS HERMANOS (AS Y AMILIARES... Gracas por el apoyo, consejos y confanza para segur adelante en m persona y ms estudos; y no tenendo otra forma de agradecerles, más que esforzándome por alcanzar el éxto, quero que sentan que el objetvo logrado tambén es suyo. AGRADECIMIENTOS A m alma mater la Unversdad Autónoma Chapngo por brndarme la oportundad de lograr una profesón con valores y étca. Al Jurado calfcador: Dr. José Artemo Cadena Meneses, M. Alejandro Corona Ambz, M. Ángel Leyva Ovalle, Dr. Hugo Ramírez Maldonado y Lc. MArgarto Sorano Montero, por dedcar un poco de su valoso tempo en excelentes observacones y comentaros durante el desarrollo del trabajo. A todos ms amgos (as de Chapngo, gracas por esos momentos que pasamos juntos. Snceramente Carlos Verduzco Ríos 3

4 CONTENIDO ÍNDICE DE CUADROS.v RESUMEN...x SUMMARY...x 1. INTRODUCCIÓN JUSTIICACIÓN OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL OBJETIVOS PARTICULARES ANTECEDENTES PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES PRUEBAS DE HIPÓTESIS Defncones báscas Error Tpo I Y Tpo II Estadístca de prueba y valores tabulados Dstrbucones de probabldad contnuas Dstrbucón t de Student Dstrbucón de Snedecor CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES Defncones Modelo lneal Conceptos báscos Error expermental Modelo lneal general Supuestos báscos de los dseños expermentales Hpótess a probar Análss de varanza DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA CARACTERÍSTICAS VENTAJAS DESVENTAJAS MODELO LINEAL HIPÓTESIS A PROBAR ANÁLISIS DE VARIANZA

5 6.7. REGLA DE DECISIÓN DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO MODELO LINEAL PARA SUBMUESTREO HIPÓTESIS A PROBAR ANÁLISIS DE VARIANZA CON SUBMUESTREO. NÚMERO IGUAL DE SUBMUESTRAS REGLA DE DECISIÓN DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA CARACTERÍSTICAS VENTAJAS DESVENTAJAS MODELO LINEAL HIPÓTESIS A PROBAR ANÁLISIS DE VARIANZA REGLA DE DECISIÓN COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS HIPÓTESIS A PROBAR DIERENCIA MÍNIMA SIGNIICATIVA (DMS Ventajas Desventajas Regla de decsón PRUEBA DE TUKEY Regla de decsón PRUEBA DE DUNCAN Regla de decsón PRUEBA DE SCHEÉ Regla de decsón PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K Regla de decsón DISEÑO EN CUADRO LATINO CARACTERÍSTICAS MODELO LINEAL CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRO LATINO BÁSICO HIPÓTESIS A PROBAR ANÁLISIS DE VARIANZA REGLA DE DECISIÓN DISEÑO ACTORIAL CARACTERÍSTICAS NOMENCLATURA TIPOS DE DISEÑOS ACTORIALES MODELO LINEAL

6 11.5. ANÁLISIS DE VARIANZA DISEÑO ACTORIAL K DISEÑO ACTORIAL 3 K DISEÑO ACTORIAL 3 K X L DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS CARACTERÍSTICAS MODELO LINEAL HIPÓTESIS A PROBAR ANÁLISIS DE VARIANZA REGLA DE DECISIÓN CONCLUSIONES BIBLIOGRAÍA APÉNDICE

7 ÍNDICE DE CUADROS Cuadro 1. Cronología de las versones de OpenOffce Cuadro. Análss de varanza para el modelo Y e. H 0 : µ = µ 0 vs H a : µ µ 0.31 Cuadro 3. Análss de varanza para el modelo Y e. H 0 : µ = 0 vs H a : µ 0. 3 Cuadro 4. Estructura del análss de varanza para el dseño completamente al azar Cuadro 5. Datos (en lb/pulgada del expermento a la tensón Cuadro 6. Dseños expermentales más comunes y comparacón múltple de medas Cuadro 7. Dseño completamente al azar Cuadro 8. Análss de varanza para el dseño completamente al azar Cuadro 9. Estructura del análss de varanza para un dseño completamente al azar con submuestreo. Número gual de submuestras Cuadro 10. Crecmento en una semana de tallos de plantas de menta cultvadas en una solucón nutrtva Cuadro 11. Dseño completamente al azar con submuestreo Cuadro 1. Análss de varanza para el dseño completamente al azar con submuestreo Cuadro 13. Estructura del análss de varanza para el dseño en bloques completos al azar Cuadro 14. Produccón de tomate en toneladas por hectárea con la aplcacón de nsectcdas Cuadro 15. Dseño en bloques completos al azar Cuadro 16. Análss de varanza para el dseño en bloques completos al azar Cuadro 17. Pruebas de comparacones múltples de medas Cuadro 18. Prueba de la Dferenca Mínma Sgnfcatva Cuadro 19. Prueba de la Dferenca Mínma Sgnfcatva con las medas de tratamentos ordenados Cuadro 0. Dferencas de medas (D k de tratamentos ordenados y valores de las DMS

8 Cuadro 1. Prueba de Tukey Cuadro. Prueba de Tukey con las medas de tratamentos ordenados Cuadro 3. Dferencas de medas (D k de tratamentos ordenados y valores de Γ k Cuadro 4. Prueba de Duncan Cuadro 5. Prueba de Duncan con las medas de tratamentos ordenados Cuadro 6. Dferencas de medas (D k de tratamentos ordenados y valores de C k Cuadro 7. Prueba de Scheffé Cuadro 8. Prueba de Scheffé con las medas de tratamentos ordenados Cuadro 9. Dferencas de medas (D k de tratamentos ordenados y valores de ξ K Cuadro 30. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K Cuadro 31. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K con las medas de tratamentos ordenados Cuadro 3. Dferencas de medas (D k de tratamentos ordenados y valores de (S-N-K K Cuadro 33. Cuadro latno básco Cuadro 34. Estructura del análss de varanza para un dseño en cuadro latno.. 96 Cuadro 35. Cuadro Latno aleatorzado (en base a las hleras Cuadro 36. Concentracón bacterana (n de células / ml (según la escala de Mc arland 1 x Cuadro 37. Dseño en cuadro latno Cuadro 38. Análss de varanza para el dseño en cuadro latno Cuadro 39. Notacones para el dseño factoral Cuadro 40. Método de Yates para el análss de expermentos factorales Cuadro 41. Expermento factoral 3. Rendmentos de Caña en Toneladas por Hectárea Cuadro 4. Estructura del análss de varanza para el dseño factoral 3 en bloques completos al azar Cuadro 43. Tpos de dseños factorales más comunes

9 Cuadro 44. Dseño factoral k en bloques completos al azar Cuadro 45. Análss de varanza para el dseño factoral 3 en bloques completos al azar Cuadro 46. Datos de la pérdda de jarabe (las undades son centímetros cúbcos Cuadro 47. Estructura del análss de varanza para el dseño factoral 3 3 completamente al azar Cuadro 48. Dseño factoral 3 k completamente al azar Cuadro 49. Análss de varanza para el dseño factoral 3 3 completamente al azar Cuadro 50. Número de gotas por centímetro cuadrado presentes en el papel kromekotes Cuadro 51. Estructura del análss de varanza para el dseño factoral 3 x en bloques completos al azar Cuadro 5. Dseño factoral 3 k x l en bloques completos al azar Cuadro 53. Análss de varanza para el dseño factoral 3 x en bloques completos al azar Cuadro 54. Estructura del análss de varanza para el dseño en parcelas dvddas Cuadro 55. Produccón de caña en toneladas por hectárea Cuadro 56. Dseño en parcelas dvddas Cuadro 57. Análss de varanza para el dseño en parcelas dvddas

10 USO DE CALC DE OPENOICE EN EL ANÁLISIS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES RESUMEN Actualmente exsten en el mercado muchos paquetes de software que permten desarrollar un conjunto de aplcacones para ofcna, actvdades dentro de la nformátca, sendo Mcrosoft Offce el más conocdo y el que tene la mayoría del mercado general en el entorno. Sn embargo, otro paquete que está tenendo gran mportanca en el mercado, y competenca del anteror, es el paquete de software OpenOffce, que es un software lbre muy smlar a Offce. Este trabajo se realzó con Calc de OpenOffce, que es una herramenta para trabajar con hojas de cálculo, en la cual se resolveron ejemplos de dseños expermentales y comparacones múltples de medas de tratamentos más comunes tomados de algunos lbros cláscos de dseños expermentales. Prmero se hzo una revsón de pruebas de hpótess y conceptos báscos de dseños expermentales que son muy útles en el desarrollo de este trabajo. Después se desarrollaron los sguentes tpos de dseños expermentales y comparacones múltples de medas de uso más común: dseño completamente al azar balanceado y desbalanceado, dseño completamente al azar con submuestreo, dseño en bloques completos al azar, comparacones múltples de medas de tratamentos, dseño en cuadro latno, algunos dseños factorales y el dseño en parcelas dvddas. Los ejemplos fueron resueltos en forma detallada en Calc de OpenOffce en el archvo nombrado DISEÑOS EXPERIMENTALES el cual es parte de este trabajo. Calc de OpenOffce es muy fácl de usar y de gran smltud con Excel de Mcrosoft y se puede trabajar con esta herramenta sn gran dfcultad. Palabras clave: Software, tratamento, prueba de hpótess, comparacón de medas. 10

11 SUMMARY At the moment they exst n the market many software packages that allow developng a group of applcatons for offce, actvtes nsde the computer scence, beng Mcrosoft Offce the good known one and the one that has most of the general market n our envronment. However, another package that s havng great mportance n the market, and competton of the prevous one, s the software package OpenOffce that s free and very smlar software to Mcrosoft Offce. Ths work was carred out wth OpenOffce Calc, that s a tool to work wth calculaton leaves, n whch were solved examples of expermental desgns and multple comparsons of stockngs of treatments more common taken of some classc books of expermental desgns. rst t was made a check of hypothess tests and basc concepts of expermental desgns that wll be very useful n the development of ths work. Then the followng types of expermental desgns and multple comparsons of stockngs were developed to be of more common use: desgn totally at random balanced and desbalanceado, desgn totally at random wth subsamplng, desgn n complete blocks at random, multple comparsons of stockngs of treatments, desgn n latn square, factoral desgns and desgn n dvded parcels. The examples were solved n form detaled n OpenOffce Calc n the fle "EXPERIMENTAL DESIGNS" whch s part of ths work. Calc of OpenOffce s very easy of usng and of great smlarty wth Mcrosoft Excel and one can work wth ths tool wthout great dffculty. Key words: Software, treatment, hypothess test, comparson of stockngs. 11

12 1. INTRODUCCIÓN OpenOffce es un software de acceso lbre y códgo aberto; es decr, que se puede descargar drectamente en Internet de forma gratuta en la sguente dreccón: Otra característca muy mportante de este software es el hecho de ser multplataforma, puede ser nstalado y ejecutado en dversas plataformas como Lnux (en todas sus dstrbucones, Mac OS-X (en versón nglés, ree-bsd, Solars y Mcrosoft Wndows desde la versón 95. El paquete contene las sguentes herramentas: OpenOffce.org Wrter - Herramenta dedcada a la edcón de texto tambén llamado procesador de textos. OpenOffce.org Calc - Herramenta para trabajar con hojas de cálculo. OpenOffce.org Impress - Herramenta destnada a crear presentacones y dapostvas. OpenOffce.org Draw - Herramenta destnada a crear dagramas, dbujos y gráfcos. OpenOffce.org Math - Herramenta para la representacón de fórmulas matemátcas. En este trabajo se usaron las herramentas para trabajar con hojas de cálculo, Calc de OpenOffce, las cuales fueron útles en el análss de los dseños expermentales más comunes. OpenOffce Calc es una aplcacón de hojas de cálculo que se puede usar para calcular, analzar y gestonar datos. Una hoja de cálculo es una tabla donde cada celda puede contener alguno de los sguentes tpos de datos: texto, valores numércos, fórmulas o referencas a otros archvos. 1

13 Tambén se pueden mportar y modfcar hojas de cálculo de Mcrosoft Excel. OpenOffce Calc ncorpora funcones estadístcas y fnanceras, que se pueden utlzar para crear fórmulas que realcen cálculos complejos. En este caso, los cálculos son enfocados a resolver problemas de dseños expermentales. En la nvestgacón centífca, es común que se formulen hpótess para luego verfcarlas o rechazarlas drectamente, por sus consecuencas. Tal proceso requere de la coleccón de observacones, a través de un patrón ben defndo, el cual consttuye el dseño de un expermento. Se pueden dstngur dos tpos de expermentos en la nvestgacón centífca: los expermentos absolutos y los comparatvos. El prmer tpo de expermentos consdera la determnacón de un valor específco. Los expermentos comparatvos, permten la comparacón de dos o más tratamentos, al medr su efecto sobre una determnada característca de la poblacón. En este trabajo, sólo se trataran dseños comparatvos sobre la gualdad de sus tratamentos. De acuerdo con Cramer (1960, la estadístca tene tres funcones fundamentales en el método centífco: descrpcón, análss y predccón. Por descrpcón se entende, el proceso de reducr una masa de observacones procedentes de un fenómeno aleatoro, a un conjunto tan pequeño de valores, como sea posble. El análss de la nformacón, se refere a certas funcones de las observacones, denomnadas estadístcos, que permten descrbr en forma compacta a una poblacón, s se cuenta exclusvamente con nformacón a partr de una muestra. Se ncluyen tambén en el análss, el establecmento de crteros de prueba de las hpótess planteadas por el nvestgador. La tercera funcón de la estadístca en el método centífco, es la predccón, la cual es propamente, el objetvo prncpal de la aplcacón del método centífco al estudo de un fenómeno. 13

14 El dseño estadístco de expermentos se refere al proceso para planear el expermento de tal forma que se recaben los datos adecuados que puedan analzarse con métodos estadístcos para obtener conclusones váldas y objetvas. Los tres prncpos báscos del dseño expermental son la aleatorzacón, la realzacón de réplcas y la formacón de bloques. Por aleatorzacón se entende que tanto la asgnacón del materal expermental como el orden en que se realzarán las corrdas o ensayos ndvduales del expermento se determnan al azar. La realzacón de réplcas o repetcón del expermento básco, permte al expermentador obtener una estmacón del error expermental y obtener una estmacón precsa sobre el efecto de un factor en el expermento. La formacón de bloques es una técnca de dseño que se utlza para mejorar la precsón de las comparacones que se hacen entre los factores de nterés.. JUSTIICACIÓN El hecho de trabajar con Calc de OpenOffce, es para dar a conocer este software lbre y presentarlo como una opcón para el análss de dseños expermentales, ya que a dferenca de otros paquetes gratutos, éste es más fácl de usar, y cualquer usuaro podría hacer uso de él porque no se necesta tener conocmentos sobre lenguajes de programacón; además, Calc de OpenOffce es equvalente a Excel de Mcrosoft Offce, pero a dferenca de éste, OpenOffce es un paquete de cómputo lbre, el cual está dsponble en Internet de forma gratuta en la dreccón menconada en la Introduccón, y se puede hacer uso de este paquete con la ntencón de hacer frente al domno en el mercado de Mcrosoft Offce y como unversdad públca no depender tanto de este últmo, proporconando una alternatva aberta, sn costo y de alta caldad para el análss de dseños expermentales. Por lo tanto, es una buena opcón hacer uso de esta herramenta para trabajar con hojas de cálculo y medante funcones o fórmulas realzar cálculos y analzar datos de los dseños expermentales; y que a la vez, este trabajo srva como apoyo en los cursos de dseños expermentales que se mparten en las dferentes carreras de la Unversdad 14

15 Autónoma Chapngo. Para un mejor uso de estas hojas de cálculo, los usuaros deben tener conocmentos báscos de estadístca y dseño de expermentos. 3. OBJETIVOS 3.1. OBJETIVO GENERAL Mostrar el uso de Calc de OpenOffce en el análss estadístco de los dseños expermentales más comunes. 3.. OBJETIVOS PARTICULARES Mostrar que Calc de OpenOffce es una alternatva para resolver problemas estadístcos y hacer uso de él en lugar de paquetes equvalentes que no sean lbres. Dar a conocer la forma de usar esta herramenta para trabajar con hojas de cálculo para hacer uso de ella y no depender tanto de un software que no sea lbre. 4. ANTECEDENTES OpenOffce es una sute ofmátca de software lbre y códgo aberto, desarrollado en un prncpo por la compañía alemana StarDvson. El códgo fue adqurdo en 1999 por Sun Mcrosystems. En agosto de 1999 la versón 5. de StarOffce se hzo dsponble de forma gratuta. El códgo fuente de la aplcacón está dsponble bajo la lcenca LGPL- Lesser General Publc Lcense" (Lcenca Públca General Menor-, la cual puede aplcar a sus programas tambén. El Cuadro 1 muestra una cronología de las versones de OpenOffce Cuadro 1. Cronología de las versones de OpenOffce Versón Descrpcón echa de lanzamento Buld 638c El prmer lanzamento mportante Octubre de

16 1.0 1 de mayo de Últmo lanzamento de la línea 1.0.x 18 de abrl de de septembre de de octubre de Últmo lanzamento de la línea 1.1.x 14 de septembre de secpatch Parches de segurdad (macros 4 de julo de Lanzamento mportante 0 de octubre de de dcembre de de marzo de de juno de de octubre de de dcembre de de marzo de de juno de de septembre de Actualzacón de establdad y segurdad 4 de dcembre de de marzo de Juno de Compatbldad Offce de octubre de Corrector gramatcal 7 de enero de Varos 7 de mayo de Varos 31 de agosto de 009 Con respecto a los dseños expermentales, el trabajo ponero de sher en los años 190 y prncpos de la década de 1930, quen estuvo a cargo de la estadístca y del análss de datos de la Estacón Agrícola Expermental Rothamsted, en Inglaterra. Mostró cómo los métodos estadístcos y en partcular el dseño de expermentos podían ayudar a resolver problemas sobre las complejas relacones que pueden exstr entre varas varables. Él fue quen desarrolló y usó por prmera vez el análss de varanza como herramenta fundamental para el análss estadístco en un dseño expermental. Las prmeras aplcacones de los métodos del dseño expermental tenen lugar prncpalmente, en la agrcultura, la cenca forestal y la bología, y como resultado, gran 16

17 parte de la termnología que hoy se emplea provene de estos antecedentes. Las aplcacones ndustrales del dseño expermental comenzan en la década de 1930, en la ndustra textl Brtánca. Después de la Segunda Guerra Mundal, los métodos de dseño expermental se ntroducen en las ndustras químcas y de transformacón de Europa y E.U. Hoy día su aplcacón se ha generalzado al mundo ndustral, agrícola, forestal, bológco, de las cencas de la salud, etc. 5. PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES Este trabajo se realzó hacendo uso de Calc de OpenOffce para resolver ejemplos de los dseños expermentales más comunes. Por tanto, prmero se comenzó con una descrpcón general sobre pruebas de hpótess y de los dseños expermentales. En los capítulos sguentes se contnúo con el desarrollo detallado de cada tpo de dseño expermental, y se resolvó un ejemplo en Calc de OpenOffce. Los ejemplos fueron tomados de lbros cláscos de dseños expermentales. Los tpos de dseños expermentales que se abordaron fueron: dseño completamente al azar balaceado y desbalanceado, dseño completamente al azar con submuestreo, dseño en bloques completos al azar, comparacones múltples de medas de tratamentos, dseño en cuadro latno, algunos dseños factorales y el dseño en parcelas dvddas. Durante el análss de los dferentes dseños expermentales, los ejemplos que se presentan fueron resueltos con Calc de OpenOffce, lo cual es el objetvo de este trabajo. Por tanto, tambén se proporcona una forma muy detallada de cómo manejar estas hojas de cálculo, para que el lector sea capaz de poder hacer uso de las msmas y que a la vez le srva como un manual de Calc de OpenOffce para resolver problemas de los dseños expermentales más comunes. 17

18 Debdo a que la mayoría de los métodos estadístcos que se exponen en los capítulos sguentes de dseños expermentales, se caracterzan por el contraste de juegos de hpótess en la solucón de problemas específcos, se muestra una breve exposcón de las pruebas de hpótess estadístcas, de las dstrbucones de probabldad asocadas con estas pruebas de hpótess y de algunos conceptos báscos de dseños expermentales, que fueron necesaros para el desarrollo de este trabajo, tomados de lbros de dseños expermentales de los sguentes autores: Castllo (003, Cochran y Cox (1980, sher (1960, Infante y G. (1990, Martínez (1983, Montgomery (007, Scheffé (1959, y Steel y Torre ( Pruebas de hpótess Se hace uso de las pruebas de hpótess estadístcas para probar la adecuacón de un modelo específco, la gualdad de los resultados de dstntos tratamentos en un dseño expermental, el cumplmento de los supuestos báscos del modelo o dseño expermental elegdo, entre otras stuacones comunes. En los capítulos sguentes se usaron las pruebas de hpótess estadístcas para mostrar la gualdad de los resultados de dstntos tratamentos, en un dseño expermental Defncones báscas Hpótess: Aseveracón que se hace acerca de un fenómeno. Prueba de hpótess: Método estadístco que se emplea para determnar s una hpótess es verdadera o falsa. A contnuacón se defnen los elementos esencales que deben conformar una prueba de hpótess. Hpótess a probar: Consste en dos planteamentos que se contraponen: la hpótess nula y la hpótess alternatva. La hpótess nula es aquella que el nvestgador está 18

19 dspuesto a sostener como certa; se representa como H 0. La hpótess alternatva es aquella que se contrapone a la hpótess nula; se representa por H a. Estadístca de prueba: Es una fórmula estadístca que, con base en los datos expermentales, permte obtener un dato (valor calculado que es comparado contra un valor de tabla (valor tabulado de la dstrbucón de probabldad con la que se relacona la estadístca de prueba. Regla de decsón: Determna la forma en que se deben relaconar el valor calculado y el valor tabulado de la dstrbucón de probabldad de donde provenen los datos expermentales para rechazar o no la hpótess nula (H 0. Conclusón: Habendo rechazado o no la hpótess nula (H 0 se deben establecer las conclusones pertnentes con base en el estudo o expermento que se realza. Note que en las defncones anterores se utlza la dea de no rechazar en lugar de la dea de aceptar. Lo anteror se debe al hecho de que las pruebas de hpótess se realzan suponendo un componente aleatoro en los datos expermentales y por lo tanto no se tene la entera segurdad de la certeza o segurdad de la H 0, por lo que es más correcto emplear el no rechazo que la total aceptacón. Una prueba de hpótess permtrá el rechazar o no rechazar la hpótess nula (H 0. S se rechaza a H 0 mplca que ésta es falsa y no se rechaza a H a. S no se rechaza a H 0 mplca que ésta es verdadera y se rechaza a H a. El enuncado de la hpótess que no es rechazada servrá de base para dar las conclusones fnales de la prueba de hpótess Error Tpo I Y Tpo II Cualquer estadístca de prueba está asocada a una dstrbucón de probabldad específca, por lo que una prueba de hpótess está sujeta a errores atrbubles al azar. 19

20 Comúnmente se llegan a presentar dos tpos de errores en las pruebas de hpótess: Error tpo I y Error Tpo II. Los errores anterores se defnen de la sguente forma: Error Tpo I = Rechazar H 0 cuando es certa. Error Tpo II = No rechazar H 0 cuando es falsa. Cuando H 0 es verdadera y no se rechaza se está tomando la decsón correcta. Cuando H 0 es verdadera y se rechaza se está cometendo un Error Tpo I. Cuando H 0 es falsa y se rechaza se está tomando la decsón correcta. Cuando H 0 es falsa y no se rechaza se está cometendo un Error Tpo II. Se desean pruebas de hpótess en las cuales las probabldades asocadas a ambos tpos de errores sean mínmas. Bajo un enfoque probablístco los errores menconados se expresan como: P[Error Tpo I] = P[Rechazar H 0 cuando es certa] = α (nvel de sgnfcanca de la prueba de hpótess P[Error Tpo II] = P[No rechazar H 0 cuando es falsa] = β. En térmnos práctcos, el nvel de de sgnfcanca (α se defne como el máxmo valor de la probabldad de Error Tpo I que el expermentador esté dspuesto a aceptar al ejecutar una prueba de hpótess. Bajo esta defncón es deseable que α tome valores lo más pequeños posble. Los valores del α se expresan en decmales y los más comunes en una prueba de hpótess son 0.1, 0.05, 0.05 y La confabldad es un térmno de uso común en las pruebas de hpótess y puede ser defnda como la probabldad de que no ocurra un Error Tpo I. Sus valores se expresan en porcentaje. 0

21 Bajo la defncón anteror se puede relaconar al α y a la confabldad medante la fórmula: P[Error Tpo I] + P[No Error Tpo I] = 1 α + confabldad = 1. Una confabldad del 90% mplca un α = 0.1; una confabldad del 95% mplca un α = 0.05; una confabldad del 97.5% mplca un α = 0.05 y una confabldad del 99% mplca un α = Estadístca de prueba y valores tabulados Las pruebas de hpótess se sustentan en supuestos acerca de la dstrbucón de probabldad de donde provenen los datos expermentales. En algunas pruebas de hpótess se supone de nco que los datos expermentales tenen una dstrbucón Normal [X~N (μ, σ ], una dstrbucón Posson [X~P (λ], etc. En una prueba de hpótess, al utlzar la estadístca de prueba, es necesaro realzar operacones de suma, resta, dvsón, multplcacón o potencacón sobre los datos expermentales. Al ejecutar tales operacones se realza un proceso análogo al de una conversón, por ejemplo, de undades físcas, es decr, el valor fnal que se obtene no presenta la dstrbucón de probabldad que tenen los datos expermentales sno una dstrbucón de probabldad dferente. Los mecansmos medante los cuales es posble transformar una dstrbucón de probabldad en base a operacones matemátcas y lógcas son dados por el área de conocmento denomnada Álgebra de Varables Aleatoras. En gran cantdad de las pruebas de hpótess de uso generalzado se tenen estadístcas de prueba que generan valores pertenecentes a dstrbucones de probabldad contnuas (t de Student, de Snedecor, etc. El problema prncpal consste en que la mayoría de las funcones de probabldad contnuas, al ntentar ntegrarlas, no admten 1

22 una solucón analítca, por lo que se hace uso de tablas de probabldades específcas con el fn de poder ejecutar la prueba de hpótess Dstrbucones de probabldad contnuas Dstrbucón t de Student. En algunas pruebas de hpótess, que se expondrán en los capítulos sguentes, se supone que los datos expermentales, o los errores que se generan, tenen una dstrbucón Normal con meda μ y varanza σ [X~N (μ, σ ]. Bajo este supuesto, las estadístcas de prueba correspondentes generan valores que tenen una dstrbucón de probabldad t de Student. La dstrbucón t de Student es parecda a la dstrbucón Normal Estándar debdo a que tambén es smétrca y tene una meda gual a cero. La prncpal dferenca se da por el hecho de que la dstrbucón t de Student tene mayor área de probabldad en las colas que la dstrbucón Normal Estándar. La funcón de probabldad correspondente no admte una solucón analítca, por lo que exste una tabla específca para el cálculo de probabldades (Tabla I del Apéndce. En las pruebas de hpótess se utlza el cuantl t de Student como el valor tabulado contra el que se compara el valor calculado, y se representa por t α (v, donde α es el nvel de sgnfcanca de la prueba de hpótess y v son los grados de lbertad de la dstrbucón t de Student. Cuantl t de Student: Valor de la dstrbucón t de Student con v grados de lbertad tal que la probabldad de un valor mayor es gual a α.

23 Grados de lbertad: Varables ndependentes con las que se calcula la estadístca de prueba menos el número de parámetros que van a ser contrastados en una prueba de hpótess. S se quere encontrar el cuantl t 0.05 (7 entonces se debe localzar, en la Tabla I del Apéndce, el valor 7 en la columna marcada como v y desplazarse haca la derecha hasta la columna de α que presente el valor 0.05, el dato ubcado en dcha columna es el cuantl buscado, en este caso t 0.05 (7 = Dstrbucón de Snedecor En algunas pruebas de hpótess, que se expondrán en los capítulos sguentes, se supone que los datos expermentales o los errores que se generan tenen una dstrbucón Normal con meda μ y varanza σ [X~N (μ, σ ]. Bajo este supuesto, las estadístcas de prueba correspondentes generan valores que tenen una dstrbucón de probabldad de Snedecor. La dstrbucón de Snedecor presenta formas varadas, por lo general asmétrcas, que dependen de los grados de lbertad asocados. Esta dstrbucón de probabldad tene la característca de estar asocada con dos tpos de grados de lbertad conocdos como grados de lbertad del numerador y del denomnador. La funcón de probabldad correspondente no admte una solucón analítca por lo que exste una tabla específca para el cálculo de probabldades (Tabla II del Apéndce. En pruebas de hpótess se utlza el cuantl como el valor tabulado contra el que se comparará el valor calculado, y se representa por α (v 1, v, donde α es el nvel de sgnfcanca de la prueba de hpótess, v 1 son los grados de lbertad del numerador y v son los grados de lbertad del denomnador de la dstrbucón de Snedecor. S se quere encontrar el cuantl 0.05 (8,10 entonces se debe localzar, en la Tabla II del Apéndce, el valor 8 en la columna marcada como grados de lbertad v 1, y a partr de 3

24 ese valor avanzar haca abajo hasta la fla de los grados de lbertad v que tene el valor 10; en este sto se localzan cuatro valores correspondentes a los cuantles de la dstrbucón de Snedecor a un α de 0.1, 0.05, 0.05 y 0.01, respectvamente, entonces se elge el cuantl al α deseado; en este caso 0.05 (8,10 = Conceptos báscos de dseños expermentales Defncones Expermento: Procedmento que permte obtener una observacón de algún fenómeno de nterés. Tratamento: Sustanca, ndvduo, elemento u objeto cuya accón o efectvdad se desea evaluar y comparar. Undad Expermental: Área físca mínma sobre la cual se aplca un solo tratamento. Varable respuesta: Dato o medda que se cuantfca en cada undad expermental y cuyos valores permten evaluar la accón o efectvdad de los tratamentos y hacer comparacones entre estos. Dseño expermental: Conjunto ordenado de normas, procedmentos y cálculos que orentan acerca de la forma en que deben dsponerse las undades expermentales en el campo o laboratoro, la forma en que deben colocarse los tratamentos en las undades expermentales, la manera en que deban recoplarse y analzarse los datos expermentales, para así obtener nformacón relevante y con un alto grado de confabldad basado en los datos arrojados por la varable respuesta. Exste un gran número de dseños expermentales para soluconar problemas específcos, en esta tess sólo se abordaron por consderarse de uso más común los 4

25 sguentes dseños expermentales y comparacones múltples de medas de tratamentos: Dseño completamente al azar balanceado y desbalanceado. Dseño completamente al azar con submuestreo. Dseño en bloques completos al azar. Comparacones de múltples de medas de tratamentos. o Dferenca Mínma Sgnfcatva (DMS. o Prueba de Tukey. o Prueba de Duncan. o Prueba de Scheffé. o Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-W. Dseño en cuadro latno. Dseños factorales. Dseño en parcelas dvddas. Repetcones: Número de undades expermentales en las cuales se aplca un msmo tratamento. S un tratamento específco se aplca en sete undades expermentales se dce que está repetdo sete veces o que hay sete repetcones del tratamento. Testgo: Consste, por lo general, en una undad expermental en la cual nnguno de los tratamentos utlzados en el expermento es probado, y cuyo valor obtendo para la varable respuesta permtrá medr la accón o efectvdad de los tratamentos Modelo lneal Conceptos báscos. Modelo lneal: Es un modelo matemátco en donde la relacón prncpal entre los térmnos que lo componen se da báscamente medante sumas y restas. 5

26 Modelo no lneal: Es un modelo matemátco en donde la relacón prncpal entre los térmnos que lo componen se da báscamente medante multplcacones, dvsones y potencas. Los modelos matemátcos empleados para representar algunos métodos estadístcos (como en los dseños expermentales son modelos estadístcos de tpo lneal, ya que la relacón prncpal entre los térmnos que lo componen se da medante sumas y restas Error expermental Para undades expermentales que han recbdo el msmo tratamento, consttuye las dferencas que se presentan entre cada uno de los valores obtendos en la varable respuesta y la meda del tratamento. Estas dferencas son de naturaleza aleatora y se desconocen las causas que las orgnan. Es un error estadístco, lo que sgnfca que es un producto de una varacón ncontrolable y generalmente nevtable. Normalmente, sólo una pequeña parte del error expermental puede ser atrbudo a errores en la medcón. Efectos mportantes pueden quedar ocultos total o parcalmente por el error expermental y a la nversa, a causa del error expermental el nvestgador puede equvocarse y creer en la nfluenca de efectos que no exsten. En el modelo lneal, el error expermental es representado medante el térmno de error aleatoro, ya que ambos térmnos, en el desarrollo de los sguentes temas, serán equvalentes. Es mportante hacer notar que todos los valores que se obtengan para una varable respuesta serán determnados en parte por el térmno de error aleatoro; no es posble que los datos expermentales se sustragan del efecto del térmno de error aleatoro (error expermental. La mportanca prncpal de este térmno se da cuando se supone un valor tal que determna en mayor medda la magntud de la varable respuesta, ya que así no será posble detectar dferencas entre tratamentos. Se espera que el valor 6

27 del térmno de error deba ser muy semejante para cada uno de los datos de la varable respuesta en el expermento, por lo que se supone que los errores expermentales tenen una dstrbucón Normal con meda cero y varanza σ, y son ndependentes entre sí, es decr, e j ~NI (0, σ Modelo lneal general El modelo lneal general para los dseños expermentales puede ser escrto como: Y donde Y e j j j Valor de la varable respueta. Efecto medo general Efectos a consderar en el dseño experment Térmno e j del error aleatoro. al. Los subíndces para la varable respuesta (Y y el térmno del error aleatoro ( e dependerán del número de efectos a consderar en el dseño expermental (ω y del número de repetcones Supuestos báscos de los dseños expermentales Tomando como base lo expuesto en la seccón 5.. es posble determnar los supuestos báscos de los dseños expermentales en general: Exste homogenedad de varanza entre tratamentos (todos los tratamentos tenen gual varanza. Los errores tenen dstrbucón Normal con meda cero y varanza σ, y son ndependentes entre sí (no están correlaconados, es decr, e j ~NI (0, σ. 7

28 5..4. Hpótess a probar Bajo los supuestos menconados es posble realzar pruebas de hpótess acerca de los efectos de los térmnos del modelo lneal en un dseño expermental específco. Con excepcón del efecto medo general (μ, los demás térmnos en un modelo lneal específco recben la denomnacón de fuentes de varacón. En los dseños expermentales se prueban dferentes pares de hpótess, dependendo del número de fuentes de varacón a analzar. La hpótess nula (H 0 sempre postula la gualdad entre los dferentes nveles de una fuente de varacón, mentras que la hpótess alternatva (H a sempre postula que al menos uno de los nveles de la fuente de varacón produce un efecto dferente. Es mportante menconar que, en cualquer dseño expermental, para el térmno de error aleatoro no se realzan pruebas de hpótess, sno que se consttuye en un elemento básco para probar las hpótess de las fuentes de varacón restantes Análss de varanza En un dseño expermental la técnca estadístca que se emplea para contrastar las hpótess dervadas del modelo lneal es el análss de varanza. Para un expermento específco el análss de varanza determna, con un alto grado de confabldad, s la dferenca entre los valores que toma la varable respuesta se debe realmente al efecto de alguna de las fuentes de varacón nvolucradas o a efectos aleatoros (determnados por el azar. El análss de varanza es el estadístco de prueba para el contraste de hpótess acerca de las fuentes de varacón en un dseño expermental. A manera de ejemplo se muestra el método y la lógca del análss de varanza en el sguente modelo lneal generalzado: 8

29 Y donde Y e e Valor de la varable respueta. Efecto medo general Térmno del error aleatoro. El análss de la varanza descansa fundamentalmente en el estudo de la varabldad de las observacones. En este modelo es claro que: e Y ; 1,,..., t Es decr, un error es la dferenca entre una observacón y el valor verdadero del parámetro. Ahora se parte de ese error en dos componentes medante la gualdad trval: Y ( Y Y ( Y La gualdad anteror, a pesar de su sencllez, es de extraordnara mportanca en nuestro desarrollo. Una forma de nterpretarla es dcendo que un error está compuesto por la desvacón de una observacón con respecto a la meda muestral, sumada con la dstanca entre la meda muestral y la meda poblaconal. Además de la gualdad anteror se sgue que: ( Y [( Y Y ( Y ] Puesto que la gualdad anteror es certa para todas y cada una de las observacones Y (=1,,,t, podemos escrbr: t 1 ( Y t 1 [( Y Y ( Y ] y medante la aplcacón de reglas ya conocdas obtenemos la sguente gualdad: t 1 ( Y t t t ( Y Y ( Y ( Y t t ( Y Y t( Y ( Y 1 1 Y ( Y ( Y Y t 1 ( Y Y t( Y ya que t 1 ( Y Y 0 Por tanto, se ha llegado al sguente resultado: 9

30 t 1 ( Y t 1 ( Y Y t( Y en donde se nota que la partcón del error e en dos componentes ha llevado a una expresón smlar que nvolucra sumas de cuadrados de las desvacones orgnalmente desarrolladas. Por esta razón las tres componentes de la ecuacón a la que se llegó se les llama Sumas de Cuadrados. Bajo la suposcón de que: Y 1,,Y t es una muestra aleatora de N (,, dchas sumas de cuadrados tenen dstrbucones probablístcas muy sencllas de dervar, y pueden usarse para generar un procedmento para probar hpótess sobre µ. Con objeto de dervar las dstrbucones de las sumas de cuadrados dvdmos todos los térmnos de la ecuacón anteror por σ, obtenendo: t 1 ( Y t 1 ( Y Y t( Y De la ecuacón anteror es fácl obtener las dstrbucones correspondentes. En efecto, puesto que cada Y ~N(µ, σ Y, es claro que: ( Y ~N(0, 1 de donde ~ ( 1 Además, puesto que las Y son ndependentes, y usando la propedad adtva de la dstrbucón J- cuadrada, se obtene: t 1 ( Y ~ ( t El segundo resultado se obtene de nuestras suposcones, la dstrbucón de la meda muestral es N(, t y, por lo tanto, la meda estandarzada tene dstrbucón Normal estándar. Esto es: t (Y ~N(0, 1 Y por lo tanto: t(y ~ (1 A la dstrbucón de la suma de cuadrados restante con la notacón usual dentfcamos a la varanza muestral por S t ( Y Y ( t 1 S, tenemos que: 1 y sabemos que su dstrbucón es (t 1. Es decr, que: 30

31 t ( Y Y 1 ~ ( t 1 t ( Y ( t A 1 t ( Y ( t 1 B Y 1 t( Y (1 C Una vez obtendas las dstrbucones de A, B y C, se explca cómo pueden usarse para probar hpótess sobre µ. En prmer lugar, la partcón de la varabldad que se ha hecho sólo permte probar hpótess de dos colas sobre µ. Es decr, que en lo sucesvo nos referremos al juego de hpótess: H 0 : µ = µ 0 en oposcón a H a : µ µ 0, donde µ 0 es el valor supuesto del parámetro desconocdo. Que no sea posble probar hpótess de una cola con esta técnca es una consecuenca de haber tomado los cuadrados de las desvacones. Para dervar una estadístca para probar hpótess sobre µ es natural recurrr a la componente C en la ecuacón anteror, puesto que la varable aleatora C nvolucra no sólo a Y y a µ, sno además a la dstanca Y. Sn embargo, t(y no es una estadístca, dado que tanto µ como σ son parámetros desconocdos. En cuanto a µ el problema está resuelto, ya que µ debe tomar el valor de µ 0 para fjar el nvel de sgnfcanca. Para que la estadístca no dependa de σ usaremos la componente B. Dado que B y C son ambas varables aleatoras J- cuadradas, tenemos que: t 1 t( Y ( Y Y (1 ( t 1 t( Y S ~ 1 t 1. De aquí se deduce que, t( Y 1 s la hpótess nula µ = µ 0 es certa, la estadístca: 0 ~ t 1 y podemos usar S 0 para probar el juego de hpótess propuesto. La regla de decsón que nos garantza 1 una prueba con nvel de sgnfcanca α es: Rechazar H 0 s 0 t 1 31

32 Una vez que se ha dado un avance de lo que vendrá después, retrocedemos un poco para reunr los resultados obtendos en esta seccón. Todo el procedmento para probar H 0 : µ = µ 0 en oposcón a H a : µ µ 0 medante la dstrbucón de se resume usualmente en una tabla conocda como cuadro de análss de varanza. En el cuadro de análss de varanza (Cuadro, los tres componentes de la ecuacón anteror de las dstrbucones de A, B y C aparecen sn el dvsor σ. Esto es porque la estadístca 0, al ser la razón de dos de ellas, no depende de σ. Además, puesto que la hpótess nula es H 0 : µ = µ 0, el valor de µ es susttudo por µ 0. Como se menconó antes, los numeradores de los térmnos de la ecuacón anteror de las dstrbucones de A, B y C se llaman Sumas de Cuadrados. Así, a t Y 1 ( se le llama Suma de Cuadrados 0 Total, a t (Y se le llama Suma de Cuadrados del Error y a 0 t 1 ( Y Y se le llama Suma de Cuadrados debda a la Meda. En lo sucesvo se dentfcarán por las avrrevaturas S.C TOTAL, S. ERROR y S.C MEDIA Cuadro. Análss de varanza para el modelo uente de Varacón (.V. Grados de Lbertad (G.L. Meda (µ 1 Error t-1 Total Donde: ( v, v v v 1 1 tab T Grados de lbertad Grados de lbertad de Suma de Cuadrados (S. t (Y t 1 t 1. ( del error. 0 t Y e. H 0 : µ = µ 0 vs H a : µ µ 0 0 = Cuadrado Medo (M. t( Y ( Y Y ( Y Y 1 S t 1 Y 0 Cuantl de la dstrbuc ón de Snedecor. 1 0 calculada t( Y ( cal S 0 de tablas ( tab ( v 1, v 3

33 Ahora se explca con más detalle el Cuadro. En la prmera hlera del encabezado aparece uentes de Varacón (.V. destaca que el análss de varanza se basa en una partcón de la varabldad de las observacones en dferentes fuentes (o factores de varacón. En la segunda columna aparece el nombre de Grados de Lbertad (G.L. alude a los parámetros de las dstrbucones J- cuadrada asocadas con las Sumas de Cuadrados (S.C en la tercer columna. La sguente columna muestra los Cuadrados Medos (M. que se obtenen dvdendo cada suma de cuadrados por sus grados de lbertad, y sólo son un paso ntermedo para obtener la estadístca 0 = cal en la columna sguente y en la últma columna aparece tab. El Cuadro se desarrolló para probar el juego de hpótess H 0 : µ = µ 0 en oposcón a H a : µ µ 0. Más frecuentemente el cuadro de análss de varanza se formula como s el propósto fuera probar H 0 : µ = 0 en oposcón a H a : µ 0. Esta presentacón, que aparentemente es más restrngda que la anteror, en realdad no lo es puesto que s tenemos observacones Y 1,, Y t, que se supone son una muestra aleatora de N (, y queremos probar la hpótess nula H 0 : µ = µ 0, sempre podemos defnr varables aleatoras X = Y - µ 0 las cuales cuando la hpótess nula es certa, tenen dstrbucón N (0,, por lo que las varables X = Y - µ 0 pueden usarse para probar H 0 : µ = 0, obtenéndose una prueba equvalente a la anteror. Con las nuevas varables centradas en cero, el cuadro de análss de varanza es como el que se presenta en el Cuadro 3. Cuadro 3. Análss de varanza para el modelo Y e. H 0 : µ = 0 vs H a : µ 0.V. G.L. S. M. 0 = cal tab Meda (µ 1 Error t-1 Total t t 1 t 1 t X t t X t X ( X X ( X X 1 S t 1 ( Y 0 S ( v 1, v Donde: 33

34 v v 1 ( v, v 1 tab Grados de lbertad Grados de lbertad Cuantl de la dstrbuc de. del error. ón de Snedecor. El Cuadro 3 es una smplfcacón trval del Cuadro, sólo que ahora µ 0 = 0. Ahora se menconan algunos aspectos del Cuadro 3, ya que estos explcan por qué esta segunda presentacón es la más favorecda. En prmer lugar, en las S. la partcón es más senclla, ya que S.( µ + S. ERROR = S. TOTAL dado que, como ya nos es famlar: t 1 ( X X t 1 X t X En segundo lugar, los nombres de las fuentes de varacón. En el Cuadro no es muy clara la razón para este nombre, pero en el Cuadro 3 es evdente, puesto que s H 0 es certa, debemos esperar valores de X cercanos a cero, de modo que s S. (µ es grande, esto se debe a que µ dfere del valor supuesto por una dstanca grande. Razonando smlarmente se justfcan los nombres de S. ERROR y S. TOTAL. 6. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA 6.1. Característcas Los dseños completamente al azar son empleados cuando las undades expermentales son sufcentemente homogéneas entre sí, es decr, cuando la varacón entre ellas es pequeña. Por lo que el empleo de bloques resulta napropado porque no hay heterogenedad que sea necesaro absorber. Éste es el caso en muchos tpos de expermentos de laboratoro, en los que una cantdad de materal está completamente mezclado y luego se dvde en porcones pequeñas para formar las undades expermentales, o en expermentos con anmales y plantas con condcones ambentales muy parecdas. Todas las undades expermentales reúnen práctcamente las msmas característcas, de modo que el efecto de un tratamento sobre la varable bajo estudo, 34

35 es el msmo ndependentemente de la undad expermental donde se mda, excepto por varacones aleatoras, debdas a fuentes de error en la nvestgacón. Los tratamentos se aplcan completamente al azar sobre las undades expermentales, bajo la condcón de que cada undad expermental deberá tener la msma probabldad de recbr un tratamento partcular. Todos los tratamentos pueden tener un número gual o dferente de repetcones. Cuando el número de repetcones es dferente dentro de cada tratamento se dce entonces que el dseño es no balanceado; en caso contraro, se dce que el dseño es balanceado. Hay dos ventajas al elegr un dseño balanceado. La prmera es que el estmador de prueba es relatvamente nsensble a las desvacones pequeñas del supuesto de la gualdad de las varanzas de los t tratamentos cuando los tamaños de las muestras son guales. Y la segunda ventaja es que la potenca de las pruebas se maxmza cuando las muestras tenen el msmo tamaño. Los análss de varanza que se muestran para el dseño completamente al azar en Calc de Open Offce, es el msmo para el caso balanceado y para el caso desbalanceado ya que las fórmulas para las sumas de cuadrados abarcan ambos casos. 6.. Ventajas El dseño completamente al azar es flexble en cuanto a que el número de tratamentos y de repetcones sólo está lmtado por el número de undades expermentales dsponbles. El número de repetcones puede varar de un tratamento a otro, aunque generalmente lo deal sería tener un número gual por tratamento. El análss estadístco es smple aun en el caso en que el número de repetcones dfera con el tratamento y s los dversos tratamentos están sujetos a varanzas desguales, lo cual se conoce como la falta de homogenedad del error expermental. La sencllez del análss no se perde s algunas undades expermentales o tratamentos enteros faltan o se descartan. 35

36 6.3. Desventajas La prncpal objecón del dseño completamente al azar es su frecuente nefcenca. Como la aleatorzacón no tene restrccones, el error expermental ncluye toda la varacón entre las undades expermentales, excepto la debda a los tratamentos. En muchas stuacones es posble agrupar las undades expermentales de modo que la varacón entre undades dentro de los grupos sea menor que la varacón entre las undades de dferentes grupos. Certos dseños sacan ventaja de tal agrupamento, excluyen la varacón del error expermental entre grupos y aumentan la precsón del expermento Modelo lneal El modelo lneal para los dseños completamente al azar es el sguente: Y donde t r Yj j e j 1,,..., t; j 1,,..., r Número de tratamentos. ; E( e 0; E( e Número de repetcones para el -ésmo tratamento. Respuesta obtenda en la j-ésma repetcón del -ésmo tratamento. Efecto medo general. ej Efecto atrbudo al -ésmo tratamento. Térmno de error aleatoro Hpótess a probar La hpótess a probar en este tpo de dseños expermentales es la sguente: H H 0 a : 1 : Al vs... t menos el efecto de un tratamento es dferente de los 36 demás.

37 6.6. Análss de varanza El análss de varanza para el dseño completamente al azar está dado por el Cuadro 4. Cuadro 4. Estructura del análss de varanza para un dseño completamente al azar. uente de Grados de Suma de Cuadrado de calculada Varacón Lbertad Cuadrados Medo tablas ( (.V. (G.L. (S. (M. cal ( tab Tratamentos t-1 Error Total t 1 t 1 r t r S. Tratamentos S. Error 1 S. Total SCT G.L. Tratament os SCE G.L. Error M. Tratament os M. Error ( v 1, v Donde: ( v, v v v 1 1 tab Cuantl de la Grados de lbertad de los tratamen tos. Grados de lbertad del error. dstrbucón. (Ver Tabla II del Apéndce C Y.. t r 1 S. Tratament os t 1 Y. r C S. Total t r 1 j 1 Y j C S. Error S. Total - S.Tratam entos Donde: C Y.. Y. actor de correccón. Suma de todas las observacones en el expermento. Suma de todas las observacones que pertenecen al -ésmo tratamento Regla de decsón La regla de decsón que se utlza es la sguente: Se rechaza H0 scal ( v1, v tab 37