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- Ramón Castro Castillo
- hace 6 años
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1 5.- figur reresent un estdo lno de deformciones; es decir: sólo son osibles ls deformciones según X e Y, siendo nuls en Z. Son dtos:, coeficiente de oisson (µ); y 4. ) Hllr l tensión según el eje Z. b) Determinr r qué intervlo de vlores del coeficiente de oisson del mteril (µ) l tensión tngencil máim tiene lugr en lnos rlelos l eje Z. Cuál es l inclinción de dicos lnos? y Z ************************************************************************* ) El enuncido nos dice que l deformción según el eje Z es nul; es decir: ε z 0. Est deformción unitri está relciond con ls tensiones, y y z según l ley de Hooke de l siguiente mner: [ µ ( )] ε z z + E y En l eresión nterior es dto y sbemos que y 4. Como ε z 0: [ z µ ( + 4 )] 0 z 5µ E será. En l figur del enuncido y y son tensiones de comresión; z tmbién lo y z ETSI-ICAI. Dertmento de Ingenierí Mecánic. Elsticidd y Resistenci de Mteriles. º IIND.
2 b), y y z son tensiones rinciles y ls direcciones en que ctún direcciones rinciles. Del rtdo ) sbemos que sus vlores son: 4 5 ν y z r que l tensión tngencil máim teng lugr en lnos rlelos l eje Z es necesrio que ést quede determind or y y. Eresemos esto trvés de los círculos de Mor: τ τ m y z or lo tnto debe cumlirse que: º) z > 5 µ > µ > 0. º) z < y 5 µ < 4 µ < 0. 8 De los cálculos nteriores rece desrenderse que 0. < µ < Sin embrgo, se sbe que el coeficiente de oisson está siemre comrendido en el intervlo 0 < µ < 0.5. or lo tnto l solución es: 0. < µ < 0.5 En los círculos de Mor uede verse demás que los lnos de tensión tngencil máim formn un ángulo de 45º con los lnos cuyos vectores normles son los ejes X e Y. ETSI-ICAI. Dertmento de Ingenierí Mecánic. Elsticidd y Resistenci de Mteriles. º IIND.
3 6.- Un column de ormigón rmdo de 00 cm con 4 0 (cutro redondos de cero de 0 mm de diámetro), se crg con kg (centrd). Hllr l tensión que qued sometido cd mteril (ormigón y cero), y el cortmiento unitrio de l column. Dtos: módulos de elsticidd: - cero E, 0 6 kg/cm. - ormigón E, 0 5 kg/cm. 0000kg SECCION 4 0 ********************************************************************** column de ormigón rmdo se encuentr sometid comresión. or ser el cero y el ormigón mteriles diferentes, l tensión en cd uno de ellos, y resectivmente, tmbién lo serán. r que eist equilibrio l crg kg debe ser bsorbid entre el ormigón y los cutro redondos de cero (est crg es negtiv or ser fuerz de comresión). En secciones de ormigón rmdo no es bitul descontrle l ormigón l sección de cero, debido que suone un error equeño en comrción con ls tolerncis en ls dimensiones de l sección de ormigón. Se obtiene sí un rimer ecución: 4 Sredondo + Scolumn π () Además, r que ls deformciones en los redondos y en el ormigón sen comtibles, mbs, ε y ε, deben ser igules. Esto nos drá l segund ecución: ε ε E E () 0 0 Introduciendo () en (): 0000 ( ) 57 kg/cm. or lo tnto, trvés de (): kg/cm. Clculmos or el cortmiento unitrio de l column: εcolumn ε ε ε column E E ETSI-ICAI. Dertmento de Ingenierí Mecánic. Elsticidd y Resistenci de Mteriles. º IIND.
4 El número nterior signific que l column se cort cm. or cd cm. que teng de longitud. El signo menos nos indic que se trt de un cortmiento. ETSI-ICAI. Dertmento de Ingenierí Mecánic. Elsticidd y Resistenci de Mteriles. º IIND.
5 7.- brr de l figur tiene los etremos fijos. Sbemos que se roducido un error de construcción de + 0.mm., or lo que r su montje será necesrio someterl un fuerz de comresión. Son dtos: Dimensiones (mm.): 00 r 50 b5 r 65 c400 Sección circulr. Crcterístics de los mteriles: Mteril Mteril Mteril Modulo de elsticidd kg/cm Coeficiente de diltción C - ) Definir l ley de vrición de ls tensiones normles lo lrgo de l brr. b) Hllr l vrición de temertur que debe roducirse r que se nulen dics tensiones. r r r b b c ********************************************************************** ) brr de l figur tiene un eceso de longitud igul +0. mm. Esto signific que cundo se efectúe el montje quedrá sometid un fuerz de comresión, que será l rección en los etremos. Est fuerz originrá uns tensiones de comresión lo lrgo de l brr, tles que rovoquen un cortmiento totl de l brr tmbién de 0. mm. Si no fuese sí, el montje de l iez no serí osible. En los trmos y, l sección es constnte, luego l tensión tmbién lo será en culquier sección erendiculr l eje. Sin embrgo, en el trmo, l tensión deenderá de l sección en que nos encontremos, or ser ést vrible. ETSI-ICAI. Dertmento de Ingenierí Mecánic Elsticidd y Resistenci de Mteriles. º IIND
6 ecución de comtibilidd de deformciones será or tnto: δ T - 0. mm. δ + δ + δ donde δ T es l vrición totl de longitud en l brr, y δ, δ y δ son ls vriciones de longitud en los trmos, y resectivmente. El signo menos en - 0. mm. se debe que se trt de un cortmiento. TRAMO. π A r π 5 kg/cm. () or l ley de Hooke: ε E 6 π 5 0 uesto que es constnte en todo el trmo, ε tmbién lo es. δ ε 00 π mm. TRAMO. En este cso, l tensión deenderá de l sección en que nos encontremos. geometrí del trmo es simétric resecto su sección medi, luego bstrá encontrr cuál es el cortmiento de un de ls mitdes ( δ b ), y multilicrlo or dos r sber el cortmiento del trmo comleto ( δ ). α r r r r r tg α 0. b 5 r r + tg α * mm. * b El áre de cd sección será: Asec ción π r π ( *) mm. ETSI-ICAI. Dertmento de Ingenierí Mecánic Elsticidd y Resistenci de Mteriles. º IIND
7 Y l tensión en cd un de ells debido l fuerz de comresión : ( *) A sec ción_ 00 π ( *) π ( *) 00 kg/cm. () or l ley de Hooke: ε ( *) ( *) E 00 π ( *). 0 6 uesto que ε deende de *, l vrición totl de longitud de este trmo de longitud b será l integrl de ε ( * ) lo lrgo de dico trmo. δ b b π ( *). 0 ε ( *) d 00 d* + π mm. or lo tnto: δ 00 δb + π mm. TRAMO. rocediendo del mismo modo que en el trmo : π A r π 5 kg/cm. () ε E π Se observ que l tensión coincide con. No ocurre sí con ls deformciones unitris en l dirección del eje, ε y ε, y que el módulo de elsticidd es diferente r los trmos y. δ ε c 400 π mm. ETSI-ICAI. Dertmento de Ingenierí Mecánic Elsticidd y Resistenci de Mteriles. º IIND
8 ecución de comtibilidd de deformciones qued finlmente: π 5 0 π π Resolviéndol se obtiene: kg. El signo menos indic que es comresión. Conocido el vlor de, trvés de ls eresiones (), () y (), l ley de vrición de ls tensiones normles lo lrgo de l brr está definid de l siguiente mner: 0 00 mm. ( ) 5 kg/cm mm mm. ( ) ( ) kg/cm. [ +. ( )] kg/cm. [. ( )] mm. ( ) 5 kg/cm. Se muestr continución l reresentción gráfic de est ley de vrición: -49 kg/cm -5 kg/cm ETSI-ICAI. Dertmento de Ingenierí Mecánic Elsticidd y Resistenci de Mteriles. º IIND
9 b) r que se nulen ls tensiones que se roducen or el error de construcción de +0. mm., se necesitrí un disminución de temertur que rovoque un disminución de longitud igul este error. Suoniendo l mism vrición de temertur en todos los trmos: Resultndo: l T α l T α l i i i i i i [ ] 0. T ( 5 + 5) T. 9 ºC El signo menos indic que se trt de un descenso de temertur. ETSI-ICAI. Dertmento de Ingenierí Mecánic Elsticidd y Resistenci de Mteriles. º IIND
10 8. Un brr de directriz rectilíne y de sección constnte, fij en sus etremos dos cueros rígidos serdos un distnci, está sometid un ley de crg il () y un ley de vrición de temertur T T(), tl como se indic en l figur. Se sbe, or otr rte, que dic brr tiene un error de construcción, de form que, en usenci de crg y de vrición de temertur, result 0 5 mm más lrg que l referid distnci. Se ide: ) Recciones en los etremos de l brr. b) Eresión nlític y reresentción gráfic roimd de l ley de vrición de l fuerz norml, indicndo el vlor del máimo. Dtos: Coeficiente de diltción linel:.0-5 ºC -. (kg/m) Módulo de elsticidd:.0 6 kg/cm. Sección de l brr: 5 cm ongitud 000 m T (ºC) 0 ****************************************************** Surimiendo l ligdur de l izquierd (se odrí cer tmbién con l de l derec) se uede definir un sistem isostático equivlente, con un fuerz desconocid X en l ligdur surimid, y l condición de deformción 0. X () El esfuerzo norml en un rebnd elementl de bscis viene ddo or: X () N ( ) X ( ) d X + d X 0 ( ) 0 De donde, l deformción debid ls crgs en l rebnd elementl es: ETSI-ICAI. Dertmento de Ingenierí Mecánic Elsticidd y Resistenci de Mteriles. º IIND.
11 N ( ) d d( ) ( X ) d EA EA Integrndo: EA ( X ) r considerr el efecto de l vrición de temertur se uede seguir un roceso nálogo con T T(), o bien, considerndo que l ley de vrición de temerturs es linel, clculr l deformción con l temertur medi: T T α + T Considerndo, demás, el error de construcción, 0, l deformción totl, que de ser igul cero, viene dd or: + + T 0 Sustituyendo ls eresiones nteriores y desejndo X, result: Con los vlores numéricos: result: X kg/m 4000kg/m T 40ºC T 0ºC 0 0,5 0 - m α, 0-5 ºC - m E, 0 0 kg/m A5 0-4 m m T α + T EA 0 EA X 4405 kg (el signo menos indic que l rección v en sentido contrrio l suuesto, es decir, ci l derec). N() (con N en Kg y en m.; signo +:trcción; signo : comresión). r el cálculo de l rección en el etremo de l derec, considermos ΣF 0: ETSI-ICAI. Dertmento de Ingenierí Mecánic Elsticidd y Resistenci de Mteriles. º IIND.
12 X () X X + X' ( ) d 0 de donde: X' X + + ( ) con: X 4405 kg, y sustituyendo los demás vlores numéricos, result: X 9405 kg (el signo ositivo eres que el sentido suuesto, ci l izquierd, es correcto). Nótese l concordnci de los resultdos de X y X con los vlores de l eresión de N() r 0 y r. r roceder l reresentción gráfic de N(), sí como r obtener los vlores más crcterísticos, bstrí con introducir su ecución en l clculdor. No obstnte, observemos que, del equilibrio de l rebnd elementl: N N+dN d d + dn 0 ; dn d Es decir, l ley de crg () es l derivd de N() con el signo cmbido. Así, l ser () ositiv (ci l derec) y creciente en tod l brr, su rimitiv N() tiene signo negtivo (comresión), y es creciente, y con derivd creciente, en vlor bsoluto, en todo el intervlo. N ETSI-ICAI. Dertmento de Ingenierí Mecánic Elsticidd y Resistenci de Mteriles. º IIND.
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