Series de funciones e integral de Lebesgue Curso 14/15 Grupo A

Transcripción

1 Curso 14/15 Grupo A Frncisco José Freniche Ibáñez Modificdo el 16 de octubre de 2014 Primer prte 1. Sucesiones y series de funciones Se estudin propieddes de funciones f definids como límites o sums de series de otrs funciones: f(x) = lím f n(x) o f(x) = f n (x) n 1.1. Límite y sum puntul Se (f n ) un sucesión de funciones reles definids en D R. Es decir, pr cd n N, f n es un función f n : D R. [Formlmente: es un función definid en N con vlores en el conjunto de tods ls funciones reles definids en D]. Pr cd x D, l sucesión numéric (f n (x)) puede converger o no. Se consider A D tl que (f n (x)) converge pr todo x A. L función f : A R definid por f(x) = lím n f n(x) es el límite puntul en A de l sucesión (f n ). Tmbién se dice que (f n ) converge puntulmente f en A y se escribe f n f punt. en A. De igul form, pr cd x D, l serie numéric f n(x) puede converger o no. Se consider B D tl que f n(x) converge pr todo x B. L función g : B R definid por g(x) = f n (x) es l sum puntul en B de l serie de funciones f n. Tmbién se dice que f n converge puntulmente g en B y se escribe g = f n punt. en B. Ejemplos: l convergenci puntul no conserv ls propieddes de continuidd, derivbilidd o integrbilidd. 1

2 1.2. Límite uniforme Se (f n ) un sucesión de funciones reles definids en D R y se A D. Se dice que l sucesión (f n ) converge uniformemente en A l función f : A R si pr todo ε > 0 existe n 0 tl que si n n 0 entonces f n (x) f(x) ε, pr todo x A (n 0 es el mismo pr todos los x). Tmbién se dice que f es el límite uniforme de (f n ) en A y se escribe f n f unif. en A. L relción entre los dos tipos de convergenci l d el siguiente resultdo: Teorem. Si f n f unif. en A entonces f n f punt. en A. Es decir, l convergenci uniforme implic l convergenci puntul y l función límite uniforme coincide con l función límite puntul. No se d l equivlenci: x n 0 punt. en (0, 1) pero no unif. Un criterio práctico de convergenci uniforme: Teorem. f n f unif. en A si y sólo si existe un sucesión numéric (b n ) tl que b n 0 y f n (x) f(x) b n pr todo x A Observr que l mejor sucesión que se podrí poner en el teorem es b n = sup{ f n (x) f(x) : x A}. De igul form, se dice que l serie de funciones f n converge uniformemente f en A y se escribe f = f n unif. en A, cundo l sucesión de sums prciles S n = n f k converge uniformemente f en A. Teorem (Condición necesri). Si l serie f n converge unif. en A entonces l sucesión f n 0 unif. en A Criterio myornte de Weierstrss Teorem (Criterio de Cuchy pr sucesiones). L sucesión de funciones (f n ) converge uniformemente en A si y sólo si es uniformemente de Cuchy en A, es decir, pr todo ε > 0 existe n 0 tl que si m, n n 0 entonces f m (x) f n (x) ε, pr todo x A Teorem (Criterio de Cuchy pr series). L serie de funciones f n converge uniformemente en A si y sólo si m pr todo ε > 0 existe n 0 tl que si m > n n 0 entonces f k (x) ε, pr todo x A k=n+1 El criterio que se utiliz en l práctic es el criterio M de Weierstrss: Teorem (Criterio myornte de Weierstrss). Si existe un sucesión de números reles b n tl que f n (x) b n pr todo n y todo x A, y l serie numéric b n converge, entonces l serie de funciones converge uniformemente en A. f n 2

3 1.4. Intercmbio de límites L convergenci uniforme es condición suficiente pr el intercmbio de límites: ( ) ( ) lím lím f n(x) = lím lím f n(x) x n n x como se ve en el siguiente teorem: Teorem. Se f el límite uniforme de (f n ) en A y se A. ( ) 1. Si existe lím f n (x) pr todo n entonces existe lím f(x) y es igul lím lím f x x n(x). n x 2. Si demás A y f n es continu en pr todo n entonces f es continu en Derivción e integrción de límites Tmbién, bjo cierts hipótesis, se pueden intercmbir límites con derivds y con integrles ( ) lím f n(x) = lím f n n n(x) como vemos en los siguientes teorems: b ( ) lím f n(x) n dx = lím n b f n (x) dx Teorem. Sen, b R, < b. Se f el límite puntul de (f n ) en [, b]. Si f n es derivble en en [, b] pr todo n y l sucesión de derivds f n converge uniformemente en [, b] entonces f es derivble en [, b] y f (x) = lím n f n(x) Teorem. Sen, b R, < b. Se f el límite uniforme de (f n ) en [, b]. Si f n es integrble Riemnn en [, b] pr todo n entonces f es integrble Riemnn en [, b] y b f(x) dx = lím n b f n (x) dx Los tres teorems nteriores sobre continuidd, derivbilidd e integrción se plicn ls series de funciones, con ls hipótesis correspondientes sobre S n o S n. En prticulr, se tienen: L sum uniforme de funciones continus es continu. ( Derivción término término f n (x)) = f n(x) Integrción término término b ( ) f n (x) dx = b f n (x) dx 3

4 2. Series de potencis 2.1. Rdio de convergenci. Un serie de potencis es un serie de funciones en R de l form n (x ) n = (x ) + 2 (x ) siendo n, R. Los n son los coeficientes y es el centro. El rdio de convergenci se define como 1 R = n lím sup n n (fórmul de Hdmrd) donde se conviene que 1/(+ ) = 0, 1/0 = +. El rdio de convergenci sólo depende del vlor bsoluto de los coeficientes y no depende del centro. Teorem (Intervlo de convergenci). Si l serie de potencis n(x ) n tiene rdio de convergenci R > 0, se cumplen: Si x < R entonces n(x ) n converge (bsolutmente). Si x > R entonces n(x ) n no converge. Por tnto, si R > 0, lrededor de cd centro qued definid un función, l sum de l serie de potencis f(x) = n (x ) n que es convergente l menos en el intervlo bierto ( R, + R), el cul se llm intervlo de convergenci. Si R = + se entiende que x < R se d pr todo x R y que por tnto el intervlo de convergenci es R. Si R R y R > 0, en los extremos del intervlo hy uns series que convergen y otrs que no. Teorem. L serie de potencis converge uniformemente en cd intervlo [ r, +r], pr todo 0 < r < R. Teorem. L función f sum de l serie de potencis n(x ) n con rdio de convergenci R > 0 tiene derivds de todos los órdenes en el intervlo de convergenci y ésts se clculn derivndo l serie término término: f (k) (x) = n(n 1)... (n k + 1) n (x ) n k (ests series de potencis tienen el mismo rdio de convergenci que l de prtid). En prticulr, n = f (n) () pr todo n 0. Luego l función sum determin los coeficientes de l n! serie. Ejemplos. L serie geométric x n tiene rdio de convergenci R = 1. Su sum es l función 1/(1 x). L serie x n n! tiene rdio de convergenci R = +. Su sum es l función exponencil ex. 4

5 2.2. Serie de Tylor Dd un función que tiene derivds de todos los órdenes en, se define su serie de Tylor en como l serie de potencis f (n) () (x ) n n! L serie de Tylor de f en es l únic serie de potencis centrd en cuy sum puede ser f en un entorno de. Ejemplos. () L función f(x) = e 1/x2 si x 0, f(0) = 0, tiene derivds de todos los órdenes en R, su serie de Tylor en el origen tiene rdio de convergenci infinito, pero su sum sólo coincide con l función en el origen. (b) L función f(x) = 1/(1 + x 2 ) tiene como serie de Tylor en el origen ( 1) n x 2n cuyo rdio de convergenci es 1. Su sum coincide con l función en el intervlo ( 1, 1). Funciones elementles. Son válids, pr todo x R, e x = x n n! sen x = ( 1) n x2n+1 (2n + 1)! cos x = ( 1) n x2n (2n)! senh x = x 2n+1 (2n + 1)! cosh x = x 2n (2n)! Si x está en el intervlo ( 1, 1) se cumplen log(1 + x) = ( 1) n 1 xn donde pr α R el número combintorio es 2.3. Funciones nlítics n rctn x = ( 1) n x2n+1 2n + 1 ( ) α α(α 1)... (α n + 1) = n n! (1 + x) α = si n N, ( ) α x n n ( ) α 0 Un función f definid en un bierto A R es nlític en A cundo pr todo A existen δ > 0 y un serie de potencis tl que f(x) = n(x ) n pr todo x ( δ, + δ). Teorem. Se f definid en un bierto A R, que tiene derivds de todos los órdenes en A. Si existen constntes C, M > 0 tles que f (n) (x) CM n n! pr todos x A, n 0 entonces f es nlític en A. Se cumplen: 1. Ls funciones nlítics tienen derivds de todos los órdenes y l serie que prece en l definición es l serie de Tylor. 2. Ls funciones que son sums de series de potencis con rdio de convergenci R > 0 son funciones nlítics en su intervlo de convergenci. 3. Ls funciones elementles son nlítics. 4. Hy funciones que tienen derivds de todos los órdenes que no son nlítics. = 1. 5

6 2.4. Comportmiento en los extremos Teorem (Teorem de Abel). Si R (0, + ) y en el extremo R hy convergenci, es decir, converge n R n, entonces l serie converge uniformemente en [0, R] y l sum es continu en ( R, R]. En prticulr, lím x R n x n = n R n Como consecuenci, en x = 1, pr l función log(1 + x) se obtiene log 2 = rctn x se obtiene π 4 = 2.5. Aplicciones ( 1) n 2n + 1. ( 1) n 1 y pr l función n A l sum de series. Por ejemplo, nk x n, k N, se pueden clculr derivndo l serie geométric. Se λ R, se α = λ y se f un función dos veces derivble en R que stisfce Entonces: f (x) + λf(x) = 0 pr todo x R Si λ > 0 entonces existen, b R tles que f(x) = cos αx + b sen αx. Si λ < 0 entonces existen, b R tles que f(x) = e αx + be αx. Si λ = 0 entonces existen, b R tles que f(x) = + bx. Segund prte 3. Medid de Lebesgue en l rect rel Sólo vemos un esquem de l construcción de l medid de Lebesgue en l rect (en l signtur IFVV de segundo cutrimestre se desrroll completmente) Medid o longitud de intervlos Sen, b R, b. El intervlo cerrdo de extremos y b es el conjunto de x R tles que x b. El intervlo bierto se define con ls dos desigulddes estricts (puede ser vcío). Y, en generl, un intervlo en R se define de mner nálog poniendo ls desigulddes estricts o no, rbitrrimente. Un intervlo es degenerdo si = b. L longitud de un intervlo I (cotdo) de extremos y b se define como long(i) = b (no depende de que ls desigulddes sen estricts o no). Es degenerdo si y sólo si su longitud es cero. 6

7 3.2. Medid de un bierto Lem. Todo conjunto bierto no vcío es unión numerble de intervlos cotdos dos dos disjuntos, con cierre dentro del bierto. En prticulr, todo conjunto bierto es unión numerble creciente de conjuntos compctos. Nots: Si s, t [, + ] se definen de form nturl s t, s + t y s t (excluyendo (+ ) (+ ), ( ) ( ) y (+ ) + ( )). Si s k [0, + ] y lguno de ellos es +, l sum de l serie s k se define como +. Si S [0, + ] se define ínf S = + si S = {+ } e ínf S = ínf(s [0, + )) en otro cso. Definición. Se G R n bierto. Si (I k ) es un fmili de intervlos dos dos disjuntos tles que G = I k, se define l medid de G como m(g) = long(i k). Medid exterior de Lebesgue. Si A R n l medid exterior de Lebesgue de A se define como m (A) = ínf {m(g) : A G, G es bierto}. Teorem. L función m : P(R) [0, + ] es un medid exterior en R, es decir: m ( ) = 0. Si A B, entonces m (A) m (B) (monotoní). Si (A k ) es un sucesión de prtes de, entonces m ( A k) m (A k ) (subditividd). Pr los intervlos coincide con l longitud y pr los conjuntos biertos coincide con l medid. Definición. Se dice que A R es medible Lebesgue cundo pr todo ε > 0 existen F cerrdo y G bierto tles que F A G y m(g \ F ) < ε. Teorem. L fmili M formd por todos los subconjuntos de R que son medibles Lebesgue es un σ- álgebr de prtes de R, es decir,, R pertenecen M. Si A M entonces R \ A M. Si (A k ) es un sucesión en M entonces A k M. M contiene los intervlos y los conjuntos con medid exterior cero. Teorem. L restricción m : M [0, + ] de l medid exterior de Lebesgue m l σ-álgebr de los conjuntos medibles Lebesgue es un medid positiv, l medid de Lebesgue en l rect (longitud). Es decir, se cumplen: m( ) = 0. Si (A k ) en M es de conjuntos dos dos disjuntos, entonces m( A k) = m(a k) (ditividd). Teorem. L medid de Lebesgue es complet, es decir, si m(a) = 0 y B A entonces B es medible Lebesgue y m(b) = 0. Teorem (Teorem de estructur). Se A R. A es medible Lebesgue si y sólo si A = B \ C con B un G δ (intersección numerble de biertos) y m(c) = 0, y si y sólo si A = B C con B un F σ (unión numerble de cerrdos) y m(c) = 0. Ejemplos: 1. En R los conjuntos numerbles tienen medid nul. 2. El conjunto de Cntor no es numerble pero tiene medid nul. 7

8 3.3. Invrinci de l medid de Lebesgue Teorem. L medid de Lebesgue es invrinte por trslciones, es decir, x + A es medible y m(x + A) = m(a) pr todo A medible y todo x R. Ejemplo: Existen conjuntos no medibles Lebesgue. 4. Medids positivs e integrl de funciones medibles 4.1. Medids positivs y conjuntos medibles Conjuntos medibles. Se un conjunto. Un σ-álgebr de prtes de es un fmili M de subconjuntos de tl que:, pertenecen M. Si A M entonces \ A M. Si (A k ) es un sucesión en M entonces A k M. Los elementos de M se llmn conjuntos medibles y el pr (, M) se llm espcio medible. Ejemplos: l fmili de tods ls prtes de es un σ-álgebr. L fmili de tods ls prtes numerbles o de complemento numerble tmbién lo es. En R, l fmili de conjuntos medibles Lebesgue es un σ-álgebr. Propieddes. Se M un σ-álgebr de prtes de. Se cumplen: Si (A k ) es un sucesión en M entonces A k M. Si A, B M entonces A \ B M. Si (A k ) es un sucesión en M, entonces definiendo B 1 = A 1 y B k+1 = A k+1 \ ( j k A j), se tiene que B k M, A k = B k y B k B j = si k j (son dos dos disjuntos). L intersección de tods ls σ-álgebrs de que contienen un fmili dd es un σ-álgebr, l menor que l contiene. Se dice que es l σ-álgebr generd por es fmili. En R, l σ-álgebr B generd por l topologí euclíde recibe el nombre de σ-álgebr de Borel. Sus elementos se llmn borelinos. Entre ellos figurn los F σ y los G δ. Todo conjunto de Borel de R es medible Lebesgue, pero existen conjuntos medibles Lebesgue que no son borelinos. Medids positivs. Ddo un espcio medible (, M), un función µ : M [0, + ] es un medid positiv si cumple: µ( ) = 0. Si (A k ) en M es de conjuntos dos dos disjuntos, entonces µ( A k) = µ(a k) (ditividd). L tern (, M, µ) se llm espcio de medid. Ejemplos: l medid crdinl µ(a) = #(A). L delt de Dirc en x: µ(a) = 1 ó 0 según x A ó x / A. Ambs son medids positivs en el conjunto de tods ls prtes. L medid de Lebesgue en l rect es el ejemplo más importnte. 8

9 Propieddes. Se (, M, µ) un espcio de medid. Se cumplen: Si A B son medibles, entonces µ(a) µ(b) (monotoní). Si (A k ) es un sucesión en M, entonces µ( A k) µ(a k) (subditividd). Si A B son medibles y µ(a) < entonces µ(b \ A) = µ(b) µ(a). Si (A k ) es un sucesión en M y A k A k+1, entonces µ( A k) = lím k µ(a k ). Si (A k ) es un sucesión en M, A k+1 A k y µ(a 1 ) < +, entonces µ( A k) = lím k µ(a k ) Integrl de funciones simples Si f : Y es un plicción entre dos conjuntos y D Y entonces [f D] representrá l imgen invers de D medinte f, es decir, [f D] = f 1 (D) = {x : f(x) D}. Se suele leer [f D] como el conjunto de puntos donde f está en D. Est notción se utiliz tmbién en cso de conjuntos definidos medinte vris igulddes o desigulddes. Se A. L función crcterístic de A es l función χ A : R definid por χ A (x) = 1 si x A y χ A (x) = 0 si x / A. Un función ϕ : R se dice simple cundo tom un número finito de vlores. Ls funciones simples formn un espcio vectoril: son ls combinciones lineles de ls funciones crcterístics. Definición. Se (, M) un espcio medible. Diremos que un función simple es medible cundo el conjunto [ϕ = ] es medible pr todo R. Proposición. Ls funciones simples medibles formn un espcio vectoril: son ls combinciones lineles de ls funciones crcterístics de conjuntos medibles. Definición. Se (, M, µ) un espcio de medid. Si ϕ es simple medible no negtiv, ϕ = n kχ Ak, con k 0 y A k M pr todo k, entonces l integrl de ϕ en se define como n ϕ dµ = k µ(a k ) (convenimos en que 0.(+ ) = 0 y que.(+ ) = + si > 0.). Tmbién se escribirá ϕ(x) dµ(x). L integrl es un elemento de [0, + ], pudiendo vler +. Lem. L definición de l integrl es independiente de l representción de ϕ como combinción linel. Lem. Sen ϕ y ψ funciones simples medibles no negtivs y α 0. Se cumple que (ϕ + ψ) dµ = ϕ dµ + ψ dµ y que (αϕ) dµ = α ϕ dµ. Si demás ψ ϕ entonces ψ dµ ϕ dµ. Definición. Si A M y ϕ 0 es simple medible, se define l integrl de ϕ sobre A como ϕ dµ = ϕχ A dµ. Se cumple que si ϕ = n kχ Ak, k 0 y A k M pr todo k, n ϕ dµ = k µ(a k A) A A 9

10 4.3. Funciones medibles Se consider fijdo un espcio medible (, M). Definición. Un función f : [, + ] se dice medible cundo [f < ] M pr todo R. Proposición. Dd f : [, + ], son equivlentes: f es medible. [f ] M pr todo R. [f ] M pr todo R. [f > ] M pr todo R. [f = ], [f = + ] y [ f < b] es medible, pr todos, b R, con < b. [f = ], [f = + ] y [f G] pr todo G R bierto, son conjuntos medibles. Si l función f sólo tom vlores reles, es decir f() R, f es medible si y sólo si [f G] M pr todo G R bierto. Pr ls funciones simples mbos conceptos de medibilidd son equivlentes. L medibilidd de un función depende de l σ-álgebr de prtes considerd en. Así, en R se hblrá de funciones medibles Borel y funciones medibles Lebesgue, según se considere l medibilidd en un sentido u otro. Ls funciones medibles Borel son tmbién medibles Lebesgue. Tod función continu o monóton f : R R es medible Borel. El mismo resultdo es cierto si f : A R R es continu y A es medible Borel, si se consider en A l σ-álgebr de los conjuntos de Borel contenidos en A. Teorem. Sen f, g : [, + ] funciones medibles y R. Los conjuntos [f < g + ], [f g] y [f = g] son medibles. Teorem. El límite puntul de un sucesión de funciones medibles es un función medible. Teorem. Tod función medible no negtiv f : [0, + ] es límite puntul de un sucesión monóton creciente de funciones simples medibles no negtivs. Si demás l función está cotd, se puede conseguir que l convergenci se uniforme. Teorem. Sen f, g : [0, + ] funciones medibles y α 0 rel. Ls funciones αf, f + g, y fg son medibles no negtivs. Definición. Se f : R. Ls funciones f + (x) = sup{f(x), 0} y f (x) = ínf{f(x), 0} se llmn funciones prte positiv y negtiv de f, respectivmente. Ls funciones f + y f son medibles no negtivs y cumplen f(x) = f + (x) f (x) y f(x) = f + (x) + f (x). Teorem. Tod función rel medible es límite puntul de un sucesión de funciones simples medibles. Si es cotd, se puede conseguir que l convergenci se uniforme. Teorem. Sen f, g : R funciones medibles y α R. Ls funciones αf, f + g, y fg son medibles. 10

11 4.4. Integrl de funciones medibles no negtivs Se consider un espcio de medid (, M, µ). Definición. Se f un función medible no negtiv. Se define l integrl de f en como { } f dµ = sup ϕ dµ : ϕ es simple medible y 0 ϕ f Si A M se define l integrl de f en A como A f dµ = fχ A dµ. Tmbién se escribirá f(x) dµ(x) y A f(x) dµ(x). L definición de integrl que cbmos de dr es coherente con l previ de integrl de funciones simples medibles no negtivs. L integrl de un función medible no negtiv pertenece [0, + ], pudiendo vler + como y señlmos l estudir l integrl de funciones simples. Teorem. Sen f, g medibles no negtivs y A, B M. Se cumplen: Si f g entonces f dµ g dµ. Si A B entonces A f dµ B f dµ. Si f(x) = 0 pr todo x A, o si µ(a) = 0, entonces A f dµ = 0. Si µ(b) = 0 entonces f dµ = \B f dµ. Definición. Sen f y g funciones definids en, no necesrimente medibles. Diremos que f(x) = g(x) en csi todo x cundo existe B M tl que µ(b) = 0 y f(x) = g(x) pr todo x \ B. Se (f k ) un sucesión de funciones definids en y se f otr función definid en, no necesrimente medibles. Diremos que f k converge f puntulmente en csi todo cundo existe B M tl que µ(b) = 0 y f k (x) f(x) pr todo x \ B. Y en generl, un propiedd reltiv los puntos de se cumple en csi todo cundo existe B M tl que µ(b) = 0 de modo que l propiedd l cumplen todos los puntos de \B. Tmbién pueden considerrse propieddes que se cumplen en csi todo A, siendo A medible, con un definición similr. Teorem. Si el espcio de medid es completo entonces: Si f = g en csi todo y f es medible, g tmbién lo es. Si f k f puntulmente en csi todo x y f k es rel y medible pr todo k, entonces f es medible. Teorem. Se f un función medible no negtiv y A M. (Desiguldd de Chebyshev) Pr todo > 0, µ([f ]) 1 Si A f dµ = 0 entonces f = 0 en csi todo A. Si A f dµ < + entonces f < + en csi todo A. f dµ. 11

12 4.5. Integrl de funciones con signo rbitrrio Continumos en el mrco de un espcio de medid (, M, µ). Definición. Se A M y se f : R un función medible. L integrl de f en A se define como A f dµ = A f + dµ A f dµ, cundo l menos un de ells se finit. L integrl está en [, + ]. Se dice que f es integrble en A cundo A f + dµ < + y A f dµ < +. En este cso, l integrl es un número rel, no ni +. Si f : R es medible no negtiv, f es integrble en A si y sólo si A f dµ < +. Teorem. Propieddes: Si f(x) = 0 pr todo x A, o si µ(a) = 0, entonces A f dµ = 0. Si f y g son integrbles y f g en csi todo, entonces f dµ g dµ. Si f y g son medibles y f = g en csi todo A, entonces f es integrble en A si y sólo si lo es g, y A f dµ = A g dµ. 5. Teorems de convergenci Continumos en el mrco de un espcio de medid (, M, µ) Teorem de convergenci monóton Lem. Se ϕ un función simple medible no negtiv. Se cumple que l función A A ϕ dµ es un medid positiv definid en M. Teorem (Teorem de l convergenci monóton de Lebesgue). Se (f k ) un sucesión de funciones medibles no negtivs tles que f k f k+1 pr todo k 1. Si f k f puntulmente en, entonces f dµ = lím f k dµ k Teorem. Propieddes de l integrl de funciones no negtivs: Linelidd: Si f y g son funciones medibles no negtivs, (f + g) dµ = f dµ + Si α [0, + ) entonces αf dµ = α f dµ. Integrción término término de series (Beppo-Levi): Si f = f k es l sum puntul de un serie de funciones medibles no negtivs, entonces f es medible no negtiv y f dµ = f k dµ. Aditividd: Si A es l unión de l sucesión (A k ) de medibles disjuntos dos dos y f es medible no negtiv, entonces A f dµ = A k f dµ. g dµ 12

13 5.2. Funciones integrbles Teorem. Un función rel medible f es integrble en A si y sólo está cotd en vlor bsoluto en A por un función integrble, si y sólo si su vlor bsoluto es integrble en A. Y se cumple A f dµ A f dµ. Teorem. Ls funciones reles medibles y cotds son integrbles en los conjuntos de medid finit. En prticulr, son integrbles ls funciones simples medibles que tomn sus vlores en conjuntos de medid finit. En R se hblrá de funciones integrbles Lebesgue (unque se trte de funciones medibles Borel) o, más brevemente, de funciones integrbles. Un función f : R R continu es integrble en culquier compcto. Teorem. Linelidd: Sen f y g funciones integrbles en A y sen α y β números reles. Entonces αf + βg es integrble en A y se cumple A (αf + βg) dµ = α A f dµ + β A g dµ. Aditividd: Si f es integrble en A y A es l unión de l sucesión (A k ) de medibles disjuntos dos dos, entonces A f dµ = A k f dµ. A l invers, si f es integrble en los A k y si A k f dµ converge, entonces f es integrble en A. Si A f dµ = 0 pr todo A M entonces f = 0 en csi todo Teorem de convergenci domind Lem (Lem de Ftou). Se (f k ) un sucesión de funciones medibles no negtivs. Se cumple que lím inf f k dµ lím inf f k dµ k k Teorem (Teorem de l convergenci domind de Lebesgue). Se (f k ) un sucesión de funciones reles medibles, puntulmente convergente en hci un función f, de modo que existe un función integrble g que cumple f k (x) g(x) pr todo k 1 y csi todo x. Entonces f y ls f k son integrbles y f dµ = lím f k dµ k En lguns ocsiones se considern funciones reles definids en csi todo, o igules un medible en csi todo. Se puede hblr sin mbigüedd tnto de l integrbilidd de este tipo de funciones como del vlor de su integrl. En este sentido el teorem de l convergenci domind se puede enuncir con l hipótesis más débil f k f en csi todo, y se tiene el siguiente resultdo de intercmbio: Teorem (Integrción término término). Se (f k ) un sucesión de funciones integrbles tl que l serie f k dµ converge. Entonces f k(x) converge en csi todo, l función sum puntul f es integrble y se verific que f dµ = f k dµ. 13

14 6. Integrl de Lebesgue de funciones de un vrible rel 6.1. Teorems fundmentles del cálculo Notción: Si f es un función integrble en un subintervlo J de R de extremo inferior y superior b, no necesrimente cotdo, l integrl de Lebesgue f en J se escribirá b f(x) dx. Cundo b < se entiende que b f(x) dx = b f(x) dx. Teorem. Se f integrble Lebesgue en [, b],, b R. Entonces l función F (x) = x f(t) dt está definid y es continu en [, b], y si f es continu en c [, b] entonces F es derivble en c y F (c) = f(c). Lem. Sen, b, c R, < b. Si f es continu en [ + c, b + c] entonces b f(x + c) dx = b+c +c f(x) dx Teorem (Regl de Brrow). Se f un función integrble Lebesgue y cotd en [, b],, b R. Si F es continu en [, b] y F (x) = f(x) en (, b) entonces b f(x) dx = F (b) F (). Consecuencis: Integrción por prtes: b F (x)g (x) dx = F (b)g(b) F ()G() b G(x)F (x) dx si F y G son continus en [, b] y derivbles en (, b) con derivds cotds. Cmbio de vribles: si ϕ : [c, d] R es derivble en [c, d], con derivd cotd y f es continu en ϕ([c, d]), entonces, si = ϕ(c) y b = ϕ(d) se tiene que b f(x) dx = d c f(ϕ(t))ϕ (t) dt Funciones no cotds o definids en intervlos no cotdos Teorem. Se f un función medible definid en el intervlo (, + ). Si f es integrble en (, + ), entonces + b f(x) dx = f(x) dx Inversmente, si b lím b + lím b + f(x) dx < + entonces f es integrble en (, + ). Definición. Se R. Si f es integrble en cd (, b) pr todo b >, el límite b lím b + f(x) dx se llm integrl impropi de primer especie de f en (, + ). Se dice que l integrl impropi converge cundo existe ese límite, y su vlor se escribe tmbién + f(x) dx. Sen, b R. Si f es integrble en cd (, c) pr todo < c < b, el límite lím f(x) dx se llm c b integrl impropi de segund especie de f en (, b). Se dice que l integrl impropi converge cundo existe ese límite, y su vlor se escribe tmbién b f(x) dx. Igulmente se definen ls impropis de segund especie con impropiedd en y ls de primer especie en (, b). Teorem. Se R y se f integrble en cd (, b) pr todo b >. L función f es integrble en (, + ) si y sólo si l integrl impropi + cso, el vlor de l integrl coincide con el de l integrl impropi f(x) dx es convergente (se dice que converge bsolutmente). En ese 14 + f(x) dx. c

15 Pr comprobr que un integrl impropi es convergente se puede: () clculrl hciendo l integrl; (b) cotr el integrndo en vlor bsoluto por un función integrble; (c) (si tiene signo constnte) comprrl por pso l límite con un que se convergente. + sen x sen x Ejemplo. L integrl dx converge como impropi pero no es integrble Lebesgue en 0 x x [0, + ). Como en el cso de ls series, se hbl de convergenci condicionl. Definición. Un integrl extendid un intervlo de form que se puede descomponer en un número finito de intervlos en los que es impropi de primer o de segund especie, se llm integrl impropi mixt. Se dirá que converge cundo hy convergenci de tods y cd un de ls que l componen y su vlor será l sum de ls integrles impropis componentes Relción con l integrl de Riemnn Teorem. Sen, b R, < b. Se f : [, b] R cotd. Se cumplen: Si f es integrble Riemnn en [, b] entonces f es integrble Lebesgue en [, b] y mbs integrles coinciden. Teorem de Lebesgue: f es integrble Riemnn en [, b] si y sólo si el conjunto de sus discontinuiddes tiene medid de Lebesgue cero. 7. Integrles dependientes de prámetros Definición. Se (, M, µ) un espcio de medid y se J un subintervlo de l rect, cotdo o no. Se f : J R tl que l función f(, t), definid por x f(x, t), es integrble pr todo t J. L función F : J R dd por F (t) = f(x, t) dµ(x) se llm integrl dependiente del prámetro t. Teorem (Intercmbio de límite con integrl). Se t 0 J. Supongmos que: Existe lím t t0 f(x, t) en csi todo. Existe g integrble en tl que pr todo t J, f(x, t) g(x) en csi todo. Entonces lím t t0 F (t) = lím t t 0 f(x, t) dµ(x). En prticulr, si en csi todo f(x, ) es continu en t 0, entonces F tmbién. L prte de intercmbio se plic tmbién en el cso en que t 0 se infinito. Teorem (Derivción bjo el signo integrl). Supongmos que l integrl dependiente del prámetro t cumple: En csi todo, existe f t (x, t) pr todo t J. Existe g integrble en tl que en csi todo, f t (x, t) g(x), pr todo t J. Entonces F es derivble en J y F (t) = f t (x, t) dµ(x) (regl de Leibniz). En prticulr, si es un intervlo cotdo de R y f es un función de clse C 1 en un bierto que contiene J, entonces F es de clse C 1 y F (t) se clcul usndo l regl de Leibniz. Ejemplos. + 0 sen x x dx = π 2 (integrl de Dirichlet) + 0 π e x2 dx = 2 (integrl de Guss) 15

16 7.1. Ls funciones Gmm y Bet de Euler L función Gmm: Γ(p) = + 0 x p 1 e x dx (p > 0) Γ es un función de clse C, que cumple Γ(p + 1) = p Γ(p). Γ(n + 1) = n! si n 0 entero. Γ (1) = γ (constnte de Euler). L función Bet: B(p, q) = 1 B es un función de clse C. B(p, q) = Γ (p) Γ(q) Γ(p + q) Tercer prte 8. Series de Fourier 8.1. Coeficientes de Fourier 0 x p 1 (1 x) q 1 dx (p, q > 0) (lo vemos en IFVV; tmbién ver Rudin PAM teor. 8.20). Un serie trigonométric es un serie de funciones de l form k cos kx + b k sen kx Si k + b k < entonces l serie trigonométric converge uniformemente en R y su sum f es un función continu y periódic (de período 2π). Los coeficientes de l serie se clculn medinte ls fórmuls: k = 1 π π π f(x) cos kx dx si k 0 b k = 1 π π π f(x) sen kx dx si k 1 Se f un función integrble en ( π, π). L serie de Fourier de f es l serie trigonométric cuyos coeficientes están definidos por ls igulddes nteriores. Los k, b k se llmn coeficientes de Fourier de f y cumplen k, b k 1 π π π f(x) dx pr todo k. Escribiremos f(x) k cos kx + b k sen kx pr que l serie de Fourier de f es es serie. Como ls funciones trigonométrics que se sumn son tods periódics, l sum en todo R serí igul l extensión periódic de f. Cso de ser f continu en [ π, π] tendrí que cumplir f( π) = f(π). 16

17 8.2. Series en senos y cosenos Si l función f integrble en el intervlo ( π, π) es pr, todos los coeficientes b k se nuln, por lo que l serie de Fourier sólo tiene sumndos en cosenos y el término constnte. Si es impr, los coeficientes que se nuln son los k y l serie de Fourier sólo tiene senos. Un función que no es necesrimente pr ni impr, puede desrrollrse en serie de cosenos pero sólo en (0, π), no en todo ( π, π): o de senos k = 2 π π 0 k = 0 si k 0, f(x) cos kx dx si k 0, b k = 0 si k 1 b k = 2 π 8.3. El problem de l cuerd vibrnte π 0 f(x) sen kx dx si k 1 L vibrción de un cuerd tens con extremos fijos en los puntos 0 y π del eje de bsciss con vris hipótesis de simplificción (l vibrción es trnsversl, l tensión es constnte, etc.) está determind por l función u(x, t) que d l ordend en el instnte t del punto de l cuerd cuy bscis es x, y se rige por l ecución de onds en un dimensión 2 2 u x 2 = 2 u t 2 D Alembert y Euler medidos del siglo VIII demostrron que si f es dos veces derivble en [0, π] y se extiende l [ π, 0] de form impr y después todo R periódic con período 2π, entonces u(x, t) = 1 2 (f(x + t) + f(x t)) es solución de l ecución de onds, con f como form inicil de l cuerd, es decir, u(x, 0) = f(x) pr x [0, π], y con velocidd inicil nul, es decir, u (x, 0) = 0 pr todo x [0, π]. t Por otr prte, fijd l form inicil de l cuerd, hy un únic solución de l ecución de onds que tiene velocidd inicil nul. Dniel Bernoulli dio poco después l solución como combinción linel infinit (sum de un serie) de funciones trigonométrics: u(x, t) = b 1 sen x cos t + b 2 sen 2x cos 2t + b 3 sen 3x cos 3t + Pr t = 0 se obtiene que l form inicil f, pesr de que puede ser muy rbitrri, cumple f(x) = b 1 sen x + b 2 sen 2x + b 3 sen 3x + desrrollo en serie de senos. A principios del siglo I, Fourier enunció que culquier función puede escribirse como sum de l serie trigonométric que hemos llmdo de Fourier. 9. Convergenci de l serie de Fourier 9.1. Convergenci uniforme de ls medis ritmétics: teorem de Fejér L sum prcil de l serie de Fourier es el polinomio trigonométrico S n (f, x) = n k cos kx + b k sen kx 17

18 Teorem (Expresión integrl de ls sums prciles). Pr tod f integrble en [ π, π] se tiene que donde l sucesión de funciones se llm núcleo de Dirichlet. S n (f, x) = 1 2π D n (x) = n π π f(y)d n (x y) dy cos kx = sen(n )x sen x, n 0 2 L sucesión de medis ritmétics de l serie de Fourier se escribe σ n (f, x) = 1 n + 1 n S k (f, x) Teorem (Expresión integrl de ls medis ritmétics). Se define el núcleo de Fejér como l sucesión de funciones F n (x) = 1 n D n (x) = 1 sen 2 (n + 1) x 2 n + 1 n + 1 sen 2 x, n 0 2 k=0 Pr tod f integrble en ( π, π) se tiene que σ n (f, x) = 1 2π π π k=0 f(y)f n (x y) dy Teorem (Teorem de Fejér). Si f es continu en [ π, π] y f( π) = f(π), entonces σ n (f, x) f(x) uniformemente en R. Teorem (Completitud del sistem trigonométrico). Si l función f es continu en [ π, π], f( π) = f(π), y π π f(x) cos kx dx = 0 pr k 0 y π π f(x) sen kx dx = 0 pr k 1, entonces f = Aproximción en medi y en medi cudrátic Si f es medible en ( π, π) se define l norm 1 de f como f 1 = π π f(x) dx Tiene ls propieddes de un norm en el espcio vectoril de ls funciones integrbles, excepto que f 1 = 0 no implic f = 0 sino f = 0 en csi todo. Un sucesión f n de funciones integrbles converge en medi hci f cundo f n f 1 0. Tmbién se dice que converge en L 1. Se define l norm 2 de un función medible f en ( π, π) como ( π f 2 = π ) 1 f(x) 2 2 dx 18

19 Teorem (Desiguldd de Cuchy-Schwrz y desiguldd de Minkowski). Dds f, g funciones medibles no negtivs en ( π, π), se cumple que π π f(x)g(x) dx f 2 g 2 f + g 2 f 2 + g 2 El conjunto de funciones de cudrdo integrble, es decir, funciones medibles f tles que f 2 < +, es un subespcio vectoril del de ls integrbles y l norm 2 tiene ls propieddes de un norm (slvo que f 2 = 0 implic sólo que f = 0 en csi todo). Un sucesión f n de funciones de cudrdo integrble converge en medi cudrátic hci f cundo f n f 2 0. Tmbién se dice que converge en L 2. Teorem (Densidd de ls funciones continus). Se f medible en ( π, π) y se ε > 0. Si f es integrble existe un función continu g en [ π, π] tl que g( π) = g(π) = 0 y tl que f g 1 < ε. Si f es de cudrdo integrble existe un función continu g en [ π, π] tl que g( π) = g(π) = 0 y tl que f g 2 < ε Consecuencis del teorem de Fejér Teorem (Teorem de unicidd). Si f y g son integrbles en ( π, π) y tienen ls misms series de Fourier, son igules en csi todo. Teorem (Lem de Riemnn-Lebesgue). Los coeficientes de Fourier k, b k de un función integrble en ( π, π) convergen cero Convergenci puntul de l serie de Fourier Teorem (Condición de Dini). Se f : R R integrble en ( π, π), 2π- periódic y se x R. Si existen los límites lterles f(x+), f(x ) y ls derivds lterles en x f(y) f(x ) lím y x y x y f(y) f(x+) lím y x+ y x f(x+) + f(x ) entonces l serie de Fourier en x converge l semisum. 2 Si f es continu en x, l condición de Dini equivle que existn ls derivds lterles de f en x (unque no coincidn). En este cso l sum de l serie de Fourier es f(x). Teorem (Principio de loclizción de Riemnn). Se x R. Si f y g coinciden en un entorno de x entonces ls dos series de Fourier tienen el mismo comportmiento en x, convergiendo en su cso l mismo vlor Convergenci en medi cudrátic Teorem (Mejor proximción). Si f es de cudrdo integrble en ( π, π) y f k cos kx + b k sen kx entonces pr culquier polinomio trigonométrico p(x) = c n c k cos kx + d k sen kx se cumple f S n (f, ) 2 f p 2 19

20 Además ( ) f S n (f, ) 2 2 = f 2 2 n 0 2 π k + b2 k Teorem. Dd f de cudrdo integrble en ( π, π), se tiene: S n (f, x) f(x) en L 2. Identidd de Prsevl: 1 π f(x) 2 dx = 2 0 π π 2 + ( 2 n + b 2 n) 9.6. Convergenci uniforme Teorem. Si f es continu en [ π, π], f( π) = f(π), y f existe slvo en un número finito de puntos y es integrble y cotd, entonces L serie de Fourier de f se obtiene derivndo l de f término término: si f(x) k cos kx + b k sen kx entonces f (x) L serie de Fourier converge uniformemente f. Not: f integrble es consecuenci de ls otrs hipótesis. kb k cos kx k k sen kx 20