PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
|
|
- José Ramón Prado Cuenca
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 5 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B
2 Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f : definida por f ( ) e y a su derivada f '. a) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f '. b) Calcula el área de la región sombreada. () () MATEMÁTICAS II. 5. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La función f ( ) e es continua y derivable en su dominio. Además vemos que esta función es siempre positiva, luego su gráfica debe ser la que está por encima del eje OX. Podríamos también calcular los puntos de corte con el eje OX de las dos funciones f ( ) e, luego sólo corta en el punto (,) f '( ) e e ( ) e ;, luego vemos que corta en dos puntos al eje OX. b) El área pedida es ( ) '( ) ( A f f d e e e d e d Vamos a calcular primero la integral indefinida por partes y luego sustituiremos: e d e e d e e u ; du d dv e d; v e Sustituyendo, nos queda: A e d e e ( e ) ( e e ( e ) 6 e '8 u
3 Considera la función f : definida por f ( ). a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) Calcula el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f, la recta de ecuación y la recta obtenida en (a). MATEMÁTICAS II. 5. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. e a) La recta tangente en es y f () f '() ( ) f () e f '( ) e f '() Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y ( ) y b) El área de la región pedida es: A ( e ) d e 4 e e
4 Calcula la integral d MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Como el polinomio del numerador tiene mayor grado que el polinomio del denominador, lo primero que hacemos es dividir, con lo cual: 9 ( 4) d d d Calculamos las raíces del denominador: ; Descomponemos en fracciones simples: 9 A B A( ) B( ) ( )( ) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores 9 9 A A 9 9 B B Con lo cual: 9 ( 4) ( 4) d d d d d d ( ) ( ) 4 ln ln C
5 Se sabe que la función :, es continua en [, ). a) Halla el valor de a. b) Calcula f ( ) d a si 8 f definida por: f( ) si 8 4 MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) b) lim a 8a 8a 8 a 8 lim f ( ) d 8 d d I 8 d 8 d 8 8 I 8 d 4 Como el polinomio del numerador tiene mayor grado que el polinomio del denominador, lo primero que hacemos es dividir, con lo cual: 6 d ( 4) d d 4 6 ln I d 4 6ln ln 6 6ln 4 6 6ln 8 4 Por lo tanto: f ( ) d 8 d d 6 6 ln 6 ln 4 8 8
6 4 si Sea f : la función definida por: f( ) R E S O L U C ( I ) Ó N si a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gráfica. b) Halla el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f y por el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) El punto de corte con el eje X es y 4 (,) y Como f ( ) 4, es una recta, hacemos una tabla de valores ( ) (, ) f ( ) 4 4 Como f ( ) ( ), es una parábola, hacemos una tabla de valores f ( ) ( ) 4 Luego la gráfica será: 4 4 b) Área = ( ) 8 ( 4) d ( ) d 4 4 u
7 Calcula Ln( ) d, siendo Ln la función logaritmo neperiano. MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Vamos a calcular la integral I Ln ( ) d, que es una integral por partes. u ln ( ); du d dv d; v I Ln( ) d Ln( ) d Ln( ) I La integral I d es una integral racional Sustituyendo en la anterior, nos queda: I d d Ln( ) I Ln( ) d Ln( ) d Ln( ) Ln( ) Una vez que hemos calculado la integral indefinida, ahora resolvemos la que nos proponía el problema. Ln( ) d Ln( ) Ln( ) Ln
8 Se sabe que la gráfica de la función f : definida por aparece en el dibujo. a) Determina f. b) Calcula el área de la región sombreada. f ( ) a b c es la que MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) De la gráfica de la función f ( ), vemos que:. f ( ) 4a b c 8. f () a b c. mínimo en f '() a b Luego resolviendo el sistema función pedida es f ( ) 4a b c 8 a b c obtenemos que a ; b ; c. Por lo tanto, la a b b) 4 7 A ( ) d u 4 4
9 Sea f : la función definida por f ( ) sen( ). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (,). MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Vamos a calcular la integral F( ) sen ( ) d, que es una integral por partes. cos cos sen sen F( ) sen ( ) d cos d d cos sen cos C 4 u ; du d cos dv sen d; v u ; du d sen dv cos d; v cos sen cos F( ) C 4 Como nos piden una primitiva que pase por (,) F(), luego sustituyendo podemos calcular el valor de C. C C 4 4 Por lo tanto, la función primitiva que nos piden es: cos sen cos F( ) 4 4
10 Considera la función f : R definida E S O por L U f ( C ) I Ó N 5 4. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) Calcula el área de la región acotada que está limitada por el eje de ordenadas, por la gráfica de f y por la recta tangente obtenida. MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La ecuación de la recta tangente en es y f () f '() ( ). Calculamos f f f '( ) 5 f '() 6 5 ( ) 5 4 () Luego la recta tangente es: y ( ) ( ) y 5 b) Dibujamos la parábola y la recta tangente para ver con mayor claridad el área que nos piden. 6 A ( 5 4) ( 5) ( 6 9) 9 9 d d u
11 Calcula las siguientes integrales: a) cos(5 ) d. b) d. ( ) c) e d MATEMÁTICAS II. 5. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) b) cos(5 ) d 5 cos(5 ) d sen (5 ) C 5 5 ( ) d ( ) d C ( ) c) Vamos a calcular la integral I e d, que es una integral por partes. I e d e e d e e 9 u ; du d dv e d; v e Ahora calculamos la integral que nos pide el problema 4 I e d e e e 9 9 9
12 De una función se sabe que y que a) Determina f. b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, por el eje de abscisas y por las rectas y MATEMÁTICAS II. 5. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos todas las funciones primitivas de f '( ) f ( ) f '( ) d d C De todas ellas, nos interesa la que cumple que f (), luego: f C C f () ( ) b) Vamos a calcular los puntos de corte de la función f ( ) y el eje de abscisas y La función f ( ) no corta al eje de abscisas Por lo tanto, el área pedida será: A ( ) d 4 4 u
13 8 Considera la integral definida I d. a) Eprésala aplicando el cambio de variables t b) Calcula I. MATEMÁTICAS II. 5. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Como el cambio es t, vamos a calcular los nuevos límites de integración. Si t t Si 8 8 t t Vamos a calcular cuanto vale d: ( ) t t t, con lo cual ( ) d t dt Sustituyendo, nos queda: 8 t I d ( t) dt dt ( ) dt t t t b) I ( ) dt t ln t ( ln ) ( ln) ln ) '8 t
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 5 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2003 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Junio, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 8 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2017 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 4 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad
PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?
Más detallesx 2 dx. 2x 2-2x-4 1. [2014] [EXT-A] Calcula x dx. (Sugerencia: integración por partes) cos 2 x 2. [2014] [EXT-B] Calcula
. [] [ET-A] Calcula d. --. [] [ET-B] Calcula / d. (Sugerencia: integración por partes) cos. [] [JUN-A] Sean f: y g: las funciones definidas respectivamente por: f() = y g() = +. a) Esboza las gráficas
Más detalles4. [2012] [JUN-A] Sea f una función continua en el intervalo [2,3] y F una primitiva de f tal que F(2) = 1 y F(3) = 2. Calcula: 3 5f(x)-7 dx
. [] [SEP-B] Sea f: la función definida por f() = 9-. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta +y
Más detallesEJERCICIOS UNIDADES 3 y 4: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
IES Padre Poveda (Guadi) EJERCICIOS UNIDADES y : INTEGRACIÓN DE FUNCIONES a. (6-M-A-) (.5 puntos) Calcula el valor de a > para el que se verifica d. +. (6-M-B-) (.5 puntos) Considera la función : R R f
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA. Calcular las siguientes integrales definidas: b) d e d c) + d d) d e) sen d f) + d d ( ) En primer lugar se ha calculado una primitiva de f() Barrow. y después
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS Calcula una función real f : que cumple las condiciones siguientes: f (0) = 5, f (0) =, f (0) = 0 y f () = + Como f () = +, integremos esta
Más detallesEJERCICIOS UNIDADES 3 y 4: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
IES Padre Poveda (Guadi) EJERCICIOS UNIDADES y : INTEGRACIÓN DE FUNCIONES (5-M-A-) (5 puntos) Calcula el valor de a > sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y + a y la recta y es
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 005 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 04 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesANÁLISIS DE FUNCIONES
ANÁLISIS DE FUNCIONES.- Calcula f() de manera que f () = Ln( + ) y que f(0) = 0. (nota: Ln significa logaritmo neperiano). Universidad de Andalucía Se trata de resolver la integral que hemos de hacerlo
Más detallesUnidad 10 Integrales definidas. Aplicaciones
Unidad Integrales definidas. Aplicaciones PÁGINA 5 SOLUCIONES. Las áreas quedan: A u A u A 5 u. El área del recinto viene dada por : ( ) ( ) Área d,5 u PÁGINA 9 SOLUCIONES. La solución queda: Directo:
Más detallesPROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS
PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Integración por partes. Mediante la integración por partes, hallar una primitiva de la función y = Ln (1 + x) Calcular una primitiva de una función, es hallar su
Más detallesOPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo que te llevará al final, serán tus pasos, no el camino. Fito y los Fitipaldis
MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B 9--4 Lo que te llevará al final, serán tus pasos, no el camino Análisis Fito y los Fitipaldis OPCIÓN A.- a) Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor
Más detalleslim x sen(x) Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 23-II-2015 CURSO Instrucciones:
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: II5 CURSO 5 Instrucciones: a) Duración: HORA y MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: Día: CURSO
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO (ANÁLISIS) Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: Día: CURSO 56 Instrucciones: a) Duración: HORA y MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 5 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesDepartamento de Matemáticas Página 1 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. INTEGRAL INDEFINIDA. (Sugerencia: cambio de variable
Departamento de Matemáticas Página PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. INTEGRAL INDEFINIDA. d 4.0.- Calcula ( ) (Sugerencia: cambio de variable t ) 4-0.- Sea f : R R la función definida por Sea f ( ) e cos ( )
Más detallesExamen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003
Examen de Matemáticas o de Bachillerato Mayo 1. (a) Dibuja el recinto limitado por las curvas y = e x+, y = e x y x =. (b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior. (a) El dominio
Más detallesTema 13 La integral definida. Aplicaciones
Tema La integral definida. Aplicaciones. Integral definida. Calcula la integral. ( ) d 4 Calculamos una primitiva de la función f ( ) : G( ) ( ) d Según la regla de Barrow: 4 4 ( ) d G(4) G() 4 8 4 Ahora
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES
INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. a) Eplicar el concepto de función primitiva. b) Sea f () = e + 8, justificar si es primitiva de alguna de las siguientes funciones: g () = e + 8 h
Más detallesMatemáticas II TEMA 11 La integral definida Problemas Propuestos
Análisis Integral Indefinida Matemáticas II TEMA La integral definida Problemas Propuestos Integrales definidas Halla el valor de: a) d b) 7 c) d 5 d d) e d Calcula la integral e ln( ) d Utilizando el
Más detallesUnidad 15 Integrales definidas. Aplicaciones
Unidad 15 Integrales definidas. Aplicaciones 3 SOLUCIONES 1. La suma superior es: La suma inferior es:. La suma superior es: s ( P) = ( 1) 3 + (3 ) 10 = 3 + 10 = 13 La suma inferior es: s ( P) = ( 1) 1+
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRACIÓN
EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRACIÓN.- Calcular el área encerrada por la función: y = 9, el eje OX, y las rectas = f 9 Se trata de un triángulo de base y altura 9 9 El área sombreada
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES
COLEGIO SAN ALBERTO MAGNO MATEMÁTICAS II INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. 008 MODELO OPCIÓN A. Ejercicio. [ 5 puntos] Dadas las funciones f : [0,+ ) R y g : [0, + ) R definidas por y calcula el área del
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesINTEGRALES DEFINIDAS. CÁLCULO DE ÁREAS
INTEGRALES DEFINIDAS. CÁLCULO DE ÁREAS. Dada la función f() = -. Calcular f () d. a) Representar y = ( ) 3. b b) Calcular la integral indefinida ( 3 ) d a c) Justificar el resultado de b en función de
Más detalles-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva.
EJERCICIOS PARA PREPARAR EL EXAMEN GLOBAL DE ANÁLISIS ln ) Dada la función f ( ) = +, donde ln denota el logaritmo - 4 neperiano, se pide: a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas b) Calcular la recta
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 06 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,
Más detallesEjercicios de integración
1. Calcular las siguientes integrales: 1) ) 8) + 1 d ) + 6 6 + 1 d 5) + + 1 + 1 7) d 8) + Ejercicios de integración d ) + + 1 d 6) ( + 1) + + d + d 9) ( + + 1) ln d + 1 + + 1) d 11) d 1) + + 1 d + 1 1)
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 03 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 de la opción A del modelo 5 de 1999.
IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del 999. Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio de la opción A del modelo 5 de 999. [ 5 puntos] Haciendo el cambio de variable t = e x, calcula Calculamos primero
Más detallesMatemáticas II. * Análisis III: Integrales * o) x x. p) 3. q) 5. r) 1. s) e 2x 3 dx. t) 5 dx. u) x2 5 x 4. v) x3 3x 2 x 1. z) 3
I.E.S. Juan Carlos I Ciempozuelos (Madrid) Matemáticas II * Análisis III: Integrales *. Integrales inmediatas (o casi inmediatas): a) 4 2 5 7 b) 3 3 5 2 +3 +4 c) 2 7 d) 5 e) sen f) sen +7cos g) tg 2 h)
Más detallesene 5 12:59 Está basado en la regla de la cadena. Si F(x) y g(x) son funciones derivables, la regla de la cadena nos dice que:
Métodos de integración: 1) Método de descomposición Para calcular una integral indefinida, usamos las propiedades de las integrales y las igualdades que conozcamos para descomponer la integral en otras
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesMATEMÁTICAS II 2005 OPCIÓN A
MATEMÁTICAS II 2005 OPCIÓN A Ejercicio 1: De la función f : R R definida por f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d se sabe que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 06 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesExamen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A
Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos http://qui-mi.com/ Eamen de Selectividad Matemáticas JUNIO - ndalucía OPCIÓN. Sea f : R R definida por: f ( a b c. a [7 puntos] Halla a b y c para
Más detallesSolución. Restando estas dos últimas ecuaciones tenemos 9a = 9 de donde a = 1
Ejercicio n º 1 de la opción A de junio de 2005 [2'5 puntos] De la función f : R R definida por f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d se sabe que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el
Más detallesF es primitiva de f ya que:
T.2: INTEGRACIÓN 2.1 Primitiva de una función. Integral Indefinida. Propiedades. Sean f y F dos funciones reales definidas en el mismo dominio. La función F es una función primitiva de f, si F tiene por
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesÁrea entre curvas. Ejercicios resueltos. 1. Calcular el área limitada por la curva y = x 2 5x + 6 y la recta y = 2x.
Área entre curvas Ejercicios resueltos 1. Calcular el área limitada por la curva y = x 2 5x + 6 y la recta y = 2x. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás de mayo de 13 Capítulo 6 Año 5 6.1. Modelo 5 - Opción A Problema 6.1.1 ( puntos) Justificar razonadamente
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2003 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 003 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio 1, Opción A
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 00 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,
Más detallesIES Francisco Ayala Modelo 1 (Septiembre) de 2007 Solución Germán Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Francisco Ayala Modelo (Septiembre) de 7 Germán Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio n de la opción A de septiembre, modelo de 7 3x+ Sea f: (,+ ) R la función definida por f(x)= x. [ 5 puntos] Determina
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 00 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A
Más detallesPrueba º Bach C Análisis. Nombre:... 17/05/10. Elige una de las dos opciones y contesta a todas sus preguntas. Tiempo disponible 1 h. 30 min.
Nota Prueba 3.04 º Bach C Análisis Nombre:... 7/05/0 Elige una de las dos opciones y contesta a todas sus preguntas. Tiempo disponible h. 30 min. OPCIÓN A. a) Calcula los siguientes límites: ln( + ) sen
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detalles2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN
2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 1.) Resuelve las siguientes derivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) f(x) = arcsen 2.) Resuelve la siguiente derivada, simplificando
Más detallesDe x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
Área entre curvas El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo. Ejemplos 1. Calcular el área
Más detallesPropiedad importante: Si una recta pasa por los puntos ( a, UNIDAD 7.- Funciones polinómicas (tema 7 del libro)
(tema 7 del libro) 1. FUNCIÓNES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO Son funciones de la forma mx n ó y mx n donde: m : se llama pendiente de la recta n : se llama ordenada en el origen. La recta pasa por el punto
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. a g(x)
IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna germanjss@gmailcom Opción A Ejercicio opción A, modelo Junio 06 ln( + ) - a sen() + cos(3) ['5 puntos] Sabiendo que lim
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 2- III- 16 CURSO
EXAMEN DE MATEMÁTICAS GRÁFICAS E INTEGRALES Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: - III- 6 CURSO 05-6. [ punto] Estudia si las siguientes funciones presentan simetría par (respecto del eje de ordenadas)
Más detallesResolución del examen de Matemáticas II de Selectividad en Andalucía Junio de 2005
Resolución del eamen de Matemáticas II de Selectividad en Andalucía Junio de 5 Antonio Francisco Roldán López de Hierro * # de junio de 5 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] De la función f : R R de nida por
Más detallesSelectividad hasta el año incluido = 0. Página 1 de 13 ANÁLISIS
ANÁLISIS Selectividad hasta el año 9- incluido Ejercicio. Calificación máima: puntos. (Junio 99 A) Hallar la longitud de los lados del triángulo isósceles de área máima cuyo perímetro sea 6 m. Ejercicio.
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesCOL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS
DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS 3 si Si la función f está definida mediante f (), calcula a y b para que sea a b si > continua. La función es continua en (, ) (, ), pues en
Más detallesModelo 3. Ejercicio 1 de la Opción A de Sobrantes de 2010
Modelo 3. Ejercicio 1 de la Opción A de Sobrantes de 2010 [2 5 puntos] Sea la función f : R R dada por f(x) = Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 011 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA : FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2014 Reserva 2 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 Septiembre 01 ['5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos
Más detallesI. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS
Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 2013 Capítulo 9 Año 2008 9.1. Modelo 2008 - Opción A Problema 9.1.1 2 puntos Se considera la función
Más detallesIES Fernando de Herrera Curso 2014 / 15 Primer trimestre - Primer examen 2º Bach CT NOMBRE:
IES Fernando de Herrera Curso / 5 Primer trimestre - Primer eamen º Bach CT NOMBRE: ) Sea la función f : R R definida por f() e ( + ) a) Calcular dominio, cortes con los ejes y asíntotas ( punto) b) Estudiar
Más detallesIntegral. F es primitiva de f F (x) = f(x)
o Bachillerato, Matemáticas II. Integración. Integrales indefinidas. Métodos de integración. Primitiva de una función. Integral indefinida. Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio.
Más detallesTema 5 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones
Tema Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Inecuaciones lineales PÁGINA 9 EJERCICIOS. Comprueba en cada caso si el valor indicado forma parte de la solución de la inecuación. b de la inecuación Sustituimos
Más detallesIntegrales. 1. Calcular las siguientes integrales: dx x. iii) xsenx dx. ii) 3dx. Solución: i) Operando se tiene: x 2
Integrales. Calcular las siguientes integrales: i) d ii) d 6 iii) sen d i) Operando se tiene: d = / / / / d = 7 / / / / / = c = c 7 7 ii) Ajustando constantes se tiene: d 6d = 6 c 6 6 iii) Haciendo el
Más detallesSolución. Las dimensiones de la caja para un coste mínimo son x = 4 cm e y = 80/(4 2 ) = 5m
Ejercicio n º 1 de la opción A de septiembre de 2004 [2'5 puntos] Se desea construir una caja de base cuadrada con una capacidad de 80 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que
Más detallesResolución del examen de Selectividad de Matemáticas II Andalucía Junio de 2008
Resolución del eamen de Selectividad de Matemáticas II Andalucía Junio de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * de junio de Opción A Ejercicio ( 5 puntos) Sea f la función de nida, para 6, por f ()
Más detallesRESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II
RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II 1. DOMINIO DE DEFINICIÓN Y CONTINUIDAD 1.1. FUNCIONES ELEMENTALES (No tienen puntos angulosos) Tipo de función f (x) Dom (f) Continuidad Polinómicas P(x) R Racional P(x)/Q(x)
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2010 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 del 010 [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida como f(x)= a.sen(x)+ bx + cx + d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica
Más detallesIES Francisco Ayala Modelo 2 (Septiembre) de 2008 Soluciones Germán Jesús Rubio Luna. Opción A. x - bx - 4 si x > 2
IES Francisco Ayala Modelo (Septiembre) de 008 Soluciones Germán Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio n 1 de la opción A de septiembre de 008 ax + x si x Sea f: R R la función definida por: f(x). x - bx
Más detallesEXAMEN DE MATEMATICAS II 2ª ENSAYO (1) Apellidos: Nombre:
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO () Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: CURSO 05 Instrucciones: a) Duración: HORA y 0 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2015 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 05 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, modelo del 05 [ 5 puntos] Sea f : R R la función dada por f(x) = ax 3 + bx + cx + d Halla
Más detalles