Tercera clase. Definición de sistema

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1 Universia Distrital Francisco José e Calas - Análisis e Señales y Sistemas - Marco A. Alzate Tercera clase. Definición e sistema Veíamos que una señal es una cantia física que varía en el tiempo, en el espacio, o con respecto a cualquier otra cantia física inepeniente, e manera que en sus variaciones hay coificaa una información. También vimos que, como abstracción matemática e ese concepto, una señal se representa meiante una función con un ominio y un rango específicos, x:d R. Por simplicia, a la variable que toma valores en el conjunto ominio le llamaremos tiempo y a la variable que toma valores en el conjunto rango le llamaremos amplitu. La primera clasificación e señales que vimos fue e acuero con la naturaleza continua o iscreta el tiempo y la amplitu: Señales análogas, señales cuantizaas, señales muestreaas o señales igitales. Por ejemplo, consiere la siguiente señal análoga: t si xa () t si t t Poemos cuantizarla hacieno x ( t) k / 5 si x( t) [2k, 2k ) /, k. También q poemos muestrearla hacieno x [ n] x( n /.5), n. Por último, poemos s igitalizarla si la muestreamos y la cuantizamos, x [ n] x ( n /.5). Los resultaos se muestran en la siguiente figura. Tiempo continuo Amplitu Señal análoga, x a (t) continua q Tiempo iscreto Señal muestreaa, x s [n] Amplitu iscreta Señal cuantizaa, x q (t) Señal igital, x [n] Figura. Procesos e muestreo y cuantización Nótese que las señales en tiempo iscreto las hemos graficao con respecto a t n = n/.5 y no con respecto a n. Aunque normalmente se grafican con respecto al número e la muestra, n, hemos

2 Universia Distrital Francisco José e Calas - Análisis e Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 2 preferio este cambio en el eje el tiempo para poer superponer las cuatro señales y compararlas con mayor claria: Figura 2. Una señal análoga, cuantizaa, muestreaa y igitalizaa Pero las señales, como cantiaes físicas meibles, existen en un ambiente particular en el que se generan, se propagan, se almacenan, se transforman, etc. Ese ambiente que ejerce un proceso transformaor en una señal se conoce como sistema. En efecto, probablemente se trata e un conjunto e elementos que interactúan entre ellos para formar un too, como una resistencia y un conensaor que forman un filtro, o un resorte y una masa que forman un oscilaor, etc. En el primer sistema, las señales son el voltaje e la fuente, la corriente en la malla, el voltaje en caa componente, la potencia isipaa en la resistencia, etc. En el seguno sistema, las señales son la posición, la velocia y la aceleración e la masa, la fuerza ejercia por el resorte, la fuerza e fricción, etc. En caa caso, el sistema se expresa meiante unas leyes físicas, que constituyen unas relaciones matemáticas entre unas señales y otras. De hecho, conocieno algunas e esas señales, poemos especificar otras señales. Diríamos que el sistema lo poemos representar (y éste es otro moelo matemático) como una relación entre una señal e entraa y una señal e salia, que es otro tipo e función que en matemáticas se llama funcional, ya que su entraa es una función e un conjunto e posibles funciones e entraa, y su salia es otra señal e un conjunto e posibles señales e salia. Así como una función convierte un elemento el ominio en un elemento el rango, un funcional convierte una función e entraa en una función e salia. x a (t) x q (t) x s [n] x [n] Figura 3. Dos sistemas que procesan señales naturalmente

3 Universia Distrital Francisco José e Calas - Análisis e Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 3 En este curso iremos que un sistema es una forma e representar un proceso físico que acepta una señal e entraa (o varias) y la procesa para generar una señal e salia (o varias). {x(t)rango x, tdominio x } {y(t)rango y, tdominio y } Figura 4. Representación e un sistema como un funcional Pero Cómo es que poemos construir un moelo matemático válio para representar señales e presión y temperatura en sistemas como caleras que poamos utilizar para señales e raiación en sistemas como colisionaores e partículas? Consieremos los siguientes os ejemplos: v i (t) i(t) v o (t) F(t) M v(t) - - v(t) vi( t) v( t) vr( t) F( t) v( t) M v( t) t vi ( t) v( t) R i( t) M F( t) v( t) v( t) t vi( t) v( t) RC vo( t) t Figura 5. Dos sistemas iferentes que conucen a una misma forma e abstracción matemática En caa caso conocemos leyes e la naturaleza formulaas matemáticamente que nos permiten expresar unas señales en términos e otras. Por ejemplo, sabemos que el voltaje e entraa es la suma el voltaje e salia más el voltaje en la resistencia, el cual es R veces la corriente, la cual es C veces la variación el voltaje e salia. Igualmente, sabemos que la fuerza total sobre el carro es igual a su masa por la aceleración (suponemos que el consumo e gasolina prouce un cambio espreciable en la masa el carro). Ahora consieremos el siguiente moelo abstracto: x(t) / x( t) y( t) y( t) y(t) t _ x( t) y( t) y( t) t Figura 6. Abstracción matemática para los os sistemas anteriores Nótese que si usamos v i (t) en vez e x(t), v o (t) en vez e y(t) y RC en vez e, el moelo abstracto poría ser una representación el circuito RC. Pero si usamos F(t)/ en vez e x(t), v(t) en vez e y(t) y M/ en vez e, el moelo abstracto poría ser una representación el sistema mecánico. De hecho, estas relaciones fueron las que motivaron el esarrollo el computaor análogo a comienzos e los 8 s. En lo que a este curso respecta, entonces, {x(t)} t será simplemente una señal e entraa a un sistema que la procesa para obtener una señal e salia {y(t)} t, inepenientemente e que se trate e voltajes, corrientes, fuerzas o velociaes: Moelos matemáticos (funciones para las señales

4 Universia Distrital Francisco José e Calas - Análisis e Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 4 y funcionales para los sistemas), como un concepto abstracto que poría representar cualquier sistema físico apropiao. La clasificación e señales según su ominio sea continuo o iscreto y según su rango sea continuo o iscreto también se aplicará a los sistemas según el tipo e señales que procesen. El primero e los siguientes os sistemas es un sistema en tiempo continuo, mientras el seguno es un sistema en tiempo iscreto: {x(t)r, tr} {y(t)r, tr} {x[n]r, nz} {y[n]r, nz} Figura 7. Sistemas en tiempo continuo y en tiempo iscreto Aunque un sistema poría tener entraas en tiempo continuo y salias en tiempo iscreto (en cuyo caso entro el sistema existirá al menos un muestreaor ) o viceversa (en cuyo caso entro el sistema existirá al menos un interpolaor ). Como un ejemplo inicial, consiérese el sistema anterior en tiempo continuo, el cual representa un sistema lineal e primer oren como el circuito RC o el automóvil: x( t) y( t) y( t) t Si consieramos un incremento e tiempo t en vez el iferencial t, y consieramos sólo instantes e tiempo múltiplos e t, poríamos aproximar el anterior sistema meiante y( nt) y(( n ) t) x( nt) y( nt) t Que poemos interpretar como un sistema en tiempo iscreto: x[ n] y[ n] y[ n ], one t x[n] y[n] y[n-] Retaro Figura 8. Aproximación en tiempo iscreto a los sistemas e la Figura 5. Dos sistemas iferentes que conucen a una misma forma e abstracción matemática Como un ejemplo e sistemas ampliamente estuiaos, consieremos un sistema e comunicaciones en el que una fuente e información genera un mensaje que ebe ser representao en forma e señales físicas para poer transmitirlo a través e un canal, one la señal transmitia puee sufrir istorsiones, interferencias y ruio. La intención es recuperar el mensaje original e la

5 Universia Distrital Francisco José e Calas - Análisis e Señales y Sistemas - Marco A. Alzate 5 manera más oportuna y fieigna posible. Si no el sistema entero, es claro que el transmisor, el canal y el receptor corresponen al moelo matemático que hemos estao consierano: Entra una señal e un conjunto e posibles señales e entraa, la cual se transforma en una señal e un conjunto e posibles señales e salia. Como las señales corresponientes se pueen moelar como funciones el tiempo, caa subsistema resulta ser un funcional. Mensaje entraa Señal transmitia Señal recibia salia Mensaje Canal Receptor Fuente Transuctor Transmisor Transuctor Destino Ruio, interferencia y istorsión Figura 9. Moelo matemático (abstracción conceptual) e un sistema e comunicaciones Otro ejemplo es un sistema e control realimentao, en el que se esea que un proceso particular (o planta ) prouzca una respuesta satisfactoria e manera robusta, esto es, a pesar e cambios en el ambiente. Para esto, se consiera que la planta obeece a señales e control para proucir la señal e salia, esto es, el proceso a controlar es un sistema e procesamiento e señales. Entonces es posible tomar la señal e salia para proucir una señal realimentaa que se compara con una señal e referencia. Si son iguales, la planta está operano satisfactoriamente. Si no, un sistema aicional usará la señal e iferencia como entraa para proucir como salia los cambios necesarios en la señal e control. referencia Comparación iferencia Elemento e control control Proceso a controlar salia Señal realimentaa Lazo e realimentación Figura. Moelo matemático (abstracción conceptual) e un sistema e control Por último, es IMPORTANTE notar que cuano eciimos utilizar moelos matemáticos para representar e manera simplificaa alguna realia compleja, estamos construyeno una iealización que será vália sólo en la meia en que el moelo capture los aspectos más relevantes e la realia, y en la meia en que la realia se ajuste con suficiente precisión a las suposiciones el moelo. Esto implica, por ejemplo, que los valores e las señales se mantengan entro e las escalas e valiez el moelo, o que los parámetros que escriben a los componentes se encuentren suficientemente cerca e los valores usaos en el moelo. En general, una característica funamental el ingeniero es su capacia e eterminar el alcance e la valiez e los moelos que utiliza, aseguránose que en el proceso e análisis o iseño que aelanta siempre se cumplan las coniciones y suposiciones en las que se basó el esarrollo e su moelo matemático.