La integral de Riemann

Transcripción

1 L integrl de Riemnn Mrí Muñoz Guillermo U.P.C.T. Mtemátics I (1 o Ingenierí Electrónic Industril y Automátic) M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 1 / 33

2 Sums superior e inferior de Riemnn. Concepto de función integrble Definición Ddo [, b] un intervlo de l rect rel, se define un prtición P de dicho intervlo como un sucesión finit de números reles de l form = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b. A cd uno de los intervlos de l form [x i, x i+1 ] con i = 0, 1,..., n 1 se les conoce como intervlos de l prtición P. Se define el diámetro de l prtición P como dim(p) = máx { x i+1 x i : i = 0, 1,..., n 1}. Dds dos prticiones P y P de un intervlo [, b], P se dice más fin que P si todo elemento de P está contenido en P. Se verific entonces que dim(p) dim(p ). M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 2 / 33

3 Sums superior e inferior de Riemnn. Concepto de función integrble Definición Se f : [, b] R un función rel de vrible rel. Se define l sum inferior de Riemnn de f pr l prtición P como n 1 s(p, f, [, b]) = m i (x i+1 x i ), i=0 donde m i = ínf {f (x) : x [x i, x i+1 ]}. Geométricmente, l sum inferior de Riemnn coincide con l sum de ls áres de los rectángulos. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 3 / 33

4 Sums superior e inferior de Riemnn. Concepto de función integrble Definición Se define l sum superior de Riemnn de f en l prtición P como n 1 S(P, f, [, b]) = M i (x i+1 x i ), i=0 donde M i = sup {f (x) : x [x i, x i+1 ]}. Es clro que s(p, f, [, b]) S(P, f, [, b]). Además si P es más fin que P tenemos: s(p, f, [, b]) s(p, f, [, b]) S(P, f, [, b]) S(P, f, [, b]) M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 4 / 33

5 Sums superior e inferior de Riemnn. Concepto de función integrble Definición Se (P n ) n un sucesión de prticiones de mner que P n+1 es más fin que P n pr cd n N y de mner que ĺım n dim(p n ) = 0. Diremos que un función es integrble Riemnn en [, b] o integrble en [, b] si existen y son igules los ĺımites Dicho ĺımite e denotrá como ĺım s(p n, f, [, b]) = ĺım S(P n, f, [, b]). n n f (x)dx = ĺım n s(p n, f, [, b]) = ĺım n S(P n, f, [, b]), y se denomin integrl de Riemnn de f en [, b]. Ver nimción M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 5 / 33

6 Sums superior e inferior de Riemnn. Concepto de función integrble Geométricmente se observ que cundo l función es positiv, dicho ĺımite coincide con el áre de l superficie definid por l gráfic, el eje OX y ls rects x = y x = b. Los números reles y b reciben el nombre de ĺımites de integrción. Ahor bien, cuándo f es integrble? Estos son lgunos resultdos: Teorem Se f : [, b] R un función continu, entonces f es integrble en [, b]. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 6 / 33

7 Sums superior e inferior de Riemnn. Concepto de función integrble Teorem Se f : [, b] R un función cotd con un número finito de puntos de discontinuidd, entonces f es integrble en [, b]. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 7 / 33

8 Propieddes de l Integrl de Riemnn Propieddes Se f : [, b] R integrble. Entonces se verificn ls siguientes propieddes: 1 f (x)dx = 0. 2 Si c (, b) entonces f (x)dx = c f (x)dx + c f (x)dx. b 3 f (x)dx = b f (x)dx. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 8 / 33

9 Propieddes de l Integrl de Riemnn Más propieddes Sen f, g : [, b] R dos funciones integrbles. Entonces se verificn ls siguientes propieddes: f + g es integrble en [, b], (f (x) + g(x))dx = Pr cd α R, α f es integrble en [, b], f (x)dx + g(x)dx. α f (x)dx = α f (x)dx. Si f (x) 0 pr cd x [, b], entonces f (x)dx 0. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 9 / 33

10 Propieddes de l Integrl de Riemnn Más propieddes II Si f (x) g(x) pr cd x [, b] entonces f (x)dx L función f es integrble en [, b] y g(x)dx. f (x)dx f (x) dx. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 10 / 33

11 Teorem de l Medi Integrl Teorem de l Medi Integrl Proposición Se F un función integrble en [, b] y sen m y M los vlores mínimos y máximos respectivmente de l función f en este intervlo, entonces se verific que m(b ) Teorem de l Medi Integrl f (x)dx M(b ). Si f es un función continu en un intervlo [, b], entonces existe un punto c [, b] tl que f (x)dx = (b )f (c). M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 11 / 33

12 El teorem Fundmentl del Cálculo Integrl Se f : [, b] R. Si f es integrble es posible definir un nuev función F : [, b] R utilizndo l integrl definid de l función f, F (x) = x El Teorem Fundmentl del Cálculo firm Teorem Fundmentl del Cálculo f (t)dt (1) Se f : [, b] R un función integrble en [, b] y continu en x 0 (, b), entonces l función F definid en (1) es derivble en x 0 y se verific que F (x 0 ) = f (x 0 ). M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 12 / 33

13 El teorem Fundmentl del Cálculo Integrl En generl, si l función f es continu en [, b] entonces F es derivble en (, b) y F (x) = f (x) pr cd x (, b). M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 13 / 33

14 Regl de Brrow Dds f, G : [, b] R, diremos que G es un función primitiv de f si se verific que G (x) = f (x) pr cd x [, b]. El Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl firm que si f es continu en [, b] entonces existe un función primitiv. Ls primitivs son únics slvo constntes, es decir, si G 1, G 2 : [, b] R son primitivs de f entonces G 1 (x) = G 2 (x) + k pr cd x [, b], donde k es un constnte rel. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 14 / 33

15 Regl de Brrow Regl de Brrow Regl de Brrow Se G : [, b] R un primitiv de un función continu f : [, b] R entonces f (x)dx = G(b) G(). M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 15 / 33

16 Cálculo de primitivs Fórmul del cmbio de vrible Se f : [, b] R un función integrble en [, b] y g : [c, d] R un función inyectiv con derivd integrble en [c, d], de mner que g(c) = y g(d) = b. Entonces se stisfce l fórmul: f (x)dx = d c f (g(t))g (t)dt. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 16 / 33

17 Cálculo de primitivs Fórmul de integrción por prtes Sen f, g : [, b] R dos funciones derivbles en (, b) tles que sus derivds f y g son integrbles en [, b]. Entonces se verific l fórmul f (x)g (x)dx = [f (x) g(x)] b g(x)f (x)dx. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 17 / 33

18 Cálculo de primitivs Primitivs de ls frcciones rcionles Cmbios específicos pr determinds funciones Sen P(x) y (Q(x) dos funciones polinómics de un vrible rel. Se demuestr en los trtdos de Algebr que tod frcción rcionl f (x) = P(x) Q(x) puede descomponerse en l form α1 P(x) Q(x) = p(x) + k=1 α2 A k (x 1 ) k + k=1 αm B k (x 2 ) k k=1 M k x + N k (x 2 + m ) k, donde 1, 2,..., m son ls ríces (reles y complejs) de l ecución Q(x) = 0 y α 1, α 2,..., α m son sus índices de multiplicidd respectivmente. El polinomio p(x) es el cociente que se obtiene l hcer l división enter del polinomio P entre el polinomio Q. Por último, ls constntes A 1, A 2,..., A α1 ; B 1, B 2,..., B α2 ; M 1,..., M αm que precen en l descomposición socid los ceros del polinomio Q son números reles o complejos que pueden clculrse. En bse est descomposición el problem del cálculo de l primitiv del cociente de P(x) Q(x) se simplific. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 18 / 33

19 Cálculo de primitivs Cmbios específicos pr determinds funciones Primitivs de expresiones que contienen x+b cx+d Ls funciones ls que pretendemos clculr sus primitivs tienen l form: ( ( ) x + b m1 /n 1 ( ) x + b m2 /n 2 ( ) ) x + b mk /n k f x,,,...,. cx + d cx + d cx + d En este cso utilizremos el cmbio de vrible x + b cx + d = tn donde n es el mínimo común múltiplo de los denomindores n 1, n 2,..., n k. Despejndo x obtenemos x = dtn b ct n = f 1(t) preciendo x como un frcción rcionl de l vrible t. El problem se reduce l determinción de un primitiv de un frcción rcionl. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 19 / 33

20 Cálculo de primitivs Primitivs de ls diferencis binomis Cmbios específicos pr determinds funciones Se trt de clculr primitivs de l form x α ( + bx β ) γ dx, donde α, β, γ son números rcionles y y b son números reles, en intervlos donde l función integrndo tome vlores reles. El cmbio de vrible que tenemos que utilizr en este cso es x = t 1/β. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 20 / 33

21 Cálculo de primitivs Cmbios específicos pr determinds funciones Primitivs de expresiones que contienen cos(x) y sen(x) Se f un frcción rcionl de dos vribles y consideremos el clculr l primitiv f (cos(x), sen(x))dx. Hciendo el cmbio t = tn( x 2 sen(x) = ), se tiene que cos(x) = 1 t2 1+t 2 y 2t 1+t 2, luego l integrl clculr será f ( ) 1 t t 2, 2t t t 2 dt y el problem qued reducido hllr l primitiv de un frcción rcionl de l nuev vrible t. En ciertos csos prticulres es más rápido hcer otros cmbios de vribles. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 21 / 33

22 Cálculo de primitivs Cmbios específicos pr determinds funciones Primitivs de funciones de l form f (g(x))g (x) Se f un función rcionl y g un biyección derivble y con derivd continu de un intervlo J sobre un intervlo I. El problem de hllr un primitiv en J de l función f (g(x))g (x) se reduce l de hllr un primitiv en I de l función f (t), sin más que hcer el cmbio de vrible g(x) = t. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 22 / 33

23 Cálculo de primitivs Cmbios específicos pr determinds funciones Primitivs de expresiones que contienen x 2 + 2bx + c Se f un función rcionl de dos vribles. Nos proponemos determinr ls primitivs de l form f (x, x 2 + 2bx + c)dx, donde, b, c son números reles y 0, en quellos csos en los cules x 2 + 2bx + c 0. Tomndo d = c b2 se tiene l identidd ( x 2 + 2bx + c = x + b ) 2 + d. El cmbio de vrible que hy que relizr es x = t b. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 23 / 33

24 Cálculo de primitivs Cmbios específicos pr determinds funciones Ver los puntes pr más detlles M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 24 / 33

25 Integrles impropis Integrles impropis de primer especie Integrles impropis de primer especie Definición Se f : [, + ) R un función integrble en cd intervlo [, b] con b [, + ). Se define l integrl impropi f (x)dx = ĺım f (x)dx. b Si el ĺımite nterior existe y es finito l integrl se dice que es convergente, si el ĺımite existe pero es ± l integrl es divergente. Si el ĺımite no existe diremos que l integrl es oscilnte. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 25 / 33

26 Integrles impropis Integrles impropis de primer especie Definición De form nálog se define l integrl impropi L integrl f (x)dx = ĺım f (x)dx. + f (x)dx := f (x)dx + + f (x)dx. El vlor de + f (x)dx no depende del punto R. Se define vlor principl de l integrl impropi de f en (, + ) como el ĺımite V.P. + f (x)dx = t ĺım f (x)dx. t + t M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 26 / 33

27 Integrles impropis Integrles impropis de primer especie Si l integrl es convergente, el vlor principl de l integrl y l integrl coinciden, mientrs que en el cso en el que no se convergente esto no tiene por qué suceder. Ejemplo Considermos l función f (x) = x. Puesto que t t xdx = 0, sí mientrs que t V.P. xdx = ĺım xdx = 0, t + t xdx no existe. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 27 / 33

28 Integrles impropis Integrles impropis de segund especie Integrles impropis de segund especie Definición Se f : [, b) R integrble en [, c] pr cd c [, b) de form que ĺım x b f (x) = ±. Entonces t f (x)dx = ĺım f (x)dx. t b Si el ĺımite nterior existe y es finito diremos que l integrl es convergente, si existe pero no es finito entonces l integrl se dice divergente. Por último, cundo no se dn ninguno de los csos nteriores diremos que l integrl es oscilnte. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 28 / 33

29 Aplicciones Geométrics de l Integrl Cálculo del áre de regiones plns Se y = f (x) un curv situd en el semiplno superior y definid en el intervlo [, b] es conocido que el áre limitd por l curv, el eje de bciss y ls rects x = y x = b viene dd por l integrl de Riemnn de l función f en [, b] es decir, A = f (x)dx. Asimismo, el áre comprendid entre dos funciones f (x) y g(x) en un intervlo [, b] y f (x) g(x) viene ddo por: A = f (x) g(x)dx. En generl el áre comprendid entre dos funciones f (x) y g(x) en un intervlo [, b] viene dd por: A = f (x) g(x) dx. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 29 / 33

30 Aplicciones Geométrics de l Integrl Cálculo del volumen utilizndo secciones Est técnic permite el cálculo de volúmenes de sólidos de los cuáles conocemos el vlor de ls áres de tods ls secciones. Fijd un vrible x, si conocemos el vrible de cd un de ls secciones que denotmos por S x el volumen no es sino l sum de ls áres de tods ls secciones, ide que se corresponde con el concepto de integrl. Así: Vol = A(S x ) dx donde y b son los ĺımites de integrción entre los que tom vlores l vrible x y A(S x ) denot el áre de l sección pr x fij. De form nálog se podrí considerr l fórmul sustituyendo l vrible x por y. Vemos un ejemplo práctico: Abrir Archivo M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 30 / 33

31 Aplicciones Geométrics de l Integrl Cálculo de l longitud de un curv Se f : [, b] R un función derivble. Entonces l longitud de dich curv viene dd por L[, b] = 1 + f (x) 2 dx. Efectivmente si P = { = x 0, x 1,..., x n 1, x n = b} bst proximr l longitud de L con l poligonl n 1 i=0 (f (xi+1 ) f (x i )) 2 + (x i+1 x i ) 2, tomndo un sucesión de prticiones cuyo diámetro tiende cero obtenemos l fórmul de l longitud que hemos ddo. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 31 / 33

32 Aplicciones Geométrics de l Integrl Cálculo del volumen de un sólido de revolución El volumen de un sólido generdo l girr un función f : [, b] R lrededor del eje OX viene ddo por Volumen = π f (x) 2 dx. Si en lugr de ser lrededor del eje OX considermos el volumen generdo lrededor del eje OY obtenemos Volumen = 2π x f (x)dx. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 32 / 33

33 Aplicciones Geométrics de l Integrl Cálculo del áre de un sólido de revolución En este cso se trt de clculr el áre del sólido tridimensionl que se obtiene l girr l gráfic de l función f : [, b] R derivble sobre el eje OX. El áre viene dd por: Áre = 2πf (x) 1 + f (x) 2 dx. Cundo en lugr del eje OX el sólido de revolución se obtiene l girr l curv lrededor del eje OY bstrá con hcer un cmbio de vrible. M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 33 / 33