Capítulo 3: Integral definida. Módulos 12 al 17. I. Notación sigma. En los ejercicios 1 a 5 escriba en forma de sumatoria la suma dada.

Transcripción

1 Módulos l 7 I Nocó sgm E los jrccos scr form d sumor l sum dd l + l 6 + l 8 + l 6 6 Supog qu f ( ) 8, g( ) y h( ) Clcul l vlor d l prsó dcd los jrccos - c [ f ( ) g( ) h( )] d [ f ( ) g( )] [ g( ) h( )] [ f ( ) g( )] + [ g( ) h( )] + [ h( ) f ( )] [ f ( ) g( ) h( )] [ f ( ) g( )] h( ) 7 Clcul l vlor d ls sums dds los jrccos -g (8 ) 7 (8 k ) c k ( ) d m m f k k k g m k ( ) k k Cpíulo : Igrl dfd Elmos áscos d cálculo grl y srs 87

2 8 Dmusr l sgu fórmul: r r r = ; r r (Ayud: llm S = r = r r r + r y cosdr l dfrc S rs) 9 E los lrls -f vlú ls sums dds ( k k ) k ( j ) c j 7 k ( ) k k d 7 ( ) r r ( ) f r j j Drm pr cuál(s) d los lrls -d s vrfc l guldd: ( ) ( j) j j j c k d k k k r r r r Dmusr qu m j j j j S ( k ) ( k k k ), y s dmás k k ( k ) k, dmusr qu k k k k ( )( ) 6 Prdo d l guldd [ k ( k ) ] [k k ] dmusr qu k k k k ( )( ) 6 Dmusr ls prs,, v y v dl orm dl módulo Ejrccos d los módulos l 7 88

3 II Prcó d u rvlo Dds ls sgus prcos: P,,, 9, u prcó d [,]; P,,9,8, u prcó d [,] ; P,,,,, 9, u prcó d [,]; P,,,,, u prcó d [,] : Drm los survlos los culs cd prcó dvd l rvlo ddo Ecur P, P, P y P Slcco dos prcos dl rvlo [,], ls qu u d lls s más rfd qu l or S l fucó f ( ) dfd l rvlo [,] y s P,,,,,, u prcó d [,] Hll los survlos los culs P dvd l rvlo [,] Cuál s l orm d l prcó? S M k y m k rprs l mámo y mímo vlor d f ( ) l k-ésmo survlo, rspcvm, hll 6 M kk y k 6 k m k k,,,, u prcó d [, ] Dmusr qu: S P P c c c P k k k,,, u prcó d [ c, c],,, u prcó d [ k, k], s k III Igrl d Rm E los jrccos 7 us l dfcó d l grl dfd (sgú Rm) pr clculr f ( ) d, sdo f () l fucó dd, omdo u prcó rgulr dl rvlo [, ] y lgdo ls como s uc cd cso f ( ) l rvlo [, ] ; : rmo drcho dl -ésmo survlo (rcágulos crcuscros) f ( ), l rvlo [, ]; : rmo zqurdo dl -ésmo survlo (rcágulos scros) Cpíulo : Igrl dfd Elmos áscos d cálculo grl y srs 89

4 f l rvlo [, ]; : rmo drcho dl -ésmo survlo ( ), f ( ), l rvlo [, ]; f ( ), l rvlo [ ]; 6 f ( ) 6, l rvlo [, ]; : rmo drcho dl -ésmo survlo (rcágulos scros) 7 f ( ) 6, l rvlo [, ]; : rmo zqurdo dl -ésmo survlo (rcágulos crcuscros) 8 Dmusr, usdo l dfcó d l grl dfd, qu: d (Ayud: om u prcó rgulr dl rvlo [, ], : rmo zqurdo dl -ésmo survlo Us pr l sum l jrcco úmro 8 dl prdo I «Nocó sgm» y l lím us l rgl d L Hopl) IV Propdds d l grl dfd y orm dl vlor mdo E los lrls - coloqu u V o u F sgú s vrddro o flso l ucdo corrspod Jusfqu su rspus S f ( ) y g( ) so grls [, ], ocs su sum s grl [, ], y l grl d l sum s l sum d ls grls d cd fucó S f ( ) y g( ) so grls [, ], ocs su produco s grl [, ], y l grl d su produco s l produco d ls grls d cd fucó c S f ( ) y g( ) so grls [, ], ocs su coc s grl [, ], y l grl d su coc s l coc d ls grls d cd fucó d S f ( ) y g( ) so grls [, ] y f ( ) g( ) pr odo [, ], ocs f ( ) d g( ) d S f ( ) s cou y f ( ) pr odo [, ], ocs f ( ) d Ejrccos d los módulos l 7 9

5 f S f ( ) d, ocs f ( ) pr odo [, ] g S f ( ) d, ocs f ( ) = pr odo [, ] h S f ( ) y f ( ) d, ocs f ( ) = pr odo [, ] ocs [ ( ) ( )] f g d S f ( ) d g( ) d, E los jrccos supog qu f () y g () so fucos cous y qu dmás: f ( ) d ; f ( ) d ; g( ) d Clcul l vlor d l prsó dcd: f ( ) d [ f ( ) g( )] d f ( ) d [ f ( ) g( )] d f ( ) d f ( ) d g( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d g( ) d g( ) d [ f ( ) g( )] d g( ) d [ f ( ) g( )] d g( ) d [ f ( ) + 7 g( )] d [ f ( ) 7 g( )] d S f ( ) y g( ) dos fucos ls qu Clcul 7 [ f ( ) g ( )] d 7 7 f ( ) d =, f ( ) d = y g( ) d 6 Cpíulo : Igrl dfd Elmos áscos d cálculo grl y srs 9

6 Clcul f ( ) d cd uo d los sgus csos: s f ( ) s s s f ( ) 6 s E los lrls -f hll l vlor d cd u d ls sgus grls dfds: d d d d c d d f d E los lrls -f sgus cur u pr d vlors M y m l qu m( ) f ( ) d M ( ) 7 d 6 d c ( 8 ) d d ( 7) d f d ( ) d 6 S f s cou [, ], dmusr qu f ( ) d f ( ) d (sugrc: f ( ) f ( ) f ( ) 7 Ecur l vlor d c qu ssfc l orm dl vlor mdo pr grls s: ) 7 d d c ( ) d 8 Pr los lrls - vrfqu l vldz dl orm dl vlor mdo pr grls y drm l vlor (s) d C d l coclusó: c f ( ) [, ] f ( ) [, ] f ( ) ] [, Ejrccos d los módulos l 7 9

7 d f ( ) [, ] f ( ) 9 [, ] 9 Dmusr qu l orm dl vlor rmdo grz qu l cucó r y u ríz Dé u jmplo d u fucó pr l cul f ( ) pr odo d [, ], f ( ) pr lgú d [, ] y dmás f ( ) d Supógs qu f s u fucó pr l cul f ( ) s Dmusr qu s l mos u úmro c [,] l qu f ( c) c (sugrc: hg g( ) f ( ) ) V Torms fudmls dl cálculo E cd uo d los jrccos 6 ulc l prmr orm fudml dl cálculo pr clculr l drvd qu s dc D d D d ( ) 7 D d D ( ) d D d 6 D d, 8 7 U fucó F sá dfd pr odo rl por l fórmul F( ) d Hll u polomo cudráco P( ) c l qu: P() F(), P() F() y P() F() 8 Ecur u fucó f y u vlor d l cos c, l qu: f ( ) d cos pr odo c E los jrccos 9 clcul l drvd d l fucó F() dd 9 ( ) (s ) F d ( ) s cos F d d ( ) F d ( ) (s ) F d ( ) F d F( ) d Cpíulo : Igrl dfd Elmos áscos d cálculo grl y srs 9

8 ( ) F d 6 F ( ) d 7 F( ) cos u du 8 u du F( ) 9 F( ) d F( ) d u d ( ) F d g ( ) d ( ) f ( ) d F E los jrccos 8 clcul l lím dcdo usdo l rgl d L Hopl s d lm d lm lm u du 7 d lm d lm ( cos ) d lm 9 Drm los rvlos dod crc y dcrc, sí como mé los rmos rlvos, d l fucó: ( ) f d Drm los rvlos d cocvdd d l gráfc, sí como los puos d fló, d l fucó: ( ) ( ) f d E los lrls - vlú cd u d ls sgus grls dfds: ( ) d dy ( y ) c d ( ) d d d f ( ) d g dy ( y ) h d ( ) 9 d Ejrccos d los módulos l 7 9

9 j s ( ) d k d l ( ) d m 6 s cos d 8 (l ) d o d p q r s d, hcdo 7 8 d, hcdo u 7 8 d, hcdo u d ( ), hcdo w 7 9 d, hcdo 9 u L ly d ccó d ms químc rsul d l cucó dfrcl: d k( )( ); k,,, d dod s l cdd d susc l momo qu rsul d l rccó d ors dos Supog qu = cudo = Rsulv s cucó dfrcl l cso qu > Dmusr qu lm ( ) (s > ) Supog qu = y = y qu s form g d l susc muos Cuáo hrá hor? v Rsulv l cucó dfrcl s = E muchos prolms d crcmo d l polcó hy u co supror qu o pud rsrs Supogmos qu l Trr o sopor u polcó d ms d 6 mllos y qu hí mllos d hs 9 y mllos 97 Eocs, s y( ) s l polcó ños dspués d 9, u modlo propdo pr és s l cucó dfrcl: dy Ky(6 y) d Cpíulo : Igrl dfd Elmos áscos d cálculo grl y srs 9

10 Rsulv s cucó dfrcl Ecur l polcó l ño Cuádo l polcó srá d 9 mllos? Los oquímcos h propuso l modlo dy k( A y)( B y) d como u modlo pr l produccó d l rps prr dl rpsógo l dgsó, dod k >, A s l cdd cl d rpsógo y B s l cdd cl d rps Rsulv l cucó dfrcl L cucó dfrcl dy k( y m)( M y), d co k ; m y M, h sdo ulzd pr modlr lguos prolms d crcmo Rsulv s cucó dfrcl y cur lm y( ) 6 S m, so ros posvos, dmusr qu: s s m s d s m m 7 Clcul cosm cos d ; m 8 S N f ( ) s ( ) Ulc l jrcco 6 pr compror cd u d ls sgus grls: m s m N f ( ) s ( m) d s m N N f ( ) d 96 Ls grls d s po prc ls llmds srs d Fourr, qu plccos l clor, l vrcó d u curd y oros fómos físcos Rcurd qu: s s [cos ( ) cos ( )], cos cos [cos ( ) cos( )] Ejrccos d los módulos l 7

11 9 Torm d Págors pr grls dfds S f, g y h rs fucos qu ssfc ls sgus codcos: c g( ) f c y ( ) c h f, c sdo,, c ros posvos qu cumpl c Dmusr qu: c g( ) d h( ) d f ( ) d Eso dc qu ls árs d rgos smlrs cosruds dos cos d u rágulo rcágulo s gul l ár cosrud sor l hpous Gomércm s como s musr l fgur : V Igrls mprops Fgur Alc l covrgc o dvrgc d ls sgus grls mprops (-) Pr ls covrgs drm su vlor d d c d d d 9 d f d d d g (l ) h (l ) d ( ) j d k d ( 9) l d m s d ( s ) d Cpíulo : Igrl dfd Elmos áscos d cálculo grl y srs 97

12 Alc l covrgc o dvrgc d ls sgus grls mprops dl po II Pr ls covrgs drm su vlor d ( ) d c 9 d d d ( ) d ( ) f d g d h d d L fucó gmm ( ) sá dfd por: ( ) u u du; Dmusr qu u ( ) u d Igrdo por prs, musr qu ( ) ( ) c Dmusr qu () d Usdo los rsuldos y c dmusr qu s, ocs ( )! Usdo l fucó gmm clcul ls sgus grls mprops: d d c h d (h cos) Dmusr qu h h d ; 6 E l orí lcromgéc, l pocl mgéco u d u puo sor l j d u o crculr sá ddo por: u Ar d ( r ), dod A, r y so coss Evlú u Ejrccos d los módulos l 7

13 7 Dmusr qu l grl mprop d dvrg, pro lm d 8 Dmusr qu l grl mprop d covrg (cro) 9 Pru qu R d pr odo R R Dscu l vrdd o flsdd d l sgu guldd Rzo su rspus f ( ) d lm f ( ) d R R R Cpíulo : Igrl dfd

14 Tllr cálculo grl: Prprcó sgudo prcl Profsor Jm Adrés Jrmllo UdA 8- Usr ocó sgm pr rprsr l sum: ) ) c) d) Ecur l sum 7 9 ) ( ) ) ( ) = c) ( + ) d) ( ) = = = Pr l rgó comprdd jo l gráfc d l fucó l rvlo ddo, lorr u rprscó d dch gráfc y usr ls fórmuls A f ( ) scogdo como l = y A = lím f ( ) =, rmo drcho dl rspcvo su-rvlo, pr corr, promcos l ár cudo =; =; = y ár c ) y = 8 ; [,] ) = + y ; [,] c) y = + ; [,] d) y = ; [,] ) y = 7 ; [,] f) y = 9 ; [,] Pr l rgó comprdd jo l gráfc d l fucó l rvlo ddo, lorr u rprscó d dch gráfc y usr l fórmul A = lím f ( ) = scoj como l rmo zqurdo dl rspcvo su-rvlo: pr drmr su ár,

15 ) y = + ; [,7] ) y = ; [,9] c) y = ; [,] Pr l rgó comprdd jo l gráfc d l fucó l rvlo ddo, lorr u rprscó d dch gráfc y usr l fórmul A = lím f ( ) = pr drmr su ár : ) y 7 = ; [,] ) y = ; [,] c) y = ( ) 9 ; [,] 6 Ulc l orm fudml dl cálculo, pr, pr corr G '( ) / ) G( ) = d + 9 ) G = 6 ( ) z cos zdz c) G( ) = + d s d) G( ) + d = cos ) G( ) = d s 7 Ecur l drvd d l fucó: ) f ( ) = + + d ) f ( ) = l sc d 8 Us l rgl d L'Hôpl pr clculr l lím: ) lím s d ) lím + d c) lím ( cos) d

16 d) π cos lím s d d ) s lím d d f) lím d + d cos scd g) lím s d h) lím ) π s lím cos d d j) lím cos ( cos + ) ( s) d d 9 Evlú ls sgus grls dy ) (y + ) 7 dz ) + z + 8 c) l d l 6 d d) f) ) ( ) d π / 6 cos d g) + + d π / h) ( ) π / l s d ) d + j) π ( + ) d k) ( ) f ( ) = f d ; ; s < cos( ) + ; s l) π / cos sd π / cosθ m) ( s θ )( s θ + ) dθ ) l 6 + d 7 o) f ( ) f ( ) d 8 ; s < = 6; s

17 Ecur l vlor mdo d f () [,], y los vlors d c dcho rvlo qu ssfc qu f (c) s l vlor mdo ) f ( ) = ;[, ] ) f ( ) = + ;[,] c) f ( ) = s ;[, π ] d) f ( ) = ;[, ] 6 ) f ( ) = ;[,] f) f ( ) = ;[,] g) f ( ) = s cos ;[, ] π h) f ( ) = s(l );[,] ) f ( ) = ;[,] j) f ( ) = l ;[, ] k) f ( ) = ;[ ; ] l) f ( ) = ;[;] + Dd l fucó, s < f ( ) = +, s ) Vrfqu l coudd d l fucó pr = ) Ecur l vlor mdo d l fucó pr [,] c) Ecur los vlors c [,] qu ssfc l orm dl vlor mdo (TVM) L poc lécrc cosumd por u pl d produccó, r ls m y ls pm pud rprsrs por l fucó: ; p = s < + + ; s 8 Dod p s l poc kw (klovos), y s l úmro d hors dspués d ls m ) Vrfcr qu l fucó s cou pr = ) Elorr u rprscó gráfc d l fucó c) Ecorr l poc md cosumd s prodo d) Drmr hor l cul l poc cosumd s gul l poc md (promr l muo más crco)

18 U rsformdor sumsr rgí u pquñ pl d produccó L poc qu dmd drm dur l prmr hor d oprcos, r ls 7 m y ls 8 m, pud clculrs usdo l fucó: p = (- (- ) ) + s(6) Dod p s l poc klovos, y s l úmro d muos dspués d ls 7 m Ecorr: Ergí cosumd por l pl l prmr hor d produccó Poc md dmdd s prodo A qué hor (promdo l muo más crco) l pl dmd l poc md? π A u crcuo s sumsr poc lécrc vos dd por: P = cos ; l rvlo d sgudos Drmr: Cuál fu l poc md sumsrd s rvlo? E cuál(s) sgudo(s) dl rvlo s sumsr l crcuo l poc md? Evlú l grl mprop co líms d grcó fos: ) ( ) d ) d + 9 c) d d) d ) d f) + d g) l d h) + ( 8) d 6 Evlú l grl mprop co grdos qu d l fo pr lgú vlor dl rvlo d grcó: 9 ) d π / ) d c) d d) d + 6 ) l d f) d d g) 9 h) d ( ) 7 Evlú l grl (Pr dl jrcco coss slcr s s r d u grl mprop y d rsolvrs d curdo co s codcó): ) d ) / + ( ) d c) - d l d) d

19 ) - d d g) π / sc f) ( + ) π / ( ) d h) s ( π)d ) + ( + )( ) d j) d k) - π / cos d s l) 9 d 9 m) ( l ) d ) - d o) d p) - d - l q) d - - r) d s) - d d ) u) d v) d + 6 ( ) w) d ( ) 8/ ) l ( ) d 6 d y) (6l ) z) d + ) + 8 d ) d ( l )