Series alternadas. n n. Es decir sus términos son alternadamente positivos y negativos. Se analiza su comportamiento utilizando el siguiente teorema:
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- Francisca Bustamante Gil
- hace 5 años
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1 So series de la forma Series alteradas + ( ) a o ( ) a co a > = =. Es decir sus térmios so alteradamete positivos y egativos. Se aaliza su comportamieto utilizado el siguiete teorema: Teorema de Leibiz Si ua serie alterada ( + ( ) a o ( ) a co a > = = ) es tal que a > a+ N y lima = etoces la serie coverge (su suma es positiva y o supera el primer térmio) Ejemplos: ) = ( ) + Como lim = + coverge. (o se cumple ua de las hipótesis) la serie o ) ( ) (armóica alterada) = lim = a a+ > N pues se cumple: > + > + Por lo tato la serie ( ) es covergete = 3) Ejercicio: Dada la serie + ( ) comprobar que es covergete. = Teorema Si la serie co térmios positivos y egativos es tal que la serie compuesta de los valores absolutos de sus térmios coverge etoces la serie dada tambié coverge
2 E símbolos: a coverge acoverge = = Se utilizará para las series alteradas (caso particular de las series co térmios positivos y egativos). Eiste series co térmios positivos y egativos que coverge mietras que las series de los valores absolutos de sus térmios diverge. Por eso se itroduce las ocioes de covergecia absoluta y codicioal. Defiicioes: ) La serie a es absolutamete covergete si la serie = covergete a es = Ejemplo: = ( ) + 3 Cosiderado la serie e valor absoluto geométrica de razó q = /3, covergete. Por lo tato la serie aterior se sabe que teorema de Leibiz) + ( ) = = = la cual es ( ) es absolutamete covergete (por el teorema = 3 + ( ) es covergete, si ecesidad de aplicar el = 3 Observació: al cosiderar la serie de los valores absolutos de los térmios resulta ua serie de térmios positivos por lo tato so aplicables los criterios de Comparació, D Alambert, Cauchy, Raabe para aalizarlas. ) Si la serie a coverge y la serie = a se llama codicioalmete covergete. = a diverge etoces la serie = Ejemplo: ( ) es covergete (aalizada ateriormete) y la serie = ( ) = diverge (armóica) etoces ( ) es codicioalmete = = = covergete
3 Series de fucioes. Series de potecias Ua serie se llama serie de fucioes si sus térmios so fucioes de. So de la forma a ( ) + a( ) + a3( ) +... Dado a determiados valores uméricos, obteemos diferetes series uméricas que puede ser tato covergetes como divergetes. El cojuto de valores de, para los cuales la serie coverge se llama domiio de covergecia de la serie. E el domiio de covergecia de ua serie de fucioes su suma es cierta fució: f(). Ejemplo: ) La serie de fucioes = = = Si = se obtiee la serie umérica q= ½) Si = 4 se obtiee la serie umérica q=) geométrica covergete (razó = = geométrica divergete. (razó ) Cosideremos la serie geométrica e la que a = y q =, la cual es, = por lo visto para series geométricas esta serie coverge si < y su suma es. Por lo tato dicha serie de fucioes domiio es el itervalo abierto (-, ) Serie de potecias defie la fució f() = = cuyo Se llama serie de potecias e a ua serie de fucioes de la forma: = = a a a a Se llama serie de potecias e ( a) a ua serie de fucioes de la forma
4 + ( ) + ( ) +... = a ( ) a = a a a a a Observació: Por coveiecia, al escribir el térmio geeral se cosidera (-a) =, aú cuado = a. Teorema Si la serie de potecias a es covergete para = ( = ) etoces es absolutamete covergete para todos los valores de para los cuales < Teorema Si la serie de potecias a es divergete para = etoces es = divergete para todos los valores de para los cuales > Ejemplo: + Supogamos que os iforma que la serie de potecias: ( ) covergete e el itervalo ( 3/, 3/ ]. es 3 Como es covergete para = 3/ es absolutamete covergete para todos 3 los valores de para los cuales < (teorema ) Como la serie es divergete para = -3/ tambié lo es para todos los valores 3 de para los cuales > (teorema ) Observació: Estos teoremas permite juzgar sobre la disposició de los putos de covergecia y divergecia de ua serie de potecias. Si es puto de covergecia etoces todos los putos del itervalo, so putos de covergecia absoluta. ( ) Si es puto de divergecia etoces el cojuto ( ) =, (, + ) so putos de divergecia. Esto permite cocluir que eiste u úmero R tal que para < R teemos los putos de covergecia y para > R los putos de divergecia. Teorema 3 El domiio de covergecia de ua serie de potecias de la forma u itervalo co cetro e el orige de coordeadas, de la forma (-R. R) llamádose R radio de covergecia. a es =
5 E los etremos del itervalo = R y = -R la cuestió de la covergecia o divergecia de cada serie cocreta (serie umérica) se resuelve idividualmete. E alguas series el itervalo de covergecia se reduce a u puto (R = ) y e otras abarca todo el eje ( R ifiito). Diverge ( ) -R R c o v e r g e Diverge Determiació del radio de covergecia Sea la serie de potecias valores absolutos de sus térmios ( a y cosideremos la serie formada por los = a ). = Para determiar la covergecia de esta última serie (de térmios positivos) aplicamos el criterio de D Alambert. Supogamos que eiste el límite: lim a a = = L lim a a Por lo tato, segú el criterio de D Alambert, la serie: ) coverge si ) diverge si L L < < L > > L Luego el itervalo de covergecia absoluta es (-R, R) siedo a R = lim + y L= L a De maera semejate, para determiar el itervalo de covergecia se puede aplicar el criterio de Cauchy, etoces: R = y L= lim a L Observació: Si L = etoces el radio es ifiito (coverge para todo ) Si L es ifiito etoces el radio es cero (coverge e su cetro)
6 Ejemplos: ) = = = lim + = lim = = L R = + Si = etoces diverge (armóica) Si = - etoces ( ) coverge (aplicado Leibiz) (armóica alterada) Etoces el itervalo de covergecia o domiio de covergecia es: [,) ) =! ( + )! lim = lim + =+ R= coverge e =! 3) = ( ) ( + )! ( + )!! lim = lim = lim = R= coverge ( + )! +! 4) = o + + ( + ) + lim = lim = R= + ( + ) + Si = etoces comparada co = + covergete, resulta covergete Si =- etoces ( ) es covergete ( porque la serie de valores absolutos coverge) Do mi io ; + = [ ]
7 Serie de potecias de la forma = a ( a) Esta serie covergerá para todos los valores de que satisfaga a < R o a R< < a+ R. Será divergete para todos los que satisfaga a > R E los etremos = a-r y = a+r se efectúa el aálisis idividualmete, Todas las propiedades de la serie de potecias e e el iterior de su itervalo de covergecia se coserva para ua serie de potecias e (-a) Ejemplo Dada la serie de potecias covergecia. ( ) ( 3) hallar su domiio de 4 = E primer lugar cosiderar que el cetro es = 3/ pues: ( ) ( 3) ( ) ( 3/ ) ( ) ( 3/ ) = = 4 4 = = = El radio se calcula de igual forma: + ( ) + + lim = / R = ( ) Luego si el cetro es 3/ y el radio los etremos del itervalo so = -/ y = 7/ Efectuado el aálisis e cada etremo: Si = -/ Si = 7/ Leibiz) etoces etoces es divergete por ser serie p co p< = ( ) es covergete (aalizada por el Teorema de = Por lo tato el domiio o itervalo de covergecia es ( /, 7 / ]
8 So series de la forma Series alteradas + ( ) a o ( ) a co a > = =. Es decir sus térmios so alteradamete positivos y egativos. Se aaliza su comportamieto utilizado el siguiete teorema: Teorema de Leibiz Si ua serie alterada ( + ( ) a o ( ) a co a > = = ) es tal que a > a+ N y lima = etoces la serie coverge (su suma es positiva y o supera el primer térmio) Ejemplos: ) = ( ) + Como lim = + coverge. (o se cumple ua de las hipótesis) la serie o ) ( ) (armóica alterada) = lim = a a+ > N pues se cumple: > + > + Por lo tato la serie ( ) es covergete = 3) Ejercicio: Dada la serie + ( ) comprobar que es covergete. = Teorema Si la serie co térmios positivos y egativos es tal que la serie compuesta de los valores absolutos de sus térmios coverge etoces la serie dada tambié coverge
9 E símbolos: a coverge acoverge = = Se utilizará para las series alteradas (caso particular de las series co térmios positivos y egativos). Eiste series co térmios positivos y egativos que coverge mietras que las series de los valores absolutos de sus térmios diverge. Por eso se itroduce las ocioes de covergecia absoluta y codicioal. Defiicioes: ) La serie a es absolutamete covergete si la serie = covergete a es = Ejemplo: = ( ) + 3 Cosiderado la serie e valor absoluto geométrica de razó q = /3, covergete. Por lo tato la serie aterior se sabe que teorema de Leibiz) + ( ) = = = la cual es ( ) es absolutamete covergete (por el teorema = 3 + ( ) es covergete, si ecesidad de aplicar el = 3 Observació: al cosiderar la serie de los valores absolutos de los térmios resulta ua serie de térmios positivos por lo tato so aplicables los criterios de Comparació, D Alambert, Cauchy, Raabe para aalizarlas. ) Si la serie a coverge y la serie = a se llama codicioalmete covergete. = a diverge etoces la serie = Ejemplo: ( ) es covergete (aalizada ateriormete) y la serie = ( ) = diverge (armóica) etoces ( ) es codicioalmete = = = covergete
10 Series de fucioes. Series de potecias Ua serie se llama serie de fucioes si sus térmios so fucioes de. So de la forma a ( ) + a( ) + a3( ) +... Dado a determiados valores uméricos, obteemos diferetes series uméricas que puede ser tato covergetes como divergetes. El cojuto de valores de, para los cuales la serie coverge se llama domiio de covergecia de la serie. E el domiio de covergecia de ua serie de fucioes su suma es cierta fució: f(). Ejemplo: ) La serie de fucioes = = = Si = se obtiee la serie umérica q= ½) Si = 4 se obtiee la serie umérica q=) geométrica covergete (razó = = geométrica divergete. (razó ) Cosideremos la serie geométrica e la que a = y q =, la cual es, = por lo visto para series geométricas esta serie coverge si < y su suma es. Por lo tato dicha serie de fucioes domiio es el itervalo abierto (-, ) Serie de potecias defie la fució f() = = cuyo Se llama serie de potecias e a ua serie de fucioes de la forma: = = a a a a Se llama serie de potecias e ( a) a ua serie de fucioes de la forma
11 + ( ) + ( ) +... = a ( ) a = a a a a a Observació: Por coveiecia, al escribir el térmio geeral se cosidera (-a) =, aú cuado = a. Teorema Si la serie de potecias a es covergete para = ( = ) etoces es absolutamete covergete para todos los valores de para los cuales < Teorema Si la serie de potecias a es divergete para = etoces es = divergete para todos los valores de para los cuales > Ejemplo: + Supogamos que os iforma que la serie de potecias: ( ) covergete e el itervalo ( 3/, 3/ ]. es 3 Como es covergete para = 3/ es absolutamete covergete para todos 3 los valores de para los cuales < (teorema ) Como la serie es divergete para = -3/ tambié lo es para todos los valores 3 de para los cuales > (teorema ) Observació: Estos teoremas permite juzgar sobre la disposició de los putos de covergecia y divergecia de ua serie de potecias. Si es puto de covergecia etoces todos los putos del itervalo, so putos de covergecia absoluta. ( ) Si es puto de divergecia etoces el cojuto ( ) =, (, + ) so putos de divergecia. Esto permite cocluir que eiste u úmero R tal que para < R teemos los putos de covergecia y para > R los putos de divergecia. Teorema 3 El domiio de covergecia de ua serie de potecias de la forma u itervalo co cetro e el orige de coordeadas, de la forma (-R. R) llamádose R radio de covergecia. a es =
12 E los etremos del itervalo = R y = -R la cuestió de la covergecia o divergecia de cada serie cocreta (serie umérica) se resuelve idividualmete. E alguas series el itervalo de covergecia se reduce a u puto (R = ) y e otras abarca todo el eje ( R ifiito). Diverge ( ) -R R c o v e r g e Diverge Determiació del radio de covergecia Sea la serie de potecias valores absolutos de sus térmios ( a y cosideremos la serie formada por los = a ). = Para determiar la covergecia de esta última serie (de térmios positivos) aplicamos el criterio de D Alambert. Supogamos que eiste el límite: lim a a = = L lim a a Por lo tato, segú el criterio de D Alambert, la serie: ) coverge si ) diverge si L L < < L > > L Luego el itervalo de covergecia absoluta es (-R, R) siedo a R = lim + y L= L a De maera semejate, para determiar el itervalo de covergecia se puede aplicar el criterio de Cauchy, etoces: R = y L= lim a L Observació: Si L = etoces el radio es ifiito (coverge para todo ) Si L es ifiito etoces el radio es cero (coverge e su cetro)
13 Ejemplos: ) = = = lim + = lim = = L R = + Si = etoces diverge (armóica) Si = - etoces ( ) coverge (aplicado Leibiz) (armóica alterada) Etoces el itervalo de covergecia o domiio de covergecia es: [,) ) =! ( + )! lim = lim + =+ R= coverge e =! 3) = ( ) ( + )! ( + )! (+ )! lim = lim = lim = R= coverge ( + )! + (+ )! 4) = o + + ( + ) + lim = lim = R= + ( + ) + Si = etoces comparada co = + covergete, resulta covergete Si =- etoces ( ) es covergete ( porque la serie de valores absolutos coverge) Do mi io ; + = [ ]
14 Serie de potecias de la forma = a ( a) Esta serie covergerá para todos los valores de que satisfaga a < R o a R< < a+ R. Será divergete para todos los que satisfaga a > R E los etremos = a-r y = a+r se efectúa el aálisis idividualmete, Todas las propiedades de la serie de potecias e e el iterior de su itervalo de covergecia se coserva para ua serie de potecias e (-a) Ejemplo Dada la serie de potecias covergecia. ( ) ( 3) hallar su domiio de 4 = E primer lugar cosiderar que el cetro es = 3/ pues: ( ) ( 3) ( ) ( 3/ ) ( ) ( 3/ ) = = 4 4 = = = El radio se calcula de igual forma: + ( ) + + lim = / R = ( ) Luego si el cetro es 3/ y el radio los etremos del itervalo so = -/ y = 7/ Efectuado el aálisis e cada etremo: Si = -/ Si = 7/ Leibiz) etoces etoces es divergete por ser serie p co p< = ( ) es covergete (aalizada por el Teorema de = Por lo tato el domiio o itervalo de covergecia es ( /, 7 / ]
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