Ejercicios resueltos de Álgebra

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1 Ejercicios resueltos de Álgebra. Factorización de polinomios 5 a) P 6 6 Div6,,, 8, P Q 6 Div 6 Q. Fracciones algebraicas a) Cipri Matemáticas I

2 Numerador: Denominador: Epresión: : Numerador: : Denominador: Epresión: : Departamento de Matemáticas

3 . Ecuación de primer grado Ecuación de segundo grado Ecuaciones bicuadradas a) i Nos atrevemos con las complejas? Venga: es decir, no tiene soluciones reales Cipri Matemáticas I

4 i i i z i z 8º arctg 8º 6º º z º º 6º 6º º º 6º º i z i z 8º arctg 8º 6º º z º º 6º º º º 6º º Las cuatro soluciones de la ecuación son: 6º, º, º º. c) Ecuaciones bicúbicas 6 a) 7 6 Departamento de Matemáticas

5 En realidad tiene seis raíces. Las otras cuatro son complejas. Te animo a que las calcules ,- En realidad tiene seis raíces. Las otras cuatro son complejas. Te animo a que las calcules. 7. Ecuaciones de grado superior: factorización a) (No es bicuadrada) i 9 Cipri Matemáticas I 5

6 Ecuaciones radicales a) Comprobamos si los valores obtenidos son solución: es solución no es solución Departamento de Matemáticas 6

7 Comprobamos si los valores obtenidos son solución: si es solución i i si es solución 9. Ecuaciones con fracciones algebraicas 5 a) factorizando Ha que comprobar si son solución: 5 Falsa No es solución 5 Falsa No es solución 5 5 si es solución 9 9 si es solución Comprobamos si los valores obtenidos son solución: Cipri Matemáticas I 7

8 si es solución si es solución 5 5. Ecuaciones eponenciales a) c) No tiene solución 8 7. Ecuaciones logarítmicas a) log log log5 log log 5 5 Departamento de Matemáticas 8

9 log log5? log log si es solución de la ec. logarítmica log log 5? log 96 9 log96 si es solución de la ec. logarítmica 9 log log log5 log log log 5 log log Comprobación: log 7 log 7 log 5 log log log5 que es cierta Por tanto, la solución de la ecuación es 7 c) d) log log log log log log log log log La ec. no tiene solución log log log log log log log Cipri Matemáticas I 9

10 e) Comprobaciones: no es solución, porque log log log es solución de la ecuación log log log 5 log log 5 log log Comprobaciones: log log 9 log es solución log 5 log log log 9 es cierta es solución de la ecuación log 5. Inecuaciones de primer grado con una incógnita 5 6 a) Departamento de Matemáticas

11 . Inecuaciones de segundo grado con una incógnita a) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) Falsa 5 8 Verdadera 5 8 Falsa 6 Las soluciones son:, 5 No Si No , 5 6, 6 Soluciones: 7 7,, Si No Si 7 7. Inecuación lineal con dos incógnitas Cipri Matemáticas I

12 6 Por tanto, el semiplano solución es el de abajo, es decir, el que inclue al punto,., Verdaderaa 5, 5 5 Falsa 5. Sistemas de ecuaciones lineales: l método de Gauss z a) 6 9z 9 6z F : F F F F FF 6 6 El sistema es incompatible. 5 c) z 8 z 8 8 F F F F F F6F F, z,,, z 5 z z 8 8 Departamen nto de Matemáticas

13 FF F : 5FF 5 z,,,, 6. Sistemas de ecuaciones no lineales 8 [] a) [] De [] despejamos : 9 Sustituimos en []: Resolvemos la ecuación bicuadrada: t t 8t9t, 9 9,, i,i, i, i i i Hacemos el cambio de variable: u v u v [] u v [] De [] despejamos u: u v Sustituimos en []: v v v v v v v v Como u v Por tanto: uv,,, Cipri Matemáticas I

14 Si,,,,,,,, uv uv 7. Sistemas eponenciales 56 a) , 6, c) d) e) Hacemos el cambio de variable: u v 5 uv9 despejamos u 9 v 9 v 5 v 9 u5v9 u,v 8, 8 5,, ,, u uv5 5 5 v 5uv uv,,7 u Si,, v 7 8 Departamento de Matemáticas

15 u uv 8,6 uv, 8 8 v uv8 6,8 u 88 Si,, v 6 6 u 6 6 Si,, v 8 8 f) , 6, 8. Sistemas logarítmicos a) log log log log ,, Comprobación:? 99,, es la solución del sistema log log 7 log log Sumando las dos ecuaciones obtenemos: 5 log log log 5 Sustituimos en la primera ecuación: 5 log 7 log Es inmediato comprobar que verifican las ecuaciones del sistema. Por tanto, la solución es 5,, Cipri Matemáticas I 5

16 c) d) e) 5 log log 5 5 5,, log log log log, Comprobaciones: 5 Si,, ciertas,, es solución log log 5 Si,, ciertas,, es solución log log log 8 log log 8 8 log Despejamos de la primera ecuación: Sustituimos en la segunda: Como 8 8 Posible solución:,, Comprobación:,, log log 9 que es cierta El sistema no tiene solución log 8 log log 8 8 log Despejamos de la primera ecuación: Sustituimos en la segunda ecuación: Como Posible solución:,, Comprobación: 8 8 Departamento de Matemáticas 6

17 8 9 log 8 log cierta 8,, 9 log8 log 8 cierta 8,, es la solución del sistema log log log 5 f) log log log6 log log 5 log log log 5 5 log log log6 log log6 6 Despejamos de la primera ecuación: 5 Sustituimos en la segunda: Como Posible solución:, 5 5, Comprobación: Realizando las correspondientes operaciones con la calculadora se ve que 6 6, 5 5, es la solución del sistema. log log a a g) log log b b 6 log a a log log a a a a log b log log b b b b b Despejamos de la segunda ecuación: b Sustituimos en la primera: a a b b (la solución negativa no vale porque a log b a b ) a b a b a Como bb a ab a b Posible solución:, ab a, a a b a Cipri Matemáticas I 7

18 Comprobación: a ab a a a aa b ab a b a a b 6 log a a a a a que es cierta a log b que es cierta b, ab a, a a es la solución del sistema b h) log log log log log log Despejamos de la segunda ecuación: Sustituimos en la primera: ,, , Comprobaciones: 5 5,, Si es solución 5 5,, Si es solución Departamento de Matemáticas 8

Soluciones de las actividades. d) 2x 2 3x + 1 = 0 Δ = 9 8 = 1 > 0 Dos soluciones distintas. 6. Las soluciones son: a) z = b) z = c) z = d) z = e) z =

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