La ley de los grandes números

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1 La ley de los grades úmeros "El idicio de que las cosas estaba saliédose de su cauce ormal vio ua tarde de fiales de la década de Simplemete lo que pasó fue que etre las siete y las ueve de aquella tarde el puete de Triborough tuvo la cocetració de tráfico saliete más elevada de su historia". Comiezo del relato corto "La Ley" de Robert M. Coates 1

2 Suma de variables aleatorias discretas Supogamos que X e Y so dos variables aleatorias discretas e idepedietes co fucioes de distribució p 1 (x) y p (y) respectivamete. Sea Z X + Y, cómo será la fució de distribució de Z, p 3 (z)? Puesto que el eveto Z z es la uió del par de evetos disjutos: (X k) e (Y z - k), tedremos: P ( Z z) P ( X k) P 3 1 k ( Y z k) Decimos que p 3 (x) es la covolució de p 1 (x) y p (x): p 3 (x) p 1 (x) * p (x)

3 Covolució p ( j) p ( k) p 3 1 k ( j k) La covolució es ua operació comutativa y asociativa. Visto lo visto, es "fácil" demostrar por iducció cómo será la suma de variables aleatorias idepedietes: S X + X X 1 teiedo e cueta que: S + S1 X 3

4 Veamos u ejemplo: Supogamos que lazamos u dado dos veces. Sea el resultado del primer lazamieto la variable aleatoria X 1 y del segudo, la variable aleatoria X, ambas co la misma distribució de probabilidad que llamaremos m(x). Calculemos la fució de distribució de probabilidad para S X 1 + X. P ( S s) m( X1 k) m( X k s k) (...) 4

5 Si quisiéramos calcular S 3 X 1 + X + X 3, tedríamos: (...) Este es el resultado gráfico para la suma S 10 de 10 dados. 5

6 Y estos so los resultados gráficos para las sumas S 0 y S 30 de 0 y 30 dados, respectivamete. Observemos que, a medida que aumeta el úmero de dados, teemos ua curva que se aproxima más y más a ua campaa de Gauss, a ua ormal. Veremos por qué más adelate, cuado hablemos del teorema cetral del límite. 6

7 Suma de variables aleatorias cotiuas Si X e Y so dos variables aleatorias cotiuas e idepedietes co fucioes desidad de probabilidad f(x) y g(x) respectivamete, la variable aleatoria Z X + Y, tedrá como desidad de probabilidad la covolució de f y g: ( f g)( z) f ( z y) g( y) dy g( z x) f ( x) dx 7

8 Suma de dos variables aleatorias uiformes idepedietes Dos distribucioes uiformes U(0,1). Obteemos la desidad de probabilidad de la suma de las dos variables por covolució de sus desidades. 8

9 f Z ( z) f ( z y) dy 1 0 X Observa que, como X e Y varía etre 0 y 1, su suma Z variará etre 0 y. 9

10 Covolució de dos desidades de probabilidad uiformes U(0,1). 10

11 Suma de dos variables aleatorias expoeciales idepedietes Dos desidades de probabilidad expoeciales Exp(λ). Obteemos la desidad de probabilidad de la suma de las dos variables por covolució de sus desidades. 11

12 Covolució de dos desidades de probabilidad expoeciales Exp(λ). 1

13 Suma de dos variables aleatorias ormales idepedietes Dos desidades de probabilidad ormales tipificadas N(0,1). 13

14 Obteemos la desidad de probabilidad de la suma de las dos variables por covolució de sus desidades. Normalizació de N(0, ) El resultado es ua ormal de media 0 y variaza, N(0,) 14

15 Suma de variables aleatorias idepedietes S X + X X 1 Teiedo e cueta que: S + Y que: S1 X f S ( ) ( ) ( x) f f x X1 X Tedremos para variables aleatorias idepedietes: f S ( ) f... ( ) ( x) X X f f x 1 X Recuerda que la covolució es ua operació comutativa y asociativa. 15

16 Suma de uiformes 16

17 Suma de ormales 17

18 Suma de expoeciales 18

19 Teorema cetral del límite E codicioes muy geerales la suma de variables aleatorias, idepedietes e idéticamete distribuidas co media μ y variaza distita de cero σ, tiede a la distribució ormal a medida que tiede a ifiito. S X X X Otra maera de euciarlo: bajo las mismas codicioes, si es suficietemete grade se distribuye como ua ormal N(μ, σ /) 19

20 Desigualdad de Chebyshev ( ) Ua variaza pequeña idica que las desviacioes grades alrededor de la media so improbables. La desigualdad de Chebyshev hace precisa esta impresió: P( x kσ ) 1 k O bie, haciedo: kσ P ( x ) σ Pafuti Lvovic Cebicev ( ) 0

21 1 Demostració: ( ) ( ) dx x f x dx x f x x ) ( ) ( σ x x dx x f dx x f ) ( ) ( ( ) x P ( ) σ x P Para el caso discreto la demostració es semejate.

22

23 Ley de los grades úmeros (e forma débil) Sea X 1, X,..., X variables aleatorias idepedietes, co la misma distribució (misma media μ y variaza σ ). Etoces, para S X 1 + X X y cualquier real > 0: «La frase "ley de los grades úmeros" es tambié usada ocasioalmete para referirse al pricipio de que la probabilidad de que cualquier eveto posible (icluso uo improbable) ocurra al meos ua vez e ua serie, icremeta co el úmero de evetos e la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que u idividuo gae la lotería es bastate baja; si embargo, la probabilidad de que alguie gae la lotería es bastate alta, supoiedo que suficietes persoas comprase boletos de lotería». Wikipedia lim o lim P deforma equivalete : P S S < 1 3 0

24 4 Demostració: 1 lim o de forma equivalete : 0 lim ; < σ σ σ S P S P S P S E S Var Usado la desigualdad de Chebyshev y fijado u épsiló:

25 Observa que S / es u promedio y por eso a la ley de los grades úmeros suele coocerse tambié como ley de los promedios. Hemos visto su "forma débil". E su "forma fuerte" os dice que si repetimos el lazamieto de ua moeda, la proporció de caras se aproxima más y más a 1/ a medida que aumetamos el úmero de lazamietos. Si S es el úmero de caras e lazamietos, la ley fuerte de los grades úmeros dice que cuado tiede a ifiito: P S 1 1 5

26 Distribucioes para el úmero de caras e lazamietos de ua moeda. La ley de los grades úmeros predice que el porcetaje de caras para grade estará próximo a 1/. E las gráficas se ha marcado co putos las probabilidades compredidas etre 0.45 y Vemos como a medida que crece la distribució se cocetra más y más alrededor de 0.5 y el porcetaje de área correspodiete al itervalo (0.45, 0.55) se hace más y más grade. 6

27 7 Supogamos que tomamos al azar úmeros del itervalo [0,1] co ua distribució uiforme. Si la variable aleatoria X i describe la elecció i-ésima, teemos: ( ) ( ) S Var S E X Var X E i i 1 1 ; ; 1 σ σ De modo que, para cualquier > 0, tedremos: 1 1 σ S P Es decir, si escogemos al azar úmeros del itervalo [0,1], las probabilidades so mejores que 1-1/(1 ) de que la diferecia S / - 1/ sea meor que.

28 Gráficos semejates al caso del lazamieto de moedas aterior, pero ahora co la suma de valores idepedietes tomados de ua U(0,1). Rige los mismos cometarios. 8

29 Ua aplicació al Método de Mote Carlo Sea g(x) ua fució cotiua defiida e el itervalo [0,1] y co image e [0,1]. Vimos cómo estimar el área bajo la fució, su itegral, geerado pares de úmeros (x,y) al azar. Existe ua forma más eficiete de calcular la itegral basádose e la ley de los grades úmeros. 9

30 30 Escojamos ua gra catidad de úmeros X al azar del itervalo [0,1] co desidad uiforme. Defiamos Y g (X ). El valor esperado de Y es ua estimació del área. ( ) ( ) 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < dx x g Y E dx x g dx x f x g Y E σ Como el domiio y la image de g(x) so el itervalo [0,1], la media μ estará e [0,1] tambié y g(x)- μ σ Y Y Y P Que podemos leer como: la diferecia etre el área estimada y la real, el error que cometemos, es mayor que épsilo co probabilidad 1/.

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