Álgebra II (61.08, 81.02) Primer cuatrimestre 2017 Práctica 5. Diagonalización de matrices hermíticas. Formas Cuadráticas.
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- Belén Ortiz de Zárate Domínguez
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1 Álgebra II (61.08, 81.02) Primer cuatrimestre 2017 Práctica 5. Diagonalización de matrices hermíticas. Formas Cuadráticas. Nota: en todos los ejercicios, salvo que se indique lo contrario, (, ) representa el producto interno canónico en R n ó C n. 1. Pruebe que: (a) U es unitaria U H es unitaria U T es unitaria. (b) Si U y V son unitarias entonces UV es unitaria. 2. Sea T : R n R n la trasformación lineal definida por T (x) = P x con P R n n ortogonal. Demuestre lo siguiente: (a) (T (x), T (y)) = (x, y) para todo x, y R n. En particular T (x) = x para todo x R n. (b) x y si y sólo si T (x) T (y). (c) {v 1,..., v n } es base ortonormal de R n si y sólo si {T (v 1 ),..., T (v n )} es base ortonormal de R n. (d) Si S es un subespacio invariante por T, entonces T (S) = S y T (S ) = S. 3. Idem ejercicio 2 pero con C n en lugar de R n y U C n n unitaria en lugar de P R n n ortogonal. 4. Suponga que B 1 = {v 1,..., v n } y B 2 = {u 1,..., u n } son bases ortonormales de R n (resp. C n ). Demuestre que la matriz de cambio de base C B1 B 2 es una matriz ortogonal (resp. unitaria). (Sugerencia: demuéstrelo primero para el caso en que B 2 es la base canónica). 5. Sea T : R n R n una transformación lineal tal que para cierta base ortonormal B, [T ] B es una matriz ortogonal. Demuestre que: (a) [T ] B es ortogonal para cualquier otra base ortonormal B. (b) Valen (a)-(d) del ejercicio Diagonalice ortogonalmente cada una de las siguientes matrices simétricas, es decir, exprese cada una de ellas en la forma P ΛP T, con P ortogonal y Λ diagonal: [ ] 3 1 (a) (b)
2 (c) (d) Diagonalice unitariamente cada una de las siguientes matrices hermíticas, decir, exprese cada una de ellas en la forma UΛU H, con U unitaria y Λ diagonal: [ ] 0 i (a) i 0 1 i 0 (b) i Compruebe que las siguientes matrices pueden ser diagonalizadas unitariamente, aún sin ser hermíticas: [ ] 1 1 (a) (b) Califique cada una de las siguientes afirmaciones como verdadera o falsa: (a) Si A R n n es diagonalizable ortogonalmente entonces A es simétrica. (b) Una matriz simétrica A R n n tiene n autovalores reales distintos. (c) Las multiplicidades algebraica y geométrica de cada autovalor de una matriz simétrica coinciden. (d) Si A C n n es diagonalizable unitariamente entonces A es hermítica. (e) Si A C n n es diagonalizable unitariamente y sus autovalores son reales entonces A es hermítica. (f) Si A C n n es diagonalizable unitariamente entonces A k también es diagonalizable unitariamente. (g) Si A C n n es diagonalizable unitariamente entonces su inversa, en caso de existir, también es diagonalizable unitariamente.
3 10. (a) Encuentre los autovalores y autovectores de la matriz antisimétrica [ ] 0 1 B =, 1 0 y compruebe que sus autovalores son imaginarios puros y que es diagonalizable unitariamente. (b) Considere A = ib y compruebe que A es hermítica. Explique por qué a partir de esto último se deduce que los autovalores de B son imaginarios puros y que B es diagonalizable unitariamente. (c) Demuestre que si C R n n es antisimétrica entonces ic es hermítica. (d) Deduzca del punto anterior que una matriz real antisimétrica tiene autovalores imaginarios puros o nulos, que autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales y que es diagonalizable unitariamente. (e) Demuestre que una matriz C R n n antisimétrica es singular si n es impar. 11. (a) Halle A R 3 3 simétrica tal que λ 1 = 1 y λ 2 = 2 sean sus autovalores y S λ1 = gen{[1 1 1] T }. (b) Halle una matriz hermítica A C 3 3 tal que B = A 3 A 2 + A I sea singular, λ = 2 sea autovalor doble y S = {x C 3 : x 1 ix 2 + x 3 = 0} sea invariante por A. Es única A?. Si no lo es, encuentre dos diferentes. 12. Clasifique cada una de las siguientes formas cuadráticas en R 2 y efectúe un cambio de variables x = P y que transforme la forma cuadrática en una sin término de producto cruzado. Escriba la nueva forma cuadrática. Grafique los conjuntos de nivel. (a) x x 1x 2 + x 2 2 (b) 3x 2 1 4x 1x 2 + 6x 2 2 (c) x x 1x 2 + x 2 2 (d) 4x x 1x 2 3x Clasifique cada una de las siguientes formas cuadráticas en R 3 y efectúe un cambio de variables x = P y que transforme la forma cuadrática en una sin término de producto cruzado. Escriba la nueva forma cuadrática. (a) 5x x x x 1x 2 4x 2 x 3 (b) 3x x x x 1x 2 + 2x 1 x 3 + 4x 2 x 3 (c) x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 3.
4 14. De acuerdo con la definición, la expresión (x, y) = x H Qy, con Q C n n hermítica, define un producto interno en C n si y sólo si Q es definida positiva. (a) Determine cuáles de las siguientes expresiones determinan productos internos en R 2 ó R 3. x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 3x 2 y 2 x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 3x 2 y 2 7x 1 y 1 4x 1 y 2 + 4x 1 y 3 4x 2 y 1 + 5x 2 y 2 + 4x 3 y 1 + 9x 3 y 3. Para los que resulten productos internos, grafique la bola unitaria {x R n / x = 1}. (b) Compruebe que (x, y) = 2x 1 y 1 + ix 1 y 2 ix 2 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 es un producto interno en C Demuestre que si B R m n, entonces G = B T B es semidefinida positiva. Encuentre la condición que debe cumplir B para que G resulte definida positiva. (A G se la denomina matriz de Gram de B.) 16. Pruebe que si A R n n es simétrica y A 4 = A entonces Ax define a la proyección de x sobre col(a), x R n. 17. (a) Encuentre el máximo y el mínimo de la formas cuadráticas de los ejercicios 12 y 13, sujetos a la restricción x T x = 1. (b) Dada la forma cuadrática Q : R 3 R, Q(x) = 2x x 1x 2 2x x2 3, determine los valores máximo y mínimo de Q(x) sujeto a la restricción x x x2 3 = 9, y todos los valores de x para los cuales se alcanzan esos extremos.(sugerencia: considere un cambio de variable que transforme la restricción dada en una de la forma x T x = 1.) (c) Encuentre el máximo y el mínimo de la forma cuadrática Q(x) = x x2 2 sujeto a la restricción 2x 2 1 2x 1x 2 + 2x 2 2 = 4. Halle todos los x para los cuales se alcanza el extremo. (d) Encuentre los puntos de la curva más cercanos al origen de dos formas diferentes: 2x x x 1 x 2 = 1 Minimizando x con x sujeto a una restricción adecuada. Haciendo un cambio de variables adecuado y resolviendo el problema en las nuevas variables. 18. Sea Q : R 3 R, Q(x) = 3x 2 1 2x 1x 2 + 4x 1 x 3 + 3x x 2x 3.
5 (a) Pruebe que Q(x) [ 2, 4] para todo x unitario ( x = 1)y halle todos los x unitarios que verifican Q(x) = 4 o Q(x) = 2. (b) Grafique el conjunto {x R 3 : Q(x) = 4 x 3 = 0}. 19. (a) Existe una matriz A R 3 3 simétrica tal que det(λi A) = λ 3 3λ 2 + 2λ y [1 1 1] T y [2 1 0] T son autovectores de A? (b) Existe una matriz A R 2 2 tal que (x, y) = x T Ay es producto interno en R 2 y A 3 2A 2 A + 2I = 0? En cada caso, de existir A encuentre una. De no existir, explique el motivo. 20. (a) Determine, si existen, todos los a R para los cuales la forma cuadrática Q : R 3 R; Q(x) = x 2 + ax 1 x 2 es definida positiva (x R 3 ) (b) Para a = 4 halle el máximo y el mínimo de Q(x) sujeto a la restricción 1 4 x x x2 3 = 1 y los puntos donde se alcanzan esos valores. 21. Sea A R 2 2 simétrica y Q : R 2 R la forma cuadrática asociada. Sabiendo que A 3 + A es una matriz singular ( ) 2 Nul(A 4I) 1 halle, si existen, los puntos del conjunto C = { x R 2 mínima. : Q(x) = 4 } cuya distancia al origen es 22. Sea A R 3 3 simétrica y con autovalores 1, 3 y 5. Halle todos los r R tales que 1 x T (A + ri)x 16 si x 2 = 2 (x R 3 ) 23. Sea A R n n simétrica y tal que 1 y 5 son sus autovalores mínimo y máximo respectivamente. Considere la forma cuadrática Q(x) = x T Ax para x R n. Pruebe que existen w R n, unitarios, para los cuales Q(w) = 3.
6 24. Sea un sistema de dos partículas de masa m ubicadas en las coordenadas (0, 1, 2) y (0, 1, 2) de un determinado sistema de referencia, unidas por una barra rígida de masa despreciable. Consideremos que la Energa cinética de rotación para el sistema de partículas es E cin rot = 1 2 ωt I ω donde ω es el vector velocidad angular del sistema e I es la matriz de inercia que, para el sistema propuesto, es 10m 0 0 I = 0 8m 4m 0 4m 2m (a) Determine los ejes principales de inercia y los momentos principales de inercia. Qué expresión tiene la Energía cinética de rotación en el sistema de coordenadas determinado por los ejes principales? (b) Determine las posibles direcciones del vector velocidad angular para que la Energía cinética de rotación sea máxima bajo la restricción ω = 1.
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