Integración compleja

Transcripción

1 ntegrión omplej Aunque l interpretión ms omún de l integrl (definid) de un funión rel f es omo el áre bjo l urv y f(x) l definiión de l integrl es independiente de est interpretión, y l integrl puede usrse pr lulr muhs oss que no tienen que ver on áres. L propiedd ms importnte de l integrl rel está dd por el Teorem Fundmentl del Cálulo, que die que si un funión rel f(x) es ontinu, y si F (x) x f(t)dt entones su derivd es F (x) f(x). Esto impli que tods ls funiones reles ontinus tienen ntiderivds. Ls integrles omplejs son un generlizión de ls integrles reles, donde nos olvidmos de l interpretión omo áre y nos quedmos on l definiión omo límite de sums de Riemnn, pero reemplzndo los números reles por números omplejos. Reordr que pr definir l integrl de un funión ontinu f(x) en un intervlo [, b], tommos un prtiión P del intervlo [, b] dd por un oleión de puntos x < x < x <... < x n < x n b, elegimos un r i en d subintervlo [[x i, x i ] y lulmos l sum f(ri )(x i x i. L norm de l prtiión P es P mx{ x i x i }. L integrl se define omo el límite de est sum undo l norm de l prtiión se proxim : f(x)dx lim P f(r i )(x i x i ) i Est mism definiión tiene sentido si en lugr de onsiderr un funión rel onsidermos un funion omplej f(z), y si en lugr de tomr un intervlo en R, tommos un urv en C (que se suve o l menos suve por pedzos). L prtiión del intervlo ] en subintervlos [x i, x i ] se onvierte en un prtiión P de l urv en ros que vn de un punto z i otro punto z i y P mx{ z i z i }, omo en el so rel. L eleión de r i en el intervlo [x i, x i ] se onvierte en l eleión de un punto i en el ro de urv que v de z i z i. L integrl omplej de l funión f(z) lo lrgo de l urv se define omo: f(z)dz lim P f( i )(z i z i ) i L difereni es que d produto f( i )(z i z i ) es el produto de dos números omplejos.

2 Si l urv es un intervlo rel y f u + iv (donde u y v son funiones reles) entones l integrl omplej puede lulrse hiendo dos integrles reles: f u + i v Vemos hor que ls integrles omplejs sobre ulquier urv pueden lulrse usndo integrles reles: Afirmión. Si l urv se prmetriz omo : A entones f(z)dz f((t)) (t)dt Demostrión. Compremos ls definiiones de ls dos integrles, eligiendo pr d prtiión P de l urv un prtiión P del intervlo de mner que (t i ) z i y (r i ) i. y f(z)dz lim P f( i )(z i z i ) lim P i i f((r i )) ((t i ) (t i )) f((t)) (t)dt lim P f((r i )) (r i ) (t i t i ) i Si fuer un funión rel, el teorem del vlor medio dirí que existe un r i [t i, t i ] de modo que (r i ) (t i t i ) (t i ) (t i ) y mbs sums serin igules. El teorem del vlor medio no vle pr funiones omplejs (tre). Sin embrgo, podemos plirlo l prte rel y l prte imginri de (t) x(t) + iy(t), pr obtener dos numeros r i y r i tles que x (r i ) (t i t i ) x(t i ) x(t i ) y y (r i ) (t i t i ) y(t i ) y(t i ).

3 Como l urv es suve, (t) x (t) + iy (t) es uniformemente ontinu, si que ddo ɛ >, existe > tl que x (r i ) x (r i ) < ɛ y y (r i ) y (r i ) < ɛ siempre que r i r ij <. Asi que si P < entones (r i ) (t i t i ) ((t i ) (t i )) < ɛ t i t i. Por lo tnto undo P, l difereni entre ls sums de Riemnn debe ser menor que M ɛ, donde M es un ot superior pr f en y es l longitud de. Como ɛ es rbitrrio, los limites de ls sums deben ser igules. En el álulo en vris vribles reles hy otrs integrles lo lrgo de urvs: ls integrles de líne. Reordr que si F (x, y) (u(x, y), v(x, y)) es un funión ontinu de R en R y (t) (x(t), y(t)) es un urv suve, l integrl de líne de F lo lrgo de se define omo: F (s) ds F ((t)) (t)dt (donde es el produto interno de vetores en R ). u(x, y)x (t) + v(x, y)y (t)dt udx + vdy Corolrio. Si z x + iy y f(z) u(x, y) + iv(x, y) entones f(z)dz (u + iv)(dx + idy) udx vdy + i vdx + udy Ejemplo. Clul ls integrles de l funión f(z) z lo lrgo de ests 3 urvs: (t) t + ti (t) os(t) + isen(t) (t) os(t) isen(t) 3

4 zdz ( t + it)( + i)dt dt + i tdt t + i(t t ) + i zdz π π (os(t) + isen(t))( sen(t) + ios(t))dt os(t)sen(t) + i π os (t) sen (t)dt os (t) π + i os(t)sen(t) π + i µ zdz 3π 3π (os(t) isen(t))( sen(t) ios(t))dt os(t)sen(t) + i 3π os (t) + sen (t)dt os (t) 3π i os(t)sen(t) 3π + i Ejemplo. Clul ls integrles de l funión f(z) z π z dz ( sen(t) + ios(t))dt os(t) + isen(t) π (os(t) isen(t))( sen(t) + ios(t)) lo lrgo de, µ y π i dt it π π i µ 3π z dz ( sen(t) ios(t))dt os(t) isen(t) 3π (os(t) + isen(t))( sen(t) ios(t)) 3π i dt it 3π 3π i z dz ( t + it) ( +i)dt t it ( t) + t ( +i)dt t t t + dt + i t dt?+?i t + Morlej: Al integrr un funión omplej sobre distints urvs on los mismos extremos, el resultdo vees depende de l tryetori, y vees no. 4

5 Problems. D un ejemplo que muestre que el teorem del vlor medio no vle pr funiones derivbles omplejs.. Si es el írulo unitrio reorrido en el sentido opuesto ls mneills del reloj, lul ) z dz b) e z dz ) 3. Clul l integrl de /z en el írulo de rdio r entrdo en, reorrido en el sentido opuesto ls mneills del reloj. 4. Clul xdz y xdz, donde p es l tryetori poligonl que v de + i y q es p q l tryetori poligonl que v de i + i. zdz Teorem fundmentl del álulo pr integrles omplejs. Si F (z) es nlíti en A y : [, b] A es un urv suve, entones Demostrión. F (z)dz F ((b)) F (()) Si : [, b] A y F ((t)) u(t) + iv(t) entones por l regl de l den F ((t)) (t) (F ((t))) u (t) + iv (t) F (z)dz b y por el Teorem fundmentl del lulo (rel) por lo tnto F ((t)) (t)dt b u (t) + iv (t)dt b u (t)dt + i b v (t)dt u(b) u() + iv(b) iv() F ((b)) f(()) Observión. El teorem fundmentl del álulo vle tmbien pr ls urvs suves por pedzos, porque l integrl en l urv omplet es l sum de ls integrles en los pedzos. 5

6 Ejemplo. Clulemos otr vez ls integrles de l funión z en ls urvs, y µ: Como z es l derivd de z / en todo C entones zdz zdz zdz i z µ Ejemplo. Clulemos hor ls integrles de l funión /z en ls urvs, y µ. /z es l derivd de log(z) en d región de C donde log(z) pued definirse de mner ontinu, es deir, en d rm de log(z). Un rm de log(z) definid en y es log(z) log z + i rg(z) on π < rg(z) < π z dz z dz log(z) i log i + i rg(i) (log() + i rg() + π i ( + i) π i Un rm del logritmo definid en µ es log(z) log z + i rg(z) on 7π 4 < rg(z) < π 4 µ dz log(z) z i log i + i rg(i) (log() + i rg() 3π i ( + i) 3π i π < rg(z) < π 7π 4 < rg(z) < π 4 6

7 El teorem fundmentl del álulo pr integrles omplejs impli que si F (z) es nlíti en un región A y es ulquier urv errd en A entones F (z)dz y que los vlores de F en los extremos de, que son los mismos, se neln. Ejemplos. Si P (z) es un polinonio omplejo y es ulquier urv errd en C entones P (z) Q (z) donde Q es otro polinomio omplejo, si que P (z)dz Q (z)dz Q(p) Q(p) (donde p es un punto de ) Pr n y pr ulquier urv errd en C z dz n y que z n es l derivd de (n )z n pr tod z. Sin embrgo, pr muhs urvs errds en C, z dz y que /z es l derivd de log(z) solo en ls regiones de C donde log(z) puede definirse de mner ontinu (es deir, en los dominios de ls distints rms de log(z)). Por ejemplo, si es un írulo uyo interior no ontiene entones z dz y que está ontenid en el dominio de un rm de log(z). Pero si es un írulo uyo interior si ontiene entones dz ±πi z (el signo depende de l orientión de ) omo puede lulrse prtiendo en dos ros de modo que d uno esté en el dominio de un rm de log(z). 7

8 Problems 5. Si s y s son los dos semiírulos que vn de, lul ) sen(z)dz s b) sen(z)dz s 6. Clul ) / z dz b) s / z dz s 7. Clul ls integrles de /z ) En el segmento de line ret que v de 3 i + i. b) En el írulo de rdio 6 on entro en 5 + 4i 8. Demuestr que f(z)dz ML donde M es un ot pr f y L es l longitud de. Si es un urv suve por pedzos y es l urv reorrid en sentido inverso, entones por l definiión de l integrl f(z)dz f(z)dz Si es otr urv suve por pedzos que empiez donde termin, y + es l urv que se obtiene reorriendo despues de, entones f(z)dz f(z)dz + f(z)dz + Teorem (ndependeni de l tryetori). Si f es un funion omplej ontinu en un región A C, entones ls siguientes firmiones son equivlentes:. El vlor de l integrl f(z)dz no depende de l urv, solo de sus extremos.. Pr tod urv errd en A, f(z)dz 3. Existe un funión nlíti F en A tl que F (z) f(z). 8

9 Demostrión. ( ) Si y son dos urvs on los mismos extremos, entones es un urv errd, y f(z)dz f(z)dz f(z)dz Asi que ls integrles de f en y en son igules si y solo si l integrl en l urv errd es. (3 ) Por el teorem fundmentl del álulo pr integrles omplejs. ( 3) Dd un funión f(z) que es ontinu en A y uys integrles solo dependen de donde empiezn y donde terminn ls urvs, debemos hllr un funión F (z) uy derivd se f(z). Fijemos un punto z en A y definmos F (z) f(ζ)dζ z donde z es ulquier urv suve por pedzos que vy de z z. F (z) está bien definid porque l integrl no depende de l urv. Flt probr que F (z) es derivble y que F (z) f(z), y pr eso neesitmos ver si F (w) F (z) lim w z f(z) w z El punto z tiene un veindd redond U ontenid en A. Fijemos un mino z de z z y pr d w U elijmos el mino w z + r w donde r w es el mino en líne ret de z w. Entones F (w) F (z) f(ζ)dζ f(ζ)dζ f(ζ)dζ w z r w F (w) F (z) f(z)(w z) f(ζ)dζ f(z) dζ f(ζ) f(z)dζ r w r w r w Como f es ontinu en z, ddo ɛ > existe > tl que ζ z < f(ζ) f(z) < ɛ Si w z < entones ζ z < pr tod ζ r w y por lo tnto f(ζ) f(z) < ɛ, si que f(ζ) f(z)dζ ɛ w z y que r w tiene longitud w z r w y por lo tnto F (w) F (z) f(z) w z F (w) F (z) f(z)(w z) w z < ɛ w z w z ɛ Como esto es ierto pr d ɛ > en un veindd U de z entones F (w) F (z) lim w z f(z) si que F F (w) F (z) (z) lim w z f(z) w z w z. 9