Problemas Tema 7 Solución a problemas de ampliación de los Temas 5 y 6 - Hoja 13 - Todos resueltos
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- Ignacio Rubio Maidana
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1 página 1/9 Problemas Tema 7 Solución a problemas de ampliación de los Temas 5 y 6 - Hoja 13 - Todos resueltos Hoja 13. Problema 1 1. Sea una circunferencia de centro (0,) y radio unidades. Sea una segunda circunferencia de centro (3,0) y radio 3 unidades. Ambas circunferencias se cortan en los puntos A y B. Obtener la recta que une a los puntos A y B. La circunferencia de centro (0,) y radio tiene por ecuación: x +( y ) =4 Mientras que la circunferencia de centro (3,0) y radio 3 tiene por ecuación: (x 3) + y =9 Los puntos de corte de ambas circunferencias son la solución del siguiente sistema: { x +( y ) =4 (x 3) + y =9} { x +( y ) =4 } y= 9 (x 3) x +( 9 ( x 3) ) =4 Desarrollamos el binomio: x +9 ( x 3) (x 3) =4 x +9 ( x +9 6x)=4 9 (x 3) 6x=4 9 ( x 3) Elevamos al cuadrado ambos miembros:
2 página /9 36x =16(9 ( x +9 6x )) 36x =16( x +6x ) 36x = 16 x +96 x 5 x 96 x=0 x(5 x 96)=0 La dos soluciones son: x=0 Sustituimos por ejemplo en (x 3) + y =9 y=0 A(0,0) x= 96 5 = 4 13 Sustituimos en (x 3) + y =9 y= B( 4 13, ) Por lo tanto la recta que una ambos puntos solución es: = y 4 x 13 y= 3 x
3 página 3/9 Hoja 13. Problema. a) Sea un segmento de extremo inicial A(1,) y extremo final B(3, ). Obtener los extremos del segmento simétrico respecto a la simetría central de centro el punto P (0,5). x b) Obtener el ángulo formado por el corte de las rectas r : + y 4 =1 y s: y= 1 3 x 1 a) Debemos obtener los puntos simétricos A ' (x A, y A ) y B ' (x B, y B ) respecto al centro de simetría P (0,5). El centro de simetría es el punto medio de los segmentos AA' y BB ' respectivamente. Por lo tanto: (0,5)=( 1+x A (0,5)=( 3+ x B, + y A ) A ' (x A, y A )=( 1,8), + y B ) B ' (x B, y B )=( 3, 1) x b) Sean las rectas r : + y 4 =1 y s: y= 1 x 1. Sus pendientes son: 3
4 página 4/9 x r : + y 4 =1 r : y=x+4 m = r s: y= 1 3 x 1 m = 1 s 3 El ángulo formado por el corte de ambas rectas cumple la siguiente relación para su tangente: 1+m r m s = tg (α)= m r m s 1 3 =7 α 81,87º
5 página 5/9 Hoja 13. Problema 3 3.a) Determina la ecuación de las rectas tangentes a la elipse x + y =8 trazadas desde el punto P ( 1,5). b) Obtener la ecuación de la elipse de focos sobre una recta paralela al eje de abscisas, centrada en ( 1,3), con semieje menor 8 y excentricidad 3 5. a) El haz de rectas con ecuación punto-pendiente que pasa por el punto P ( 1,5) es: m= y 5 x+1 y=m( x+1)+5 Si llevamos este valor a la ecuación de la elipse: x +(m(x+1)+5) =8 x +m (x+1) +5+10m(x+1)=8 x +m (x +1+x )+5+10 m(x+1)=8 x (+m )+ x( m +10 m)+m +10m+17=0 Resolvemos: x= (m +10m)± ( m +10 m) 4(+m )(m +10 m+17) (+m ) Para que la recta sea tangente, necesitamos que la solución de la ecuación de segundo grado sea única. Por lo que imponemos al condición de que el discriminante sea igual a 0. ( m +10 m) 4(+m )(m +10 m+17)=0 3m 10 m 17=0 m= 10± = 10± m 4,57, m 1,3 Ya tenemos la dos pendientes de las rectas tangentes que pasan por P ( 1,5).
6 página 6/9 r : 4,57= y 5 x+1 s: 1,3= y 5 x+1 r : y=4,57 x+9,57 s: y= 1,3 x+3,76 b) La expresión general de la elipse con focos sobre recta paralela al eje de abscisas será: (x x 0 ) + ( y y 0) =1 a b Por los datos del enunciado: (x 0, y 0 )=( 1,3) b=8 e= c a =3 5 Sabemos que toda elipse cumple su relación fundamental a =b +c. Y si b=8 y
7 página 7/9 c= 3 a podemos expresar esta relación fundamental de la forma: 5 a = a a=10 Y la ecuación de la elipse resulta: (x+1) 10 + ( y 3) 8 =1
8 página 8/9 Hoja 13. Problema 4 4. Dada la elipse x + y =6, obtener las coordenadas de un rectángulo inscrito en la elipse, de lados paralelos a los ejes de la elipse, y de perímetro 1 unidades. Representa la elipse gráficamente, indicando las coordenadas de los puntos A, A', B, B ', F, F ', y representa también los cuatro vértices del rectángulo solución. Tenemos una elipse centrada en el origen de coordenadas, con ejes coincidentes con los cartesianos y focos sobre el eje OX. El rectángulo inscrito de lados paralelos a los ejes tendrá los cuatro vértices sobre la elipse: un vértice P 1 en el primer cuadrante, otro P en el segundo, otro P 3 en el tercero y el último P 4 en el cuarto. Supongo que las coordenadas de P 1 son P 1 (x, y). De esta forma P ( x, y), P 3 ( x, y), P 4 (x, y). Por lo tanto el perímetro de la elipse será: 1= x+ x+ y+ y 3= x+ y y=3 x Este resultado lo llevo a la ecuación de la elipse para obtener las coordenadas (x, y). x +(3 x) =6 x +18+ x 1 x=6 3x 1 x+1=0 x 4 x+4=0 Resolvemos: x= 4± = y=3 =1 Por lo tanto: P 1 (x, y)=(,1) P ( x, y)=(,1) P 3 ( x, y)=(, 1) P 4 (x, y)=(, 1)
9 página 9/9 Para obtener los puntos característicos de la elipse necesitamos los valores del semieje menor y mayor: x + y =6 x 6 + y 3 =1 x ( 6) + y =1 a=+ 6, b=+ 3 ( 3) Y de la relación general que cumple toda elipse: a =b +c 6=3+c c=+ 3 Y ya podemos representar la cónica y el rectángulo inscrito.
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