Estadística Aplicada a las ciencias Sociales Examen Febrero de 2008 segunda semana
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- José Ignacio Suárez Medina
- hace 5 años
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1 Estadística Aplicada a las ciecias Sociales Exame Febrero de 008 seguda semaa Ejercicio 1.- E la siguiete tabla, se tiee el úmero de alumos de educació de adultos matriculados e el curso graduado escolar e u Muicipio para el curso 005/006, por grupos de edad y modalidad de la eseñaza segú los horarios escogidos. Edad Itesiva Extesiva De 18 a De 0 a De 5 a De 35 a De 45 a Más de TOTAL Calcule la edad media y la desviació típica de los alumos de la modalidad itesiva y la mediaa de la distribució de la modalidad extesiva. Ejercicio.- E ua empresa la media de años de atigüedad de los 895 empleados, es de 11 años y la desviació típica de 3,1. Supoiedo que la distribució de años de atigüedad fuera ua distribució ormal calcule: a) A cuatas uidades de desviació típica se ecuetra u trabajador que lleva años e la empresa, respecto a la media del colectivo? b) Qué úmero de trabajadores lleva meos de diez años e la empresa? c) Cuál será el límite iferior de atigüedad para los 300 trabajadores que lleva más años e la empresa? Ejercicio 3.- Ua empresa tiee tres departametos A, B y C, co 0, 7 y 1 trabajadores respectivamete. Para orgaizar los turos de vacacioes decidimos seleccioar al azar, sucesivamete y si reposició, a tres trabajadores etre los 39 de la empresa, calcule: a) La probabilidad de que el primer seleccioado perteezca al departameto C b) La probabilidad de que el segudo perteezca al departameto B. c) La probabilidad de que el tercero o perteezca al departameto A. Ejercicio 4.- U Istituto de Ivestigació debe realizar u ecuesta para coocer la opiió de las mujeres sobre el tratamieto iformativo de la violecia de géero. Para ello toma como uiverso poblacioal al cojuto de las mujeres españolas de 18 ó más años. Qué tamaño muestral sería ecesario utilizar si el máximo error muestral permitido es del 5%, para u ivel de cofiaza del 95,5% y cosiderado pq50%?
2 SOLUCIONES Ejercicio 1. Dada la tabla de la distribució de las edades de los matriculados e el curso de graduado escolar e la modalidad itesiva, calcularemos la edad media mediate la fórmula: xii i x 1 Como los datos está agrupados e categorías por grupos de edad, hallaremos e primer lugar las marcas de clase o putos medios de cada itervalo que represetará a cada grupo de edad e los cálculos. Para cada itervalo procedemos tomado el límite iferior del itervalo, sumado el límite iferior del siguiete y dividiedo por dos: Grupos de Edad Itesiva Marca de clase Xc De 18 a De 0 a 4,5 00 De 5 a De 35 a De 45 a Más de TOTAL 733 A cotiuació multiplicamos la marca de clase de cada itervalo por la frecuecia para obteer después el sumatorio de los productos: x Xc i x i * i , Total x i i i 1 8,78 Coocida la media podemos calcular la variaza o suma al cuadrado de las desviacioes a la media, ayudádoos de la siguiete tabla:
3 Edad Itesiva Xc media (x i -media) (x i -media) (x i -media) * i De 18 a ,779-9, , ,01449 De 0 a 4 00,5 8,779-6, , ,14415 De 5 a ,779 1, , , De 35 a ,779 11, , ,684 De 45 a ,779 1, , ,3107 Más de ,779 31, , ,76869 TOTAL ,19645 V ( x x) 743, i i i 1 N 101,7 La desviació típica será etoces: S V 101,7 10,0634 Para obteer la mediaa de la distribució de edades de la modalidad extesiva procedemos a calcular las frecuecias acumuladas: Edad i N a De 18 a De 0 a De 5 a De 35 a De 45 a Más de TOTAL 431 Dividiedo por dos e úmero de casos (431/15,5) vemos que el úmero acumulado de la mitad de los casos está e el itervalo De 0 a 4 años y procedemos a calcular mediate la fórmula: Me N Li + N c i a 1 i Ejercicio. 3,91 Al tratarse de ua distribució ormal, utilizaremos la fórmula de las putuacioes tipificadas Z y las tablas de áreas bajo la curva ormal. a) Las putuacioes Z ormalizadas cosiste e expresar la diferecia etre u valor de la variable y la media de la distribució, medida e uidades de desviació típica. Podemos obteer el dato pedido directamete de la fórmula:
4 x x 11,90 S 3,1 Z i b) Calcularemos primero el úmero de uidades Z que existe etre los 10 años y la media xi x Z 0,3 S 3,1 Cosultado las tabla de la curva ormal obteemos la proporció de casos que hay etre ese valor y la media (obviado el sigo, ya que la curva es simétrica y las tablas se refiere sólo a los valores positivos de Z) 0,155 o el 1,55% Pero como se pide hallar la proporció de casos co MENOS de 10 años, sabiedo que la tabla represeta el 50% de los casos restaremos el valor obteido para hallar la proporció de casos por debajo de 10: 0,5-0,1550,3745 Vemos que el 37,45% de los casos está por debajo de los 10 años de atigüedad, que expresado e úmero de trabajadores será el 37,45% de los 895 empleados, es decir 335. c) Para hallar el límite iferior de años de atigüedad de los 300 trabajadores que leva más años e la empresa comezaremos por calcular la proporció que supoe los 300 trabajadores sobre el cojuto de la empresa: 300 0, Como el área que proporcioa las tablas se refiere al valor acumulado etre la media y u puto, debemos restar 0,5-0,3350,1648 Cosultado las tablas de la curva ormal, obteemos el valor Z correspodiete a esa proporció: aproximadamete Z0,45 Coocido Z, podemos despejar x i de la fórmula: xi x Z S x i Z S + x 0,45 3, ,31 podemos asegurar etoces que los 300 trabajadores co mayor atigüedad, supera los 1 años. Ejercicio 3. Al tratarse de seleccioes al azar sucesivas y si reposició, calcularemos las probabilidades de la siguiete maera:
5 a) La probabilidad de que al extraer u trabajador perteezca al departameto C será igual al úmero de trabajadores de ese departameto dividido por e cojuto de los trabajadores de la empresa: Casos e el Dpto. C 1 p 0,31 Total de trabajadores 39 b) Para hallar la probabilidad de que el segudo trabajador perteezca al departameto B, al haber seleccioado ya u trabajador si reposició, se deberá teer e cueta que el úmero de trabajadores se ha miorado e ua uidad. Podemos platear que hay dos posibilidades: que el primer seleccioado fuera de B y que o fuera de B (que fuera de A o de C). Calcularíamos etoces la probabilidad de que e la primera extracció hubiera sido de B y que la seguda tambié. Al ser sucesos idepedietes, se trata de u producto de probabilidades: 7 6 P ( B & B') P( B)* P( B') * 0,1795*0,1579 0, La probabilidad de que el segudo fuera de B o habiedo sido e primero B (que fuera de A o C) sería 7 3 P ( B)* P( B') * 0,1795*0,841 0, Como el suceso se puede verificar de ambas formas, la probabilidad de que ocurra será la suma de las probabilidades: P ( B & B') + P( B & B') 0, , ,17948 Como podemos ver, al ser sucesos idepedietes, obteemos el mismo resultado que si hubiéramos calculado directamete Casos e el Dpto. B p Total de trabajadores ,17948 c) La probabilidad de seleccioar a u tercer trabajador que o perteezca al Dpto. A, sigifica que deberá perteecer a los departametos B o C. Como e el caso aterior, idepedietemete de lo que hubiera sucedido ates, podemos evitar el cálculo de las cuatro posibilidades de ocurrecia diferetes del suceso y calcular directamete: Casos e los Dptos. B y C p Total de trabajadores (7 + 1) ,48718
6 Ejercicio 4. Al tratarse de ua població mayor de utilizaremos la fórmula del tamaño muestral para poblacioes ifiitas: Tomado p q 0,5, cosiderado que el ivel de cofiaza del 95,5% se correspode aproximadamete co u Z y que el error permitido e forma de proporció será e 0,05 Z pq e 0,5 0, ,05
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