Universidad Simón Bolívar Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller

Transcripción

1 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller 41 Defncones báscas En este capítulo se estuda el comportamento de los crcutos acoplados magnétcamente, fjos en el espaco El medo magnétco se consdera con permeabldad, constante y homogénea En todo el capítulo se asume lnealdad entre el flujo y las correntes En prmer lugar se consdera el dagrama de la fgura 34, en la cual se han representado n crcutos magnétcamente acoplados En el crcuto se coloca una fuente de tensón v, que nyecta en esa bobna la corrente 1 l v m n j epresentacón del flujo propo Fg 34 as líneas de la fgura 34, representan la dstrbucón del flujo cuando se excta la bobna El flujo total que enlaza la bobna se representa por, y se puede descomponer en dos flujos: 1 m que enlaza a las otras bobnas y, l que enlaza solamente a la bobna De esta forma, se establece: 51

2 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller + l m 41 En la fgura 35, se representa el caso contraro, donde todas las bobnas están exctadas, menos la bobna l 1 1 K j n n n j j epresentacón de los flujos mutuos Fg 35 El flujo mutuo que enlaza la bobna, debdo a la exctacón de las otras bobnas se denomna K y comprende n1 componentes: j n K j j 1 j 4 En la ecuacón 4, j representa el flujo mutuo producdo por la bobna j que enlaza a la bobna Por superposcón, el flujo magnétco total enlazado por la bobna es: jn K l m K l m os enlaces de flujo correspondentes son: j1 j j 43 5

3 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller jn + l m + j j1 j S los enlaces de flujo de la ecuacón 44 se expresan en funcón de la permeanza magnétca y de las correntes de exctacón de las bobnas, se obtene: l m Se pueden defnr las sguentes nductancas: 44 P l l 45 P m m 46 j j P j j j 47 l P l m P m l m (P + P ) l m 410 Donde l es la nductanca de dspersón, m es la nductanca de magnetzacón y es la nductanca propa as nductancas mutuas se defnen como: j P j j j j P j j j j j Como las permeanzas P j y P j son guales, se demuestra que: j j 413 S se expresa la ecuacón 44 en térmnos de las nductancas defndas en 48, 49, 410, 411 y 41 se obtene para la bobna : 53

4 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller jn + j j j1 j 414 a ecuacón 414 se puede escrbr en forma matrcal para todas las bobnas del sstema: n 1 1 n 1 n n n1 n n n n 415 a ecuacón 415 en forma compacta se escrbe así: 4 Ecuacones de tensón [] [] [] 416 a tensón nstantánea aplcada en la bobna del sstema acoplado magnétcamente de las fguras 34 y 35 es: v +p 417 En la ecuacón 417 el operador p se refere a la dervada con respecto al tempo d/dt Para las n bobnas acopladas se cumple: donde: [v] [ ][] + [] p[] ( [ ]+ []p ) [] [] es una matrz dagonal y, [] está defnda por la ecuacón Coefcentes de acoplamento y dspersón 418 ultplcando las ecuacones 411 y 41 térmno a térmno, se obtene: j j j j j

5 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller De la ecuacón 410 se puede deducr que: ; j j Susttuyendo 40 en 419 se obtene: j jj 40 j j j j jj 41 El cocente de los flujos representa la fraccón del flujo total propo de la bobna que enlaza a la bobna j, estos coefcentes son constantes y se defnen como: j ; j jj 4 En 4, y j se denomnan factores de acoplamento e ndcan la cantdad de flujo exstente entre las dos bobnas A medda que decrece la separacón entre las bobnas, se ncrementa el valor del coefcente de acoplamento El valor máxmo teórco para un acoplamento perfecto es la undad eemplazando las defncones de 4 en la ecuacón 41 se obtene: j j j j j j j 43 En la ecuacón 43 a la meda geométrca de los factores de acoplamento se le denomna coefcente de acoplamento entre la bobna j y la bobna, j y puede varar entre los valores cero y uno Otro coefcente amplamente utlzado es s j o coefcente de dspersón y queda defndo por: Como: 1 j j 44 j j j 45 Por lo tanto, susttuyendo 45 en la ecuacón 44 se obtene: j 1 j j 46 55

6 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller 44 El transformador como crcuto acoplado En la fgura 36, se presenta un transformador de dos devanados Cada bobna posee una nductanca propa de valor 1 y respectvamente, una nductanca mutua y una resstenca propa en cada bobna, 1 y 1 1 v 1 1 v Transformador de dos devanados Fg 36 Aplcando la ecuacón 418, se obtene: v 1 v p 1 47 despejando la dervada de las correntes con respecto al tempo, se transforma la ecuacón dferencal 47 a su forma canónca: p[] [] 1 [] [] + [] 1 [v] En forma explícta el sstema representado en la ecuacón 48 es: 48 p v 1 v 49 Evaluando la matrz nversa de la ecuacón 49, se obtene: p v 1 v 430 os valores propos de la matrz característca del sstema de ecuacones dferencales lneales de prmer grado se pueden calcular a partr de: det { [A] [I ] } 0 eemplazando la matrz característca de la ecuacón 430 en 431: 431

7 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller det Calculando el determnante de la ecuacón 43 se obtene: El polnomo de segundo grado en 433, tambén denomnado polnomo característco, posee dos raíces que corresponden a los autovalores de la matrz característca [A]: T 334 donde: T T F 1 TF es la constante de tempo de magnetzacón [s] es la constante de tempo de fuga o dspersón [s] 335 Como y son valores postvos, es mucho mayor que 1 s el coefcente de acoplamento mutuo 1 es cercano a la undad De la ecuacón 45 se obtene, para el transformador de la fgura 36: A partr de 434, 435 y 436, se determnan T y T F como: 436 T T F + (1+ 1 ) (1 1 ) Para resolver el sstema de ecuacones dferencales 47, se determna la solucón homogénea a partr de los autovalores y autovectores de la matrz característca, calculados medante las expresones 334 y 335 a solucón completa se obtene superponendo a la solucón homogénea, la solucón partcular y

8 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller determnando los coefcentes constantes a partr de las condcones ncales del problema a solucón homogénea del problema es: 1h ( t ) A e 1 t t 1 ( t ) C e h + D e t t + D e 439 os coefcentes A, B, C y D no son arbtraros, se determnan a partr de los autovectores de la matrz característca Para calcular los autovectores es necesaro resolver el sstema de ecuacones: A I V 0 Aplcando la ecuacón 440 para el prmer autovalor 1 : El sstema 441 se puede reducr a: + + A C A 1 1 C Del sstema 44 se observa que A C Del autovalor de la matrz característca, se determna el segundo autovector: 1 1 B 1 1 D A partr de 443 se obtene que B D Susttuyendo los autovectores correspondentes en la ecuacón 439: (t) A e t + 1h + B e t (t) A e t + B e t h 444 S el sstema no está almentado por fuentes forzantes y se susttuye en 444 las condcones ncales 1 (0) I e (0) 0: 58

9 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller a solucón del sstema 445 es: I A +B 0 A B 445 A B 1 I 446 eemplazando el resultado 446 en la ecuacón 444 se obtene la sguente solucón: t t (t) 1 I e I e 1h h (t) 1 I e + t 1 I e t 447 En la fgura 37, se observa el dagrama en el tempo de las correntes en el prmaro y secundaro del transformador Correntes en el transformador Fg 37 El crcuto de la fgura 38, satsface la ecuacón 47 para el transformador de la fgura 35 Para obtener las ecuacones homogéneas de este crcuto equvalente es necesaro cotocrcutar los dos puertos del transformador 59

10 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller 1 v v Crcuto equvalente del transformador de dos bobnas Fg 38 En la fgura 39 se presenta una nterpretacón en el crcuto equvalente del transformador, de la constante de tempo de magnetzacón S se unen los puntos a y b de la fgura, entre estos puntos y terra, la constante de tempo del crcuto es: T 1 F + 1 a F + b F F Constante de tempo de magnetzacón Fg 39 En la fgura 40 se presenta el crcuto equvalente para la constante de tempo de fuga En este caso se despreca la nductanca mutua del crcuto equvalente: T F F 449 F F Constante de tempo de fuga Fg 40 60

11 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller Una forma más drecta para calcular la respuesta transtora y permanente de sstemas acoplados magnétcamente consste en aplcar la Transformada de aplace S al sstema 47, se le aplca esta transformacón, se obtene el sguente sstema de ecuacones algebracas: V 1 (s) 1 0 I 1 (s) + 1 s I 1(s) V (s) 0 I (s) I (s) 450 Agrupando el vector de correntes y susttuyendo los valores del transformador de la fgura 35: V 1 (s) + s s I 1 (s) V (s) s + s I (s) 451 A partr de la ecuacón 451, se puede determnar la transferenca transtora de tensones en el secundaro de un transformador S el transformador se encuentra en vacío, la corrente del crcuto secundaro es cero y por tanto, I (s) es cero tambén En estas condcones: V (s)(+s)i (s) V (s) s I (s) Dvdendo la ecuacón 453 por la ecuacón 45 se obtene la funcón de transferenca operaconal entre las tensones secundara y prmara del transformador: V (s) s V (s) +s S se aplca un escalón de tensón en la bobna prmara, la tensón secundara se calcula a partr de la ecuacón 4 54 como: Anttransformando la ecuacón 455: v (t) V (s) +s V t t V e Ve 1 a ecuacón 456 se ha determnado, hacendo uso de la defncón del coefcente de acoplamento mutuo de la ecuacón 419 En la fgura 41 se representa la respuesta al mpulso del transformador de dos devanados con el secundaro en vacío

12 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller 1 V v 1 (t) v (t) V 0 espuesta en el tempo del transformador al escalón de tensón Fg 41 t S se aplca al transformador una tensón snusodal en el prmaro en lugar de un escalón, para el tempo mayor o gual que cero, se tene: v ( t ) V s e n 1 t p a r a t > 0 V ( s ) V 1 s + Susttuyendo la ecuacón 457 en 454 se obtene: V (s) V 6 s s + eagrupando la ecuacón 458 en fraccones parcales y anttransformando: v (t) V ( + ) t e + sen t + cos t a ecuacón 459 representa una respuesta snusodal en régmen permanente superpuesta a un decamento exponencal, smlar al obtendo en la ecuacón 456, cuando se aplca un escalón de tensón al prmaro del transformador as máqunas eléctrcas están consttudas en general por varos crcutos acoplados magnétcamente Su comportamento puede ser estudado medante las técncas de autovectores y autovalores o a través de la Transformada de aplace cuando el convertdor es lneal, o se lnealza su comportamento en torno a un punto

13 Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller de operacón S la máquna no es lneal y es necesaro evaluar su comportamento a grandes perturbacones, las ecuacones dferencales deben ser ntegradas por métodos numércos tales como los algortmos de Smpson, Euler, Euler odfcado, egla Trapezodal, unge Kutta de varos órdenes o medante métodos de predccón y correccón de error como el de Adams o el de Adamserson 63

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