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1 Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 7: Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico

2 Esquema

3 Esquema

4 Hasta ahora nos hemos enfocado en funciones que dependen de una sola variable, funciones f : R R que tienen como dominio un subconjunto de los números reales. Nos van a interesar ahora funciones más generales, cuyo dominio va a ser un conjunto de vectores. El caso más sencillo es el de las funciones de dos variables, que definimos a continuación. Llamaremos R 2 al conjunto de los pares ordenados (x, y), con x R, y R. Por ejemplo, (5, 1.6) es un elemento de R 2.

5 Dos elementos de R 2 difieren si alguna de las componentes son distintas. Por ejemplo,( 2, 5), (5, 2), (5, 2) y ( 2, 5) son todos elementos distintos de R 2. Por lo tanto, dos pares ordenados son iguales si y sólo si su dos componentes son iguales y aparecen en el mismo orden. Así como representamos geométricamente a los números reales con los puntos en un recta, podemos representar los elementos de R 2 por puntos en un plano usando un sistema de coordenadas cartesianas.

6 El punto (a, b) de R 2 se representa como el punto del plano que tiene coordenadas a en el eje x y b en el eje y. y b x a De esta manera podemos identificar el conjunto R 2 con el plano cartesiano.

7 Definición Sea D R 2. Una función f : D R es una regla que a cada par ordenado (a, b) en el conjunto D le asigna un único elemento de R que denotamos f (a, b): (a, b) f (a, b) R El conjunto D es el dominio de la función. El recorrido es el conjunto de todos los valores que toma la función.

8 Ejemplo Consideremos la función f (x, y) = y x x 2 + (y 3) 2 Esta función está definida salvo cuando el denominador se anula, lo que ocurre en el punto (, 3). Por lo tanto el dominio de definición de esta función es R 2 {(, 3)}.

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13 Consideremos una función f de dos variables x y y. Si mantenemos una de los dos variables constante, por ejemplo, si x = x, entonces f (x, y) es una función de una variable real y. Bajo las condiciones que estudiamos anteriormente, podemos considerar derivar esta función respecto a la variable y, manteniendo el valor de x fijo en x. Si esta derivada existe la llamamos la derivada parcial de f respecto a y.

14 Definición La derivada parcial de f respecto a y en (x, y ) es la derivada de f (x, y) con respecto a y en el punto y = y (manteniendo x = x fijo): f y (x, y ) = f y (x, y ) = lim y f (x, y + y) f (x, y ). y De manera similar, la derivada parcial de f respecto a x en el punto (x, y ) está dada por f x (x, y ) = f x (x, y ) = lim x f (x + x, y ) f (x, y ). x

15 Para calcular la derivadas parciales podemos usar las reglas de derivación que estudiamos para las funciones de una variable, siempre que la otra variable se mantenga fija. Ejemplo Hallar las derivadas parciales de la función f (x, y) = x 3 y 2x 2 en el punto ( 1, 3). Tenemos f x = 3x 2 y 4x, En el punto ( 1, 3) valen f y = x 3. f x ( 1, 3) = 13, f y ( 1, 3) = 1.

16 Si llamamos z al valor de la función, tenemos otra notación alternativa para las derivadas parciales: z x, z y, y para el valor en el punto (x, y ) usamos z x (x,y ) y z y. (x,y )

17 Interpretación Geométrica Consideremos una superficie cuya ecuación es z = f (x, y). El plano y = y intersecta a esta superficie en una curva plana y el valor de f x (x, y ) es la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (x, y, f (x, y )). De manera análoga, el plano x = x corta a la superficie en una curva plana y el valor de f y (x, y ) es la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (x, y, f (x, y )).

18 de Orden Superior Las derivadas parciales de una función f (x, y) son, generalmente, funciones de todas las variables originales. En consecuencia, podemos considerar las derivadas parciales de estas nuevas funciones, que serían las derivadas de orden superior. Tenemos cuatro posibles derivadas de orden 2: f xx = ( f ) = 2 f x x x 2 f xy = ( ) f x y = ( f ) f yx = ( f y ) y x = x x ) ( f y = 2 f y x = 2 f x y f yy = ( f ) = 2 f y y y 2

19 Ejemplo Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la función f (x, y) = ye x cos(y/x) Las primeras derivadas parciales son f x (x, y) = ye x + sen(y/x)( y/x 2 ), f y (x, y) = e x + sen(y/x)(1/x)

20 Las segundas derivadas parciales son f xx (x, y) = ye x + cos(y/x)( y/x 2 ) 2 + sen(y/x)(2y/x 3 ) f yy (x, y) = cos(y/x)(1/x 2 ) f xy (x, y) = e x + cos(y/x)( y/x 3 ) + sen(y/x)( 1/x 2 ) f yx (x, y) = e x + cos(y/x)( y/x 3 ) + sen(y/x)( 1/x 2 ) Observamos que en este caso f xy = f yx, pero esta igualdad no es cierta siempre.

21 Regla de la Cadena Recordemos la regla de la cadena para funciones de una variable: si x es función de t y y es función de x, y(t) = y(x(t)) y la derivada de y respecto a t es dy dt = dy dx dx dt Veamos una primera versión para el caso de dos variables. Sean x = x(t), y = y(t) funciones diferenciables en t, y sea z = f (x, y) diferenciable en (x(t), y(t)). Entonces z = f (x(t), y(t)) es diferenciable en t y dz dt = z dx x dt + z dy y dt

22 Observación No hemos explicado lo que significa que una función de dos variables sea diferenciable, pero es una condición más fuerte que pedir la existencia de las derivadas parciales. Ejemplo Sea z = x 3 y donde x = 2t y y = t 2. Determine dz/dt. dz dt = z dx x dt + z dy y dt = (3x 2 y)(2) + (x 3 )(2t) = 6(2t) 2 (t 2 ) + 2(2t) 3 (t) = 4t 4

23 Una segunda versión de la regla de la cadena es la siguiente. Supongamos que x = x(s, t) y y = y(s, t) tienen primeras derivadas parciales en (s, t) y sea z = f (x, y) diferenciable en (x(s, t), y(s, t)). Entonces z = f (x(s, t), y(s, t)) tiene primeras derivadas parciales dadas por z s = z x x s + z y y s z = z x t x t + z y y t

24 Ejemplo Si z = 2x 2 3y 2, donde x = 5s + 2t, y = 4st, determine z/ t en términos de s y t. z s = z x x s + z y y s = (4x)(2) + (6y)(4s) = 4(5s + 2t) + 24s(4st) = 2s + 8t + 96s 2 t.

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26 Definición Recordemos la definición de la integral definida o integral de Riemann: Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y P es una partición de este intervalo con subintervalos de longitud x k, k = 1,..., n, elegimos un punto x k en el k-ésimo intervalo de la partición y formamos las sumas n f ( x k ) x k k=1 Hacemos ahora tender el tamaño de la partición a y el límite de esta sucesión es lo que llamamos la integral definida de f en el intervalo [a, b]: b a f (x) dx = lim P k=1 n f ( x k ) x k

27 Definición Para définir la intégra de dos variables consideramos una función f definida en un rectángulo R con lados paralelos a los ejes R = {(x, y) : a x b, c y d} = [a, b] [c, d] Formamos una partición de R en subrectángulos usando rectas paralelas a los ejes. Supongamos que la partición tiene n rectángulos que denotamos por R k, k = 1,..., n. Sean x k y y k las longitudes de los lados de R k y sea A k = x k y k su área.

28 Definición En el intervalo R k escogemos un punto cualquiera ( x k, ȳ k ) y formamos la suma de Riemann correspondiente n f ( x k, ȳ k ) A k k=1 Hacemos ahora la partición cada vez más fina, de modo que todos los rectángulos R k sean más pequeños. Para esto llamamos P a la longitud de la mayor diagonal entre todos los rectángulos

29 Definición Definición Sea f una función continua definida en R = [a, b] [c, d]. Definimos la integral doble de f en R por R f (x, y) da = lim P k=1 n f ( x k, ȳ k ) A k Si la función f es positiva, la integral representa el volúmen del sólido bajo la superficie z = f (x, y) y sobre el rectángulo R.

30 Propiedades Propiedad 1 La integral doble es lineal, es decir, kf (x, y) da = k f (x, y) da, R R [f (x, y) + g(x, y)] da = f (x, y) da + g(x, y) da, R R R

31 Propiedades Propiedad 2 La integral dobre es aditiva en rectángulos que tienen un lado común f (x, y) da = R f (x, y) da + R 1 f (x, y) da, R 2 R 1 R 2

32 Propiedades Propiedad 3 La integral dobre es monótona: Si f (x, y) g(x, y) para todo (x, y) en R, entonces f (x, y) da g(x, y) da R R

33 Hemos definido la integral doble pero no hemos visto como calcularla. La idea fundamental es iterar la integración de las variables considerando la(s) otra(s) variables como fijas. Si queremos integrar la función f (x, y) sobre el rectángulo R = [a, b] [c, d] podemos hacerlo de dos maneras, como indicamos a continuación R f (x, y) da = = d c b a [ b a [ d c ] f (x, y) dx dy ] f (x, y) dy dx

34 Ejemplo Halle la integral de la función f (x, y) = 3x + 2y sobre el rectángulo R = [1, 2] [2, 4]. Tenemos f (x, y) da = R = = [ 2 (3x + 2y) dx 1 [ 3 2 x 2 + 2xy)] 2 [ y ] dy 1 dy ] dy [ 9 = 2 y + y 2] 4 = 9 (4 2) + (16 4) 2 2 = 21

35 Ejejmplo Halle el volúmen V del sólido sobre el rectángulo R = {(x, y) : x 1, y 2} y bajo la superficie z = 4 x 2 y. V = R 2 (4 x 2 y) da = (4 x 2 y) dx dy = [4x x 3 ] 1 3 yx dy = (4 1 y) dy 3 [ 11 = 3 y 1 2 y 2] 2 = = 16 3

36 Vamos a considerar ahora integrales sobre regiones que son mas complejas que un rectángulo. Comenzamos por definir las regiones que vamos a considerar. Un conjunto S es y-simple si existen funciones φ 1 y φ 2 en [a, b] tales que S = {(x, y) : φ 1 (x) y φ 2 (x), a x b}. Un conjunto S es x-simple si existen funciones ψ 1 y ψ 2 en [c, d] tales que S = {(x, y) : ψ 1 (y) x ψ 2 (y), c y d}.

37 φ 2(x) S φ 1(x) a b c d ψ 1(x) S ψ 2(x)

38 Supongamos ahora que queremos evaluar la integral doble de una función f (x, y) sobre un conjunto y-simple S. Consideramos un rectángulo R que contenga a la región S y hacemos f (x, y) = fuera de S. Entonces f (x, y) da = f (x, y) da S = = R b a b a [ d c [ φ 2 (x) φ 1 (x) ] f (x, y) dy dx ] f (x, y) dy dx En la integral interior, x se mantiene fijo.

39 Si el conjunto S es x-simple, un razonamiento similar conduce a la fórmula d [ ψ 2 (y) ] f (x, y) da = f (x, y) dx dy S c ψ 1 (y)

40 Ejemplo Evalúe la integral iterada 5 x 2 3 x (4x + 1y) dy dx 5 x 2 3 x (4x + 1y) dy dx = = = [4xy + 5y 2] x 2 x [ (4x 3 + 5x 4 ) ( 4x 2 + 5x 2 ) (5x 4 + 4x 3 x 2 ) dx = [x 5 + x 4 x 3 3 = ] 5 3 ] dx

41 Ejemplo Evalúe la integral iterada 1 y 2 (2ye x ) dx dy 1 y 2 (2ye x ) dx dy = 1 1 [ y 2 ] 2ye x dx dy = [2ye x] y 2 dy = = [e y 2 y 2] 1 = e 2. 1 (2ye y 2 2y) dy

42 Mediante un cambio en el orden de integración, evalúe 4 2 x/2 e y 2 dy dx La integral interior no se puede evaluar pues e y 2 no tiene una primitiva en términos de funciones elementales. Esta integral iterada es igual a e y 2 da S donde S = {(x, y) : x/2 y 2, x 4} = {(x, y) : x 2y, y 2}

43 Si escribimos esta integral doble como una integral iterada realizando primero la integración respecto a x, obtenemos 2 2y e y 2 dy = = 2 2 = e 4 1. [xe y 2] 2y dy 2ye y 2 dy = [e y 2] 2

44 Cambio de La fórmula de cambio de variables en el caso de integrales dobles es más complicada que en el caso de las integrales de una variable. Presentamos el resultado sin demostración.

45 Cambio de Supongamos que G es una transformación uno a uno de R 2 a R 2, que transforma la región acotada S en el plano uv en la región acotada R del plano xy. Si G tiene la forma G(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) entonces f (x, y) dx dy = f (x(u, v), y(u, v)) J(u, v) du dv R S donde J(u, v) se conoce como el Jacobiano y es igual al determinante x x J(u, v) = u v y y = x y u v x y v u. u v

46 Ejemplo Evalúe R cos(x y) sen(x + y) da, donde R es el triángulo con vértices (, ), (π, π) y π, π). Sean u = x y y v = x + y. Resolviendo para x, y obtenemos x = 1 2 (u + v) y 1 (v u) 2 Podemos describir la región R a través de las condiciones x y x, x π, que es la región S en el plano uv.

47 Si sustituimos u y v en estas expresiones obtenemos 1 2 (u + v) 1 2 (v u) 1 (u + v), 2 que se reduce a u, v, u + v 2π. 1 (u v) π R S

48 El Jacobiano de esta transformación es x x 1 u v J(u, v) = y y = 2 u v = 1 2 Por lo tanto cos(x y) sen(x + y) da = cos u sen v 1 dv du R S 2 = 1 2 2π 2π u cos u sen v dv du

49 1 2π 2 2π u cos u sen v dv du = 1 2 = 1 2 2π 2π 2π cos u(1 cos(2π u)) du cos u(1 cos(u)) du = 1 (cos u cos 2 (u)) du 2 = 1 2π ( cos u 1 + cos(2u) 2 2 = 1 [ sen u u 1 ] 2π 4 sen 2u = 1 2 π. ) du

50 Esquema

51 Probabilidad Consideremos un espacio de probabilidad (Ω, F, P) y dos variables aleatorias X, Y definidas sobre Ω. Al igual que en el caso de una variable, el vector (X, Y ), que toma valores en R 2, tiene asociada una distribución de probabilidad, que denotamos P X,Y. En el caso de variables continuas, esta distribución de probabilidad se representa por una función de densidad f X,Y. Una densidad de probabilidad para un vector aleatorio (X, Y ) es una función f : R 2 [, 1] que es positiva, f (x, y) para todo x, y y cuya integral sobre R 2 vale 1: f (x, y) dx dy = 1

52 Probabilidad Si el vector aleatorio (X, Y ) tiene densidad f XY, la probabilidad de que tome valores en un conjunto S está dada por P((X, Y ) S) = f X,Y (x, y) da S En particular, si S es el rectángulo [a, b] [c, d], P(a X b, c Y d) = = d b c a b d a c f (x, y) dx dy f (x, y) dy dx

53 Probabilidad Ejemplo Sean X, Y variables aleatorias con densidad conjunto f (x, y) = Cxy, x < y 1. Halle el valor de C. 1 1 x Cxy dy dx = y en consecuencia C = 8. = 1 1 [ 1 Cx x ] y dy dx Cx 2 (1 x 2 ) dx = C 8

54 Probabilidad Distribución Uniforme SeaA una región con área A. Decimos que X y Y tienen distribución conjunta uniforme si tienen densidad conjunta { A 1, (x, y) A, f (x, y) = en otro caso. Ejemplo Si (X, Y ) tienen distribución conjunta uniforme sobre el círculo centrado en el origen y de radio 1, su densidad está dada por f (x, y) = 1 π, x 2 + y 2 1.

55 Probabilidad Densidades Marginales Si X, Y tienen densidad f (x, y) entonces X tiene densidad (marginal) f X (x) = y Y tiene densidad (marginal) f (x, y) dy, f Y (y) = f (x, y) dx.

56 Probabilidad Ejemplo Sean X, Y variables con densidad conjunta f (x, y) = C(x + y), x, y 1 Halle el valor de C, la densidad marginal f X (x), P(Y < 1/2) y P(X < Y 2 ).

57 Tenemos 1 = 1 1 Probabilidad ( 1 C(x + y) dx dy = C x dx + 1 ) y dy = C de modo que C = 1. La densidad marginal de X es f X (x) = para x 1. 1 (x + y) dy = [ xy + y 2 ] 1 2 = x + 1 2

58 Probabilidad De manera similar se tiene que f Y (y) = y para y 1, y entonces P(Y < 1 1/2 2 ) = (y ) dy = 3 8 P(X < Y 2 ) = = = x<y 1 1 y 2 (x + y) dx dy (x + y) dx dy = [ 1 1 y y 4] 1 = (1 2 y 4 + y 3) dy

59 Probabilidad Ejemplo Sean (X, Y ) v.a. con densidad conjunta dada por f (x, y) = λµe λx µy, x, y <. Hallar las densidades marginales de X y Y y P(X < Y ). Tenemos f X (x) = f (x, y) dy = λe λx µe µy dy = λe λx[ e µy] = λe λx.

60 Probabilidad P(X < Y ) = = = x<y ( = λ λ + µ λµe λx µy dx dy x µe µy dy)λe λx dx λe λx µx dx dy

61 Probabilidad Otra manera de describir la distribución del vector aleatorio (X, Y ) es a través de la función de distribución conjunta, que denotamos F(x, y) = F X,Y (x, y), y definimos como F(x, y) = P(X x, Y y) = x y f (s, t), dt ds Es posible obtener la densidad a partir de la función de distribución diferenciando: 2 F(x, y) = f (x, y). x y

62 Probabilidad Las funciones de distribución marginales de X y Y se obtienen a parir de la f.d. conjunta: F X (x) = lim y F(x, y); F Y (y) = lim x F(x, y) La función de distribución conjunta satisface F(x, y) 1 para todo x, y R y la función F es creciente cuando x o y crecen.

63 Probabilidad Las funciones de distribución conjuntas satisfacen otra propiedad adicional: Para a < b y c < d, F(b, d) F (a, d) F(b, c) + F(a, c) = P(a X b, c Y d)

64 Probabilidad Ejemplo Hallemos la f.d. para las variables con densidad Para x, y 1, F(x, y) = f (x, y) = x + y, x, y 1. y x Para x 1, y > 1, F(x, y) = 1 x Para y 1, x > 1, F(x, y) = y 1 (s + t) ds dt = 1 xy(x + y). 2 (s + t) ds dt = 1 x(x + 1). 2 (s + t) ds dt = 1 y(y + 1). 2 Finalmente, para x, y > 1 tenemos F(x, y) = 1.

65 Probabilidad Ejemplo Sean X, Y v.a. con función de distribución F(x, y) = 1 1 2x 2 y 2 ( x 2 + y 2 + (xy 1)(x + y). para x, y 1. Halle la densidad conjunta y las densidades marginales de X y Y.

66 Diferenciando obtenemos Haciendo y Probabilidad f (x, y) = 2 F x y = x + y x 3, x, y 1. y 3 y derivando F X (x) = 1 x + 1 2x 2, x > 1, f X (x) = 2 + x 2x 3, x > 1. De manera similar f Y (y) = 2 + y 2y 3, y > 1.

67 Probabilidad Independencia Recordemos la definición de independencia para eventos: Dos eventos A y B son independientes si P(A B) = P(A)P(B). Definición Sean X, Y variables con función de distribución F(x, y). Decimos que X y Y son independientes si y sólo si para todo x, y, F(x, y) = F X (x)f Y (y)

68 Probabilidad Podemos ver una relación entre las dos definiciones observando que si A x = {ω : X(ω) x} y B y = {ω : Y (ω) y}, entonces X, Y son independientes si y solo si A x y B y son independientes para todo x, y. Si X, Y tienen densidad conjunta f (x, y), entonces son independientes si, para todo x, y, f (x, y) = f X (x)f Y (y).

69 Probabilidad Ejemplo Sea (X, Y ) variables con distribución uniforme en el rectángulo x a, y b. Entonces la densidad es f (x, y) = 1 ab. Las densidades marginales son f X (x) = En consecuencia b y X y Y son independientes. f (x, y), dy = 1 a, y f Y (y) = 1 b. f (x, y) = 1 ab = f X (x)f Y (y),

70 Probabilidad Ejemplo Sea X, Y variables aleatorias con distribución uniforme en el círculo unitario, con densidad f (x, y) = 1 π. Veamos que estas variables no son independientes. y f X (x) = f Y (y) = Obviamente f (x, y) f X (x)f Y (y). (1 x 2 ) 1/2 (1 x 2 ) 1/2 1 π dy = 2 π (1 x 2 ) 1/2 (1 y 2 ) 1/2 (1 y 2 ) 1/2 1 π dx = 2 π (1 y 2 ) 1/2

71 Probabilidad Esperanza Sean X, Y, Z variables aleatorias tales que Z = g(x, Y ). Si X, Y tienen densidad conjunta f (x, y) entonces E(Z ) = g(x, y) f (x, y) dx dy.

72 Probabilidad Teorema Sean X, Y variables independientes, entonces E(XY ) = E(X) E(Y ). Demostración. E(XY ) = xy f (x, y) dx dy = xy f X (x)f Y (y) dx dy = x f X (x) dx y f Y (y) dy = E(X) E(Y ).

73 Probabilidad Corolario Si X, Y son variables independientes, Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Demostración. Var(X + Y ) = E(X + Y E(X + Y )) 2 = E(X E X) 2 + E(Y E Y ) E[(X E X)(Y E Y )]. Como X y Y son independientes E[(X E X)(Y E Y )] = [E(X E X)][E(Y E Y )] = y obtenemos Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ).

74 Probabilidad Definición La covarianza entre dos variables X y Y se denota Cov(X, Y ) y se define como Cov(X, Y ) = E[(X E X)(Y E Y )] = E(XY ) E(X) E(Y ) = Cov(Y, X). Para cualquier par de variables aleatorias, Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 Cov(X, Y ).

75 Probabilidad Definición Si Cov(X, Y ) = decimos que las variables X y X no están correlacionadas. Si las variables X y Y son independientes, no están correlacionadas, pero el recíproco no es cierto. Ejemplo Sea X una variables acotada distinta de con distribución simétrica respecto a : f ( x) = f (x). Sea Y = X 2, entonces Y no es independiente de X pero Cov(X, Y ) = E(X 3 ) E(X) E(X 2 ) =.

76 Probabilidad Definición La función de correlación ρ(x, Y ) de X y Y se define como ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) (Var(X) Var(Y )) 1/2 La correlación tiene dos ventajas importantes. Por un lado, al estar normalizada toma valores en [ 1, 1] y por otro, una transformación lineal de las variables no cambia el valor de la correlación, salvo, quizás, por el signo.

77 Probabilidad Ejemplo Consideremos de nuevo variables X, Y con distribución uniforme en el círculo unitario. Ya vimos que estas variables no son independientes. Es fácil ver que, por simetría, E(X) = E(Y ) = E(XY ) = y por lo tanto las variables no están correlacionadas, aunque no son independientes.

78 Probabilidad

79 Probabilidad

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