10/03/2015. Ángel Serrano Sánchez de León

Transcripción

1 Ángel Serrano Sánchez de León 1

2 Índice Sucesos aleatorios y Teoría de Conjuntos. robabilidad. Definición clásica. Definición como frecuencia relativa. Dfiiió Definición axiomática. robabilidad condicionada: robabilidad total y Teorema de Bayes. Repaso de Combinatoria: Variaciones, permutaciones, combinaciones. 2 2

3 Sucesos aleatorios Experimento aleatorio: aquel que puede dar lugar a varios resultados sin que podamos decir con antelación cuál saldrá. Espacio muestral S: conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Lanzamiento de un dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso : Subconjunto de resultados tomados del espacio muestral. Suceso elemental: aquel formado por un solo resultado. Lanzamiento de un dado: = {2} Suceso compuesto: el que puede ser descompuesto en sucesos elementales. Lanzamiento de un dado: = {2, 6} 3 3

4 Sucesos aleatorios Suceso imposible: aquel que no puede ocurrir nunca conjunto vacío: =. Suceso seguro: aquel que ocurre siempre igual al espacio muestral: = S. Suceso probable: aquel que puede ocurrir o no. 4 4

5 Teoría de conjuntos Unión de dos sucesos y B B: suceso que ocurrirá siempre que ocurra el suceso o el suceso B OR. Intersección de dos sucesos y B B: suceso que ocurrirá siempre que ocurran simultáneamente el suceso y el B ND. Complementario o negación del suceso : suceso que ocurrirá cuando no ocurra el suceso NOT. 5 5

6 Teoría de conjuntos Diagramas de Venn: 6 6

7 Teoría de conjuntos repaso ropiedad Unión Intersección Neutro = S = Complementario = S = Conmutativa B = B B = B sociativa: B C = B C B C = B C Distributiva: B C = B C Idempotencia = = B C = B C bsorción B = B = Morgan B = B B = B 7 7

8 Definición clásica de robabilidad Si un suceso tiene e posibilidades de ocurrir casos favorables o de éxito en un total de N posibilidades, donde cada una de las cuales tiene las mismas oportunidades de ocurrir que las demás, llamamos probabilidad de que ocurra a: e N robabilidad de que no ocurra o de que ocurra su complementario : N e e ' 1 1 N N 8 8

9 Ejemplos robabilidad de salir cara en una moneda no trucada: 1/2. robabilidad bilid d de que salga 5 en un dado d no trucado: 1/6. robabilidad de que salga 5 o 6 en un dado no trucado: 2/6 = 1/3. robabilidad de que no salga 1 en un dado no trucado: 1 1/6 = 5/6. robabilidad de que no salga 5 o 6 en un dado no trucado: 1 1/3 = 2/3. 9 9

10 Concepto clásico de robabilidad ropiedades: 0 1 ' 1 S

11 robabilidad como frecuencia relativa La definición anterior es un círculo vicioso porque en la propia definición aparece el concepto de sucesos con la misma probabilidad =mismas oportunidades de ocurrir. Otra manera es definir la probabilidad como la frecuencia relativa de ocurrencia del suceso, f, cuando el número de observaciones es muy elevado probabilidad empírica. La probabilidad sería el límite de la frecuencia relativa. n lim lim f n N n 11 11

12 Ejemplo En 1900, el estadístico Karl earson lanzó una moneda veces, para lo cual necesitó 40 interminables horas. Obtuvo estos resultados: caras cruces Luego la probabilidad empírica de salir cara resultó: cara 0, Muy próxima al valor teórico: 1 cara 0,

13 Definición axiomática de probabilidad Dado un experimento aleatorio con un espacio muestral S y representando por aun suceso, se define la probabilidad como una función real que hace corresponder a cada un número real de forma que se cumplen los tres axiomas siguientes: 1. ara cada suceso : 0 2. ara el suceso seguro S: S 1 3. Dados dos sucesos y B incompatibles ibl B = Ø: B B 13 13

14 14 ropiedades partir de estos 3 axiomas se pueden demostrar todas las propiedades de la probabilidad, algunas de las cuales ya hemos visto. lguna más: Suceso contenido en otro: robabilidad de la unión de 2 sucesos: B B robabilidad de la unión de 3 sucesos: B B B robabilidad de la unión de 3 sucesos: C B C B C B C B C B 14

15 robabilidad condicionada robabilidad de condicionada a B probabilidad condicionada de dado B: probabilidad de que ocurra en el caso de que previamente ocurra B. B B B robabilidad de la intersección de 2 sucesos: B B B B 15 15

16 Sucesos dependientes e independientes Cuando que ocurra o no el suceso B no influye en el suceso, se llaman sucesos independientes: B B B No confundir sucesos independientes di con sucesos incompatibles intersección nula. Sucesos dependientes: B B B 16 16

17 Teorema de la probabilidad total Sea un conjunto de sucesos i, i = 1,..., n, tales la unión de todos ellos es el suceso seguro y además son incompatibles entre sí. n i1 i S y i j para i El teorema de la probabilidad total dice que la probabilidad de que ocurra un suceso B es la suma de las probabilidades de los sucesos i por las probabilidades de B condicionadas a cada i. B n i1 B i i j 17 17

18 Ejemplo En unas elecciones las probabilidades de que ganen tres partidos 1, 2 y 3 son 0,5, 0,3 y 0,2 respectivamente. Si ganara 1, la probabilidad de que suban los impuestos es 0,8, mientras que en los casos en que salgan elegidos 2 y 3 son 0,2 y 0,5 respectivamente. Cual es la probabilidad de que suban los impuestos? Sea B subida de impuestos: 1 = 0,5, 2 = 0,3, 3 = 0,2 B 1 = 0,8, B 2 = 0,2, B 3 = 0,5 or el teorema de la probabilidad total, B = 1 B B B 3 = = 0,5 0,8 + 0,3 0,2 + 0,2 0,5 = 0,

19 Teorema de Bayes Dado el conjunto completo de sucesos i, i = 1,, n, y un suceso B. El teorema de Bayes relacionada la probabilidad de un suceso i condicionada al suceso B: i i B i B B i i = probabilidades a priori B i = probabilidad de B en la hipótesis i i B = probabilidades a posteriori B = probabilidad total de B 19 19

20 Ejemplo Una fábrica de hardware informático utiliza 3 tipos de máquinas, B y C para construir memorias USB. Con la máquina se fabrica el 45% de las memorias, con la B el 30% y con la C el resto. = 0,45, B = 0,30, C = 0,25 El 3% de las memorias fabricadas con la máquina resultan defectuosas, mientras que para las máquinas B y C estos porcentajes son el 4% y el 5%, respectivamente. Sea D = pieza defectuosa. D = 0,03, D B = 0,04, D C = 0,

21 Ejemplo El árbol de probabilidades es el siguiente: robabilidad de que una memoria defectuosa cogida al azar sea de la máquina : D 0,450,03 0,0135 D 0,355 D 0,450,03 0,300,04 0,250,05 0,

22 Repaso de Combinatoria Factorial de un número entero n: n! n n 1 n 2 21 Ej.: 5! = 120, 10! = or definición se establece: 0! 1 proximación de Stirling caso n >> 1: n! 2 n n n e n nn Ej.: 50! e 3, Valor exacto: 3,

23 Repaso de Combinatoria Variaciones de m elementos tomados de n en n con n m: subconjuntos de n elementos tales que dos de ellos son diferentes si los elementos son distintos, o bien si el orden de los elementos son distintos. m! V m, n m m 1 m 2 m n 1 m n! Ej.: considerando las 4 letras, B, C, D, tomadas de 2 en 2. V 4! 4 2! ,2 12 B, C, D, B, BC, BD, C, CB, CD, 23 D, DB, DC 23

24 Repaso de Combinatoria Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n con n m: igual que en el caso anterior, pero se pueden repetir los elementos. V n m Ej.: considerando las 4 letras, B, C, D, tomadas de 2 en 2 con repetición. V m, B, C, D, B, BB, BC, BD, 4 16 C, CB, CC, CD, D, DB, DC, DD n 24 24

25 Repaso de Combinatoria ermutaciones de n elementos: variaciones de n elementos tomados de n en n. n V n! n n! n! 0! n, n n! Ej.: considerando d las 4 letras, B, C, D. 4 4! 24 BCD,BDC,CBD,CDB,DBC,DCB, BCD,BDC,BCD,BCD,BDC,BDC, CBD,CDB,CBD,CBD,CDB,CDB, DBC,DCB,DBC,DBC,DCB,DCB 25 25

26 Repaso de Combinatoria Combinaciones de m elementos tomados de n en n: son como las variaciones pero ahora el orden de los elementos no importa. Se expresan mediante números combinatorios: C m, n m V n se lee m sobre n m, n n m! m n! n! Ej.: considerando las 4 letras, B, C, D, tomadas de 2 en 2. C 4 2 4! 4 2!2! ,2 6 B, C, D, BC, BD, CD 26 26