TEMA 10.- FUNCIONES ELEMENTALES

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1 º Bachillerato Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 20/202 TEMA 0.- FUNCIONES ELEMENTALES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN. CARACTERÍSTICAS (Pág. 28) Deinición de unción. Decimos que es una unción, si a cada número real x le hace corresponder un único número real y. El valor y se suele representar por (x) x Por ejemplo, (x) = 3x es una unción pero (x) = ± no lo es. Recorrido o rango de una unción: Es el conjunto ormado por todos los valores que puede tomar la variable y. Se representa por Rec() ó también por Im() - Si la unción nos viene dada por una gráica entonces Rec() se obtiene proyectando horizontalmente la gráica sobre el eje Gráica de una unción Es el conjunto ormado por todos los puntos del plano (x,y) que están relacionados mediante la unción No todas las gráicas corresponden a unciones. Para que una gráica corresponda a una unción es necesario que a un valor del eje corresponda un solo valor del eje Continuidad Dominio de deinición Es el conjunto ormado por todos los valores que puede tomar la variable x. Se representa por Dom() - Si la unción nos viene dada por una gráica entonces Dom() se obtiene proyectando verticalmente la gráica sobre el eje Una unción es continua cuando su gráica no tiene ninguna rotura y por tanto se puede dibujar de un solo trazo. Las unciones no continuas se llaman discontinuas y los valores de x para los que se produce la rotura de la gráica se llaman puntos de discontinuidad - Si sólo tenemos la órmula de la unción, entonces Dom() es el conjunto de valores de x para los que es válida la órmula. Función continua Función discontinua en x = Pág. 28: El Pág. 267: El, 2, 3,, 5 y 6 - -

2 º Bachillerato Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 20/ FUNCIONES CUA GRÁFICA ES UNA RECTA (Pág. 26) Todas las unciones cuya órmula es del tipo y = mx + n tienen por gráica una línea recta Pendiente de una recta El coeiciente de la x, m, se llama pendiente de la recta y mide la inclinación de la recta. Dependiendo del valor de m, la unción puede ser creciente, decreciente o constante y cuánto mayor es m, en valor absoluto, mayor es la inclinación de la recta y = mx + n, Recuerda: m 0 creciente > m 0 decreciente < m 0 cons tante = Función creciente Una unción es creciente en un intervalo del eje si la gráica correspondiente es ascendente Esto signiica que al aumentar los valores de la x, también aumentan los de la y Cálculo de la pendiente de la recta La pendiente de una recta se puede calcular a partir de dos puntos cualesquiera de la recta de la siguiente orma: Si A(x, y ), B(x,y ) son dos puntos de la recta, 0 0 y y0 la órmula para hallar la pendiente es m = x x0 Si sólo conocemos un punto de la recta A(x 0, y 0 ) y la pendiente m podemos calcular la ecuación de la recta mediante la expresión y y 0 = m(x x 0 ) Esta ecuación se llama ecuación punto-pendiente Signiicado de n El término independiente, n, se llama ordenada en el origen y corresponde al punto de corte de la recta con el eje Si n = 0, la recta pasa por (0,0) y se llama unción lineal o de proporcionalidad directa Función decreciente Una unción es decreciente en un intervalo del eje si la gráica correspondiente es descendente Esto signiica que al aumentar los valores de la x, disminuyen los de la y Rectas verticales: Las expresiones de la orma x = k se representan mediante rectas verticales y por tanto no corresponden a unciones. Función constante Una unción es constante en un intervalo del eje si su gráica no es ascendente ni descendente y por tanto es una línea horizontal. La órmula de una unción constante es y = n, siendo n un número real. Pág. 270: El y 5-2 -

3 º Bachillerato Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 20/ FUNCIONES CUADRÁTICAS (Págs. 26 y 263) Las unciones cuadráticas o unciones polinómicas de 2º grado son las que se pueden expresar de la orma y = ax 2 + bx + c, siendo a 0 La gráica de estas unciones es una parábola. - Si a > 0, la parábola tiene las ramas hacía arriba V = vértice e = eje de simetría e: x = xv V(xv, yv) Para x v la unción tiene un mínimo relativo y absoluto - Si a < 0, tiene las ramas hacía abajo V(xv, yv) e: x = xv V = vértice e = eje de simetría Para una unción cuadrática, el vértice de la parábola se calcula - b por las órmulas: V(x,y ), x v = 2a v v y v = ( xv) El eje de simetría, e, es la recta vertical de ecuación x = x v Recuerda: Máximo relativo: Una unción tiene un máximo relativo en x = x 0 si en x 0 la gráica pasa de ser creciente a ser decreciente. Si (x 0 ) es el mayor valor que toma la unción se dice que además es un máximo absoluto Mínimo relativo: Una unción tiene un mínimo relativo en x = x 0 si en x 0 la gráica pasa de ser decreciente a ser creciente. Si (x 0 ) es el menor valor que toma la unción se dice que además es un mínimo absoluto Simetría: Una unción es simétrica respecto de un eje vertical si al doblar la gráica por dicho eje coincide la parte que hay a la derecha con la de la izquierda. Las unciones simétricas respecto del eje cumplen (-x) = (x) y se llaman unciones pares Para x v la unción tiene un máximo relativo y absoluto. Cuánto mayor es a, en valor absoluto, más pegadas al eje están las ramas de la parábola Pág. 268: El 9 y 0 Pág. 270: El 6, 8 y 9 Pág. 27: El 5.- FUNCIONES RACIONALES (Págs. 27 y 26) Son unciones cuya órmula viene dada por una racción algebraica. Las unciones racionales del tipo y = k x se llaman - Si k < 0, la unción es creciente y la gráica es una hipérbola situada en el II y IV cuadrantes. unciones de proporcionalidad inversa y su gráica es una hipérbola de asíntotas los ejes de coordenadas (Las asíntotas son rectas hacía las que tiende la gráica de la unción sin llegar a tocarlas) - Si k > 0, la unción es decreciente y la gráica es una hipérbola situada en el I y III cuadrantes. ax b Las unciones racionales del tipo y = cx + dse pueden expresar + k de la orma y = y + x x 0 0. Su gráica es una hipérbola cuyas asíntotas son las rectas de ecuaciones x = x 0, y = y 0 Pág. 268: El 3 Pág. 269: El 29, 36 y 37 Pág. 27: El 3-3 -

4 º Bachillerato Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 20/ FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS (Págs. 29, 250, 25, 26 y 265) Son unciones cuya órmula consta de dos o más expresiones. Ejemplos destacados de unciones deinidas a trozos son la unción valor absoluto y la unción parte entera: Por ejemplo, (x) = x 3, si x < x, si x deinida a trozos. es una unción y = x - 3 x,si x x = = x,si x 0 0 < y = - x x (x) = Ent(x) = nº entero menor o igual que x Pág. 29: El y 2 Pág. 25: El y 2 Pág. 268: El y 2 Pág. 269: El 30, 3, 32, 33, 3 y 35 Pág. 270: El, 7 y 50 Pág. 27: El FUNCIONES EPONENCIALES LOGARÍTMICAS (Págs. 258, 259, 260 y 266) Funciones exponenciales de base a Son aquellas cuya órmula es del tipo y = a x siendo a > 0, a. - Si a >, la unción es creciente y su gráica siempre tiene la orma de la igura. - Si a <, la unción es decreciente y su gráica siempre tiene la orma de la igura. y = a x a < y = a x a > Como puedes ver, el eje es una asíntota horizontal. Cuanto menor es a, mayor es la inclinación de la curva. Como puedes ver, el eje es una asíntota horizontal. Cuanto mayor es a, mayor es la inclinación de la curva. Un ejemplo de unción exponencial muy importante en matemáticas es la unción exponencial de base el número e: y = e x (siendo e = 2,782, número irracional) - -

5 º Bachillerato Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 20/202 Funciones logarítmicas de base a Son aquellas cuya órmula es del tipo y = log a (x) siendo a > 0, a. - Si a >, la unción es creciente y su gráica siempre tiene la orma de la igura. y = log a (x) a > - Si a <, la unción es decreciente y su gráica siempre tiene la orma de la igura. y = log a (x) a < Como puedes ver, el eje es una asíntota vertical. Cuanto mayor es a, mayor es la inclinación de la curva. Un ejemplo de unción logarítmica muy importante en matemáticas es la unción logaritmo neperiano: y = ln (x) = log e (x) Como puedes ver, el eje es una asíntota vertical. Cuanto menor es a, mayor es la inclinación de la curva. Pág. 259: El y 2 Pág. 267: El 7 y 8 Pág. 268: El 5 y 6 Pág. 269: El 27, 28 y 39 Pág. 270: El 5 y 52 Pág. 270: El OPERACIONES CON FUNCIONES (Págs. 256, 257 y 266) Suma de unciones: ( + g)(x) = (x) + g(x) Producto de unciones: (g)(x) = (x). g(x) Resta de unciones: ( g)(x) = (x) g(x) Cociente de unciones: g (x) = x x g x x Función opuesta: (-)(x) = - (x) Función inversa para el producto: Función identidad: I(x) = x (x) = Función compuesta: (g o ) (x) = g [ (x) ] Ojo: No siempre son iguales las unciones g o y o g Función inversa o recíproca: Se representa por -. x = La unción - es la unción que cumple: x = La inversa de una unción se calcula cambiando x por y en la órmula de la unción y después despejando la y No todas las unciones tienen inversa. Para que una unción tenga inversa a cada valor de y debe corresponder un sólo valor de x. Este tipo de unciones se llaman inyectivas Las gráicas de dos unciones inversas son siempre simétricas respecto de la recta y = x 2x 2 Sean las unciones (x) = x, g(x) = x. Calcula la órmula de las unciones: a) + g b) g c) g d) e) g ).g g) g h) g i) j) g k) o g l) g o. Halla, también, el dominio de todas las unciones que aparecen en el ejercicio. Pág. 256: El y 2 Pág. 257: El, 2 y 3 Pág. 268: El 7, 8, 9, 20 y 2 Pág. 269: El 38 y 0 Pág. 27: El 53, 5 y 7 x - 5 -